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二次函数知识精讲与拓展训练(二)1 (修复的)新


二次函数知识精讲与拓展训练(二)

【知识精讲】
1.二次函数:形如

的函数叫做二次函数. 2.二次函数的图像性质: (1)二次函数的图像是 ; (2)二次 函 数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, a, b, c为

常 )

通 数







可 。



y ? a( x ?

b 2 4ac ? b 2 ) ? (a ? 0, a, b, c 为常数) ,其顶点坐标为 2a 4a

( 3 ) 当 a ? 0 时 , 抛 物 线开 口 , 并 向 上 无限 延 伸 ; 在 对 称 轴 左侧 b b (即x ? ? ) 时,y 随 x 的增大而减小;在对称轴右侧 (即x ? ? ) 时,y 随 x 的增 2a 2a b 大而增大;当 x ? ? 时,函数有 . 2a b 当 a ? 0 时, 抛物线开口 , 并向下无限延伸; 在对称轴左侧 (即x ? ? ) 时, 2a b y 随着 x 的增大而增大;在对称轴右侧 (即x ? ? ) 时,y 随着 x 的增大而减小; 2a b 当 x ? ? 时, 函数有 。 2a 3.二次函数的图像平移: (1)二次函数 y ? ax2 , y ? a( x ? h) 2 , y ? a( x ? h) 2 ? k 的图像都是抛物线,并且形 状相同,只是位置不同( a 的取值决定抛物线的形状) . 将 y ? ax2 的图像向右 (h>0) 、向左(h<0)平移 h 个单位,就得到函数 y ? a( x ? h) 2 的图像;再将此抛 物线向上(k>0)、向下(k<0)平移 k 个单位得到函数 y ? a( x ? h) 2 ? k 的图像.上述 平移的规律是: “h 值正、负、右、左移;k 值正、负、上、下移.” 4.抛物线与坐标轴的交点: (1)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c与y轴交于点 (0, c). (2) 若方 ax2 ? bx ? c ? 0有两根x1 , x2 , 则抛物线y ? ax2 ? bx ? c交x轴点( x1 ,0)(x2 ,0) 考点㈠二次函数的图像性质
例 1 定义[ a, b, c ]为函数 y ? ax2 ? bx ? c 的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1 – m , –1– m] 的函数的一些结论: ① 当 m = – 3 时,函数图象的顶点坐标是(

1 8 , ); 3 3
3 ; 2

② 当 m > 0 时,函数图象截 x 轴所得的线段长度大于

③ 当 m < 0 时,函数在 x >

1 时,y 随 x 的增大而减小; 4

④ 当 m ? 0 时,函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ )

变式训练 1.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像如图所示, 则下列结论正确的是 ( A. a ? 0 B.

c?0
y

C. b2 ? 4ac ? 0

D. a ? b ? c ? 0

O

x

第(1)题

第(2)题

第(3)题 )

2.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象如图所示,有下列结论: ( ① b2 ? 4ac ? 0 ;② abc ? 0 ;③ 8a ? c ? 0 ;④ 9a ? 3b ? c ? 0 . 3. 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,有下列 5 个结论:

① abc ? 0 ; ② b ? a ? c; ③ 4a ? 2b ? c ? 0 ; ④ 2c ? 3b ; ⑤ a ? b ? m(am ? b) , ( m ? 1 的实数)其中正确的结论有( )A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

考点㈡二次函数图像平移 2 例 2. 抛物线 y ? x ? bx ? c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位, 所得图像的解析
式为 y ? x ? 2 x ? 3 ,则 b、c 的值为( A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 变式训练
2
2

) C . b= -2,c=-1

D. b= -3, c=2

1.把抛物线 y ? ? x 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物线的表达式 ( )

2.若把函数 y=x 的图象用 E(x,x)记,函数 y=2x+1 的图象用 E(x,2x+1)记,??则
2 2 E(x, x ? 2 x ? 1 )可以由 E(x, x )怎样平移得到?

3.如图,点 A,B 的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线 y ? a( x ? m) ? n 的顶点在线段
2

AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两点(C 在 D 的左侧) ,点 C 的横坐标最小值为 ? 3 ,则点 D 的横坐标最大值为( A.-3 y
A(1,4) B(4,4) D x

) C.5 y D.8

B.1

C

O

A

1 O 1

B x

考点㈢确定二次函数解析式 例 3 如图,在平面直角坐标系中, OB ? OA ,且 OB ? 2OA ,点 A 的坐标是 (?1, 2) .
(1)求点 B 的坐标; (2)求过点 A、O、B 的抛物线的表达式; (3)连接 AB ,在(2)中的抛物线上求出点 P ,使得 S△ ABP ? S△ ABO . 变式训练 1.二次函数 y ? x2 ? mx ? 3 的图象与 x 轴的交点如图所示,根据图中信息可得到 m 的值 是 .

y

O 1

·

x
第 2 题图
2

第 1 题图

2.已知二次函数 y ? ? x ? 2a ? ? ? a ? 1? ( a 为常数) ,当 a 取不同的值时,其图象构成一 个“抛物线系” .下图分别是当 a ? ?1 , a ? 0 , a ? 1 , a ? 2 时二次函数的图象.它们的顶 点在一条直线上,这条直线的解析式是 y ? 3.如图,已知二次函数 y ? ? .

1 2 x ? bx ? c 的图象经过 A(2,0) 、B(0,-6)两点。 2

(1)求这个二次函数的解析式 (2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C,连结 BA、BC,求△ABC 的面积。 y A O C
A y

B x

x
O

B
P

第 3 题 y=x2+bx+c 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B,AB 平行于 x 轴,对角 4.如图,已知抛物线 D C 线 BD 与抛物线交于点 P,点 A 的坐标为(0,2),AB=4.
(第 4 题图)

(1)求抛物线的解析式; (2)若 S△APO=
3 ,求矩形 ABCD 的面积. 2

5.将直角边长为 6 的等腰 Rt△AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中, 点 O 为坐标原点, 点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点 A、C 及点 B(–3,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)若点 P 是线段 BC 上一动点,过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E,连接 AP,当△APE 的面 积最大时,求点 P 的坐标; (3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G,使△AGC 的面积与(2)中△APE 的最大面积 相等?若存在,请求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由. y

A

B O

C

x

第5题 图

考点⑷确定二次函数与方程、不等式、一次函数、反比例函数 2 2 例 1. 抛物线 y ? ax ? bx ? c 图像如图所示,则一次函数 y ? ?bx ? 4ac ?b 与反比例函
y?


a?b?c x 在同一坐标系内的图像大致为(



x 第 15 题图 变式训练

x

x

x

x

1.若正比例函数 y ? 2kx 与反比例函数 y ?

k ? k ? 0 ? 的图象交于点 x

A? m,, 1? 则 k 的值是(

).

考点 5 二次函数与几何的综合题

例 5.如图,抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(4,0) 、B(2,2) ,连结 OB、AB. (1)求该抛物线的解析式; (2)求证:△OAB 是等腰直角三角形; (3)将△OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 135° 得到△OA′B′,写出 A′B′的中点 P 的坐标, 试判断点 P 是否在此抛物线上,并说明理由. 变式训练 1.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A (?4,0) ,B (0,?4) ,C ( 2,0) 三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m, △AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 S 的最大值. (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y ? ? x 上的动点,判断有几个位置能够使得 点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q 的坐标.
y

y

B

O

A

x

y P
C

D E

A

O

C

x

A ?1
M B

1

o

B 1
x

第1题 第2题 2.在平面直角坐标系中,已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(-2,0) ,B(6,0) ,C(0, 3). (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; (2)过C点作 CD 平行于 x 轴交抛物线于点 D,写出 D 点的坐标,并求 AD、BC 的交点 E 的坐标; (3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形 CEDP 的形状,并说明理由.

【同步拓展训练】
一、选择题 1. (2011 山东滨州,7,3 分)抛物线 y ? ? x ? 2 ? ? 3 可以由抛物线 y ? x2 平移得到,则下
2

列平移过程正确的是(

)

A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 2. (2011 广东广州市,5, 3 分) 下列函数中,当 x>0 时 y 值随 x 值增大而减小的是( A.y = x
2

) .

B.y = x-1

C. y =

3 x 4
2

D.y =

1

x

3. (2011 湖北鄂州,15,3 分)已知函数 y ? ? 恰好有三个,则 k 的值为( A.0 B.1 C.2 ) D.3

? ?? x ? 1? ? 1? x≤3? ? ?? x ? 5? ? 1? x>3?
2

,则使 y=k 成立的 x 值

4. (2011 山东德州 6,3 分)已知函数 y ? ( x ? a)(x ? b) (其中 a ? b )的图象 如下面右图所示,则函数 y ? ax ? b 的图象可能正确的是

第 6 题图 y 1 O (A) 1 x -1 O (B) y 1 x -1 O -1 (C)
2

y x O -1

y 1 x

(D)

5. (2011 山东菏泽,8,3 分)如图为抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图像,A、B、C 为抛物线 与坐标轴的交点,且 OA=OC=1,则下列关系中正确的是 A.a+b=-1 B. a-b=-1 C. b<2a D. ac<0

6. (2011 山东泰安,20 ,3 分)若二次函数 y=ax +bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表: X y -7 -27 -6 -13 -5 -3 -4 3 -3 5 -2 3

2

则当 x=1 时,y 的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27

7. (2011 山东威海,7,3 分)二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象如图所示.当 y<0 时, 自变量 x 的取值范围是( A.-1<x<3 ) . C. x>3 D.x<-1 或 x>3

B.x<-1

8. (2011 山东烟台,10,4 分)如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则 下列关系正确的是( A.m=n,k>h C.m>n,k=h ) B.m=n ,k<h D.m<n,k=h

9. (2011 浙江温州,9,4 分)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所 给自变量取值范围内,下列说法正确的是( A.有最小值 0,有最大值 3 C.有最小值-1,有最大值 3 )

B.有最小值-1,有最大值 0 D.有最小值-1,无最大值

10. (2011 四川重庆,7,4 分)已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位 置如图所示,则下列结论中正确的是( )

2

A.

a>0

B. b<0

C. c<0

D. a+b+c>0
2

11. (2011 台湾台北, 6) 若下列有一图形为二次函数 y=2x -8x+6 的图形, 则此图为何?

12. (2011 台湾台北,32)如图(十四),将二次函数 y= 31x -999x+ 89 的图形画在坐标 平面上,判断方程

2

2

89 =0 的两根,下列叙述何者正确? 式 31x -999x+

2

2

A.两根相异,且均为正根

B.两根相异,且只有一个正根

C.两根相同,且为正根

D.两根相同,且为负根

13. (2011 台湾全区,28)图(十二)为坐标平面上二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图形,且此 图形通(-1 , 1)、(2 ,-1)两点.下列关于此二次函数的叙述,何者正确?

A .y 的最大值小于 0

B.当 x=0 时,y 的值大于 1

C.当 x=1 时,y 的值大于 1

D.当 x=3 时,y 的值小于 0

14. (2011 甘肃兰州,5,4 分)抛物线 y ? x2 ? 2 x ? 1的顶点坐标是 A. (1,0) B. (-1,0) C. (-2,1) D. (2,-1)

15. (2011 甘肃兰州,9,4 分)如图所示的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象中,刘星同学 观察得出了下面四条信息: (1) b ? 4ac ? 0 ; (2)c>1; (3)2a-b<0; (4)a+b+c<0。你
2

认为其中错误 的有 .. A.2 个 y 1 -1 O 1 x B.3 个 C.4 个 D.1 个

16. (2011 江苏宿迁,8,3 分)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结 论中正确的是( ) A.a>0 C.c<0 B.当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大 D.3 是方程 ax +bx+c=0 的一个根
2

2

17. (2011 山东济宁,8,3 分)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中,其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示:

x y

?? ??

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

?? ??

点 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 )在函数的图象上,则当 1 ? x1 ? 2, 3 ? x2 ? 4 时, y1 与 y2 的大小关系正确的是 A. y1 ? y2 B. y1 ? y2 C. y1 ? y2 D. y1 ? y2

二解答题 1.

(2011 广东东莞,15,6 分)已知抛物线 y ?

1 2 x ? x ? c 与 x 轴有交点. 2

(1)求 c 的取值范围; (2)试确定直线 y=cx+l 经过的象限,并说明理由. 2. ( 2011 重庆江津, 25,10 分)已知双曲线 y ? B(m,2)、c(-3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点 A、点 B、点 C,并求出△ABC 的面积, y y ·A(2,3) ·B(2,3) 1 -1 o -1 1 x 1 -1 o -1 ·C(-2,-3) 1 x

k 2 与抛物线 y=zx +bx+c 交于 A(2,3)、 x

第 25 题图

第 25 题图

3. (2011 江苏泰州,27,12 分)已知:二次函数 y=x +bx-3 的图像经过点 P(-2,5) . (1)求 b 的值,并写出当 1<x≤3 时 y 的取值范围; (2)设点 P1(m,y1) 、P2(m+1,y2) 、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上. ①当 m=4 时,y1、y2、y3 能否作为同一个三角形的三边的长?请说明理由; ②当 m 取不小于 5 的任意实数时,y1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理 由. , 4. (2011 广东汕头,15,6 分)已知抛物线 y ? (1)求 c 的取值范围; (2)试确定直线 y=cx+l 经过的象限,并说明理由. 5. (2011 湖南怀化,22,10 分)已知:关于 x 的方程 ax ? (1 ? 3a) x ? 2a ?1 ? 0
2

2

1 2 x ? x ? c 与 x 轴有交点. 2

(1) 当 a 取何值时,二次函数 y ? ax ? (1 ? 3a) x ? 2a ?1的对称轴是 x=-2;
2

(2) 求证:a 取任何实数时,方程 ax ? (1 ? 3a) x ? 2a ?1 ? 0 总有实数根.
2

6. (2011 江苏南京,24,7 分)(7 分)已知函数 y=mx -6x+1(m 是常数) . ⑴求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点; ⑵若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值. 10. (2011 四川绵阳 24,12)已知抛物线:y=x?-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点,且与 y 轴交 于 A 点, 如图,设它的顶点为 B (1)求 m 的值; (2)过 A 作 x 轴的平行线,交抛物线于点 C,求证是△ABC 是等腰直角三角形; (3)将此抛物线向下平移 4 个单位后,得到抛物线 C',且与 x 轴的左半轴交于 E 点,与 y 轴交于 F 点,如图.请在抛物线 C'上求点 P,使得△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形.

2

y

A E O F B

C x

【思维能力提升训练】
1.方程 x2+2x-1=0 的根可看成函数 y=x+2 与函数的图象交点的横坐标,用此方法可推断方 程 x3+x-1=0 的实根 x 所在范围为( ) A. B. C. D. 2.已知实数的最大值为 3.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 x=1,且抛物线经过 A(—1,0) 、B (0,—3)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2) 在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 M, 使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小, 并求出此时点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点,求使∠PCB=90°的点 P 的坐标. y A O x=1 B x

C

第3题

4.已知二次函数中,函数与自变量的部分对应值如下表: ? ? ? (1)求该二次函数的关系式; ?

(2)当为何值时,有最小值,最小值是多少? (3)若,两点都在该函数的图象上,试比较与的大小. 5.已知平面直角坐标系 xOy,抛物线 y=-x2+bx+c 过点 A(4,0)、B(1,3) . (1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; (2)记该抛物线的对称轴为直线 l,设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限,点 P 关于直线 l 的 对称点为 E,点 E 关于 y 轴的对称点为 F,若四边形 OAPF 的面积为 20,求 m、n 的值. 6.已知抛物线 y=-x2+2x+2. (1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ; (2)选取适当的数据填入下表,并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;
x y ? ? ? ?

(3)若该抛物线上两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)的横坐标满足 x1>x2>1,试比较 y1 与 y2 的大小.
y

1 - 5 -4 - 3 - 2 - 1 O 1 2 3 4 5 -1 x

7.如图,抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A(-4,0) 、B(2,0) ,与 y 轴交于点 C,顶点为 D.E(1,2)为线段 BC 的中点,BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交 于 F、G. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点 D 的坐标; D (2)在直线 EF 上求一点 H,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长; (3)若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动,当 K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大?并求出最大面积. A F
2 2

y C G O E B x

家庭作业
别为( )

1. 若二次函数 y ? x ? bx ? 5 配方后为 y ? ( x ? 2) ? k 则 b 、 k 的值分

2.在直角坐标系中,若解析式为 y ? 2x ? 4 x ? 5 的图像沿着 x 轴向左平移两个单位,再沿
2

着 y 轴向下平移一个单位,此时图像的解析式为(



a 3.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,反比例函数 y= x 与正比例函数 y=(b+c) x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )A. B. C. D.

4.如图,两条抛物线 y1 ? ?

1 1 2 x ? 1 、 y 2 ? ? x 2 ? 1 与分别经过点 ?? 2,0? , ?2,0? 且平行于 y 2 2
)A.8 B.6 C.10 D.4

轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(

(4 题图) 5. 如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千. 拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米, 绳子自然下垂呈抛物线状, 身高 1 米的小明距较近 的那棵树 0.5 米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米.

第7题 6.图为二次函数的图象,给出下列说法: ①;②方程的根为;③;④当时,y 随 x 值的增大而增大;⑤当时, . 其中,正确的说法有 . (请写出所有正确说法的序号) 7.已知点 A(1,1)在二次函数图像上。 (1)用含的代数式表示; (2)如果该二次函数的图像与轴只有一个交点,求这个二次函数的图像的顶点坐标。 8.一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为 C,且 AC⊥BC. (1)若 m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若 m 为小于 0 的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点,问是否存在实数 m,使得△BCD 为等腰三角形?若存 在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. y
D

O A C

B

x

第 9 题图


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