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【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:7-2空间几何体的表面积与体积]


第2讲

空间几何体的表面积与体积

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013· 广东卷)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ).

A.4 16 C. 3 解析

14 B. 3 D.6 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为 1 的正方形;下底

1 面是边长为 2 的正方形, 高为 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积 V=3 14 (12+ 12×22+22)×2= 3 ,故选 B. 答案 B

2.(2013· 湖南卷)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则

该正方体的正视图的面积不可能等于 A.1 C. 2-1 2 B. 2 D. 2+1 2

(

).

解析

由俯视图的面积为 1 可知,该正方体的放置如图所示,当正视图的方

向与正方体的侧面垂直时,正视图的面积最小,其值为 1,当正视图的方向 与正方体的对角面 BDD1B1 或 ACC1A1 垂直时, 正视图的面积最大, 其值为 2, 由于正视图的方向不同,因此正视图的面积 S∈[1, 2].故选 C.

答案

C

3.(2014· 许昌模拟)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直径为 1 的圆, 那么这个几何体的表面积为 ( ).

A.4π C.3π 解析 答案

3 B.2π D.2π 3π ?1? 由三视图可知, 该几何体是一个圆柱, S 表=2×π×?2?2+π×1×1= 2 . ? ? B

4.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE, △BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 ( ).

2 A. 3 4 C.3 解析

3 B. 3 3 D.2 如图,分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 DG,

1 3 1 CH,容易求得 EG=HF=2,AG=GD=BH=HC= 2 ,∴S△AGD=S△BHC=2 2 2 1 × 2 ×1 = 4 ,∴ V = VE - ADG + VF - BHC + VAGD - BHC = 2VE - ADG + VAGD - BHC = 3 2 1 2 2 × 4 ×2×2+ 4 ×1= 3 .故选 A.

答案

A

5.(2012· 新课标全国卷)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为 A. 6π C.4 6π 解析 B.4 3π D.6 3π ( ).

如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点,则 OO′= 2,

4 O′M=1,∴OM= ? 2?2+1= 3,即球的半径为 3,∴V=3π( 3)3=4 3 π.

答案

B

二、填空题 6.(2013· 辽宁卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.

解析

由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面

圆半径为 2,高为 4,故体积为 16π;正四棱柱底面边长为 2,高为 4,故体 积为 16,所以几何体的体积为 16π-16. 答案 16π-16

7.(2013· 陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.

解析 答案

1 1 π 该几何体为一个半圆锥,故其体积为 V=3×2×π×12×22=3. π 3

8.(2013· 江苏卷)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC, AA1 的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.

解析

设三棱柱 A1B1C1-ABC 的高为 h,底面三角形 ABC 的面积为 S,则 V1

1 1 1 1 1 =3×4S· h = Sh = 2 24 24V2,即 V1∶V2=1∶24. 答案 1∶24

三、解答题 9.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm):

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积. 解 (1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2 cm,A1D1=AD=2 cm,可得 PA1⊥PD1.故所求几何体的表 面积

1 S=5×22+2×2× 2+2×2×( 2)2=22+4 2(cm2), 1 体积 V=23+2×( 2)2×2=10(cm3). 10.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中 水的深度.



如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在

容器内时,水的深度为 3r,水面半径 BC 的长为 3r,则容器内水的体积为 1 V=V 圆锥-V 球=3π( 3r)2· 3r - 4 3 5 3 3πr =3πr , 将球取出后,设容器中水的深度为 h, 3 则水面圆的半径为 3 h,从而容器内水的体积为 1 ? 3 ? 1 3 V′=3π? h?2h=9πh3,由 V=V′,得 h= 15r. 3 ? ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC =30° ,则棱锥 S-ABC 的体积为 A.3 3 C. 3 解析 B.2 3 D.1 由题意知,如图所示,在棱锥 S-ABC 中,△SAC,△SBC 都是有一 ( ).

个角为 30° 的直角三角形,其中 AB= 3,SC=4,所以 SA=SB=2 3,AC =BC=2,作 BD⊥SC 于 D 点,连接 AD,易证 SC⊥平面 ABD,因此 VS 1 3 =3× 4 ×( 3)2×4= 3.
-ABC

答案

C

2.(2013· 临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几 何体的表面积为 ( ).

A.3 7 C.2π 解析

B.7+3 2 D.14 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三

棱柱,或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为 1, 底面边长分别为 1,3,所以表面积为 2(1×3+1×1+3×1)=14. 答案 D

二、填空题 3.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2 cm、高为 5 cm,则一质 点自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为 ________(cm).

解析

根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将

其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为 52+122 = 13(cm).

答案

13

三、解答题 4.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD= 2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC, 如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2,

从而 AC2+BC2=AB2, 故 AC⊥BC, 又平面 ADC⊥平面 ABC, 平面 ADC∩平面 ABC=AC, BC?平面 ABC,

∴BC⊥平面 ACD. (2)解
-ACD

由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,∴VB

1 1 4 2 =3S△ACD· BC=3×2×2 2= 3 ,由等体积性可知,几何体 D-ABC 的

4 2 体积为 3 .


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