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一次函数和反比例函数的综合复习课


一次函数和反比例函数
复习课

一、知识要点
1.一次函数的概念

一次函数的概念:如果函数y=_______(k、b为 kx +b ≠0 常数,且k______),那么y叫做x的一次函数。 kx ≠0 =0 特别地,当b_____时,函数y=____(k____)叫做正比 例函数。
★理解一次函数概念应注意下面两点:

1 ⑴、解析式中自变量x的次数是___次, ⑵、比例系数_____。 k≠0

2.一次函数的图象
a. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点(_____),(______) 0,0 1,k 一条直线 的_________。 b b b.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,___),(____, ? 一条直线 0)的__________。 k c.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与k,b符号的关系:

> k___0,b___0 >

> < k___0,b___0

< > k___0,b___0

< < k___0,b___0

3.一次函数的性质
一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质: 增大 ⑴当k>0时,y随x的增大而_________。 减小 ⑵当k<0时,y随x的增大而_________。

例:点A(5,y1)和B(2,y2)都在直线y= -x+1上, 则y1与y2的关系是( C ) A、y1≥ y2 B、y1= y2 C、y1<y2 D、y1>y2

4.一次函数的应用
(1)待定系数法: 用待定系数法求一次函数y=kx+b的解析式,可由已知条 件给出的两对x、y的值,列出关于k、b的二元一次方程组。 由此求出k、b的值,就可以得到所求的一次函数的解析式。 例:已知一次函数y=kx+b(k≠0)当x=1时,y=5,且它的图 象与x轴交点的横坐标是6,求这个一次函数的解析式。

解:把x=1时, y=5;x=6时,y=0分别代入解析式,得

?k ? b ? 5 ? ?6k ? b ? 0

?k ? ?1 解得 ? ?b ? 6
y= - x+6

∴此一次函数的解析式为

(2)利用一次函数解决实际问题。

二、例题解析
1. 填空题: (1)有下列函数: ①y=6x-5 , ② y=2x , ③y=x+4 , ①、②、③ 增大的是___________;
③ 函数y随x的增大而减小的是______;把②的图像

④y=-4x-3 。

② 其中过原点的直线是_____;函数y随x的增大而

向下平移2个单位的图像解析式是 y=2x-2 ; 图象

④ 过第二、三、四象限的是_____。

2、一艘轮船和一艘快艇沿
相同路线从甲港到乙港,右 图中两条线段分别表示轮船 与快艇离开出发点的距离与 行驶时间的关系。根据图像 回答下列问题: 0.5 (1)轮船比快艇早____小时出发, 1 快艇比轮船早到____小时; 40 1/3 (2)快艇追上轮船用____小时,快艇行驶了____千米; 2.5 (3)轮船从甲港到乙港行驶的时间是___小时。

3、已知:函数y = (m+1) x+2 m﹣6 (1)若函数图象在y轴上的截距是12,求此函数的 解析式。 (2)若函数图象与直线 y = 2 x + 5 平行,求其函 数的解析式。
(1)解:由题意知:2m-6=12,解得:m=9 ; 当m=9时,m+1=10≠0, 所以函数的解析式:y=10x+12 (2)解: 由题意知:m +1= 2,解得 m = 1; 当m=1时,2m-6=-4 ≠5, 所以函数的解析式: y = 2x-4

4.某软件公司开发出一种图书管理软件,前期投入 的开发、广告宣传费用共50000元,且每售出一 套软件,软件公司还需支付安装调试费用200元. (1)试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函 数关系式; (2)如果每套定价700元,软件公司至少要售出多 少套软件才能确保不亏本?
解: (1) y=200x+50000

(2) 由题意,得 700x≥200x+50000
解得 x ≥100 所以软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本。

反比例函数

复习提问
下列函数中哪些是正比例函数?哪些是反比例 函数? 2x 1 2 y = 2x y= 3 y= x y = 3x-1 ① ② ③ ④
⑤ y = 3x ⑥ y=

1 x

⑦y = 1

3x

⑧y = 3

2x

填一填
2 1.函数 y = 是 反比例 函数,其图象为双曲线 , x

其中k= 2 ,自变量x的取值范围为 x≠ 0

.

6 2.函数 y = 的图象位于第一、三 象限, x

在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x>0时,y > 0,这部分图象位于第 一 象限.

6 3.函数 y = - 的图象位于第二、四象限, x

在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 当x>0时,y < 0,这部分图象位于第 四 象限.

理一理
函数 表达式 正比例函数 反比例函数
-1 k = ≠ y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) y ? 或y ? kx ?1或xy ? k(k ? 0) = = x

y
图象 及象限

y
o x o k<0 x

y
0

y

x

0

x

k>0

k>0

k<0

当k>0时,y随x的增大而增大;
性质 当k<0时,y随x的增大而减小.

在每一个象限内: 当k>0时,y随x的增大而减小; 当k<0时,y随x的增大而增大.

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴:直线y=x和 y=-x。对称中心是:原点
k y=— x y

y=-x

y=x
0
12

x

k 设P(m, n)是双曲线y = (k 0)上任意一点, 有 : x (1)过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
SDOAP 1 1 1 = 鬃 AP = | m | ? | n | OA |k | 2 2 2
y P(m,n) y P(m,n) o A x

面积性质 (一)

o

A

x

(2)过P分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为A, B,

则S矩形OAPB = OA? AP | m |? | n | | k | (如图所示).
y

面积性质(二) y
P(m,n)
A B P(m,n) A

B

o

x

o

x

(3)设P(m, n)关于原点的对称点是P? - m, - n), 过P作x轴的垂线 ( 与过P作y轴的垂线交于A点, 则

1 | AP?AP?| 1 | 2m |?| 2n | 2 | k | (如图所示). SΔPAP?= 2 2
y

面积性质(三)
P(m,n)

o

x
P/ A

做一做(二)
1.如果反比例函数
1 第二、四象限,那么m的范围为 m> 3 .
由1-3m<0 得-3m<- 1
1 - 3m y= x

的图象位于

1 ∴ m> 3

4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 都在反比例函数 为
y1> y2
4 y= x

的图象上,

则y1与y2的大小关系(从大到小)
.

4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
k4 都在反比例函数 y y ? x(k<0) 的图象上, = x

则y1与y2的大小关系(从大到小)

y2> y1

.

4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 1<0<x2 A(x1,y1),B(x2,y2)且x

k4 都在反比例函数 y y ? x(k<0) 的图象上, = x

则y1与y2的大小关系(从大到小)

y1 >0>y2

.
A

y
y1

o

x2
x
B

x1

y2

4.已知点A(-2,y11),B(-1,y2),C(4,y3) A(-2,y ),B(-1,y2) 都在反比例函数 为
y3 >y1>y2
4 y= x

的图象上,

则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
.
-2

y
-1 y3

A

B

o y1 y2

C 4

x

1 8.如图, 在y = ( x > 0)的图像上有三点A, B, C , x 经过三点分别向x轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, 边结OA, OB, OC , 记D OAA1 , D OBB1 , D OCC1的

A 面积分别为S1 , S2 , S3 , 则有 __ . A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3

y
A S1 B

C

o

S2 S3 A1 B1 C1

x

4.(1999年哈尔滨) k 如图能表示y = k (1 - x)和y = (k 0) x D 在同一坐标系中的大致图象的是 ____ .
y

y
O O

y

y x

x B

x

O

x

o

A

C

D

2.(2000年河南) 已知一次函数y = kx - 2, y随x的增大而减小, 那么 k (D) 反比例函数y = ____ . x A.当x > 0时, y > 0 B.在每个象限内, y随x的增大而减小. C.图象在第一三象限 D.图象在第二四象限.
O x y

1.若正比例函数y = k1 x(k1

0)与反比例函数

k2 y = (k2 0)的函数值都随x的增大而增大, x 那么它们在同一直角坐标系内的大致图 D 象是 ____ .
y

y
O O

y O

y
x

x B

x

x

o

A

C

D


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