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上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研数学试卷(文)


上海市嘉定区 2013—2014 学年高三年级第一次 质量调研 数学试卷(文) 2014 年 1 月 考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须写在答题纸上,写在试卷或草稿 纸上的解答一律无效. 2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚,并在规定的区 域内贴上条形码.答题纸不能折叠. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域是_____________. 2.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z ? (1 ? 3i) ? 1 ,则 | z |? _______. 3.已知函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f 则f
?1 ?1

( x) ,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像经过点 (3 , 1) ,

(1) 的值是___________. {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ( n ? N * ) a ,则 8 的值是__________.
2 3

4.已知数列

5.已知圆锥的母线长为 5 cm ,侧面积为 20? cm , 则此圆锥的体积为________ cm .

6.已知 ? 为第二象限角,

sin ? ?

?? ? 4 tan?? ? ? ? 4 ? ____________. 5 ,则 ?
1 ?0 2 ,且双曲线的右焦点与

a x2 y2 ? ? 1 2 b b2 7.已知双曲线 a ( a ? 0 ,b ? 0 )满足
2

[来源:Zxxk.Com]

抛物线 y ? 4 3x 的焦点重合,则该双曲线的方程为______________. 8.分别从集合 A ? {1 , 2 , 3 , 4} 和集合 B ? {5 , 6 , 7 , 8} 中各任取一个数,则这两数之积为 偶数的概率是_________. 9. 在边长为 1 的正方形 ABCD 中,M 为 BC 的中点, 点 E 在线段 AB 上运动, 则 EC ? EM 的最大值为___________.

? 1? P? 2 , ? lim(a ? a 2 ? ? ? a n ) ? 4?, 10. 函数 y ? a ( a ? 0 , a ? 1 ) 的图像经过点 ? 则 n ?? ______.
x

11.设等比数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,且 a5 ? S 5 ,则 S 2014 ? ________.

[来源:学#科#网]

12.在平面直角坐标系中,动点 P 到两条直线 3x ? y ? 0 与 x ? 3 y ? 0 的距离之积等于 4 ,

则 P 到原点距离的最小值为_________. 13.设集合

A ? {( x , y ) ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 }



B ? {( x , y ) ( x ? t ) 2 ? ( y ? at ? 2) 2 ? 1 }



若存在实数 t ,使得 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是___________.

? ?ax ? 2 x , x ? 0 , f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? bx , x ? 0 是偶函数,直线 y ? t 与函数 f ( x) 的图像自左至 14.已知函数
2

右依次交于四个不同点 A 、 B 、 C 、 D ,若 | AB |?| BC | ,则实数 t 的值为_______. 二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分 ,否则一律得零分.

? ? ? ? a ? ( x ? 1 , 1 ) b 15.设向量 , ? (3 , x ? 1) ,则“ a ∥ b ”是“ x ? 2 ”的?????(
A.充分非必要条件 C.充分必要条件
n



B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

2 ? ? ? x? 2? x ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大, 16. 若? 则展开式中的常数项是 (
A. 180 B. 120 C. 90 D. 45



17.若将函数 y ? sin x ? 3 cos x ( x ? R )的图像向左平移 m ( m ? 0 )个单位后,所 得图像关于 原点对称,则 m 的最小值是?????????????????( )

? A. 6

? B. 3

2? C. 3

5? D. 6

18.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在 [a , b] 上是单调函数;② f ( x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] ,则称区间 [a , b] 是函 数 f ( x) 的“和谐区间” .下列结论错误的是????????????????( A.函数 f ( x) ? x ( x ? 0 )存在“和谐区间”
2



B.函数 f ( x) ? 2 ( x ? R )不存在“和谐区间”
x

f ( x) ?
C.函数

4x x ? 1 ( x ? 0 )存在“和谐区间”
2

D.函数 f ( x) ? log2 x ( x ? 0 )不存在“和谐区间”

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,正三棱锥 A ? BCD 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 , E 为棱 BC 的中点. (1)求该三棱锥的表面积 S ; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成 角的大小(结果用反三角函数值 表示) . A

B E C
[来源:Zxxk.Com]

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 设 x ? R ,函数 f ( x) ? cos x ? sin x , g ( x) ? cos x ? sin x . (1)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;
2

1 ? sin 2 x 2 (2)若 f ( x) ? 2 g ( x) ,求 cos x ? sin x cos x 的值.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

? 3? ?1 , ? ? ? 2 ? 在椭圆 C 上. 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长 轴长为 4 ,且点 ?

(1)求椭圆 C 的方程;

? d C (2) 设 P 是椭圆 长轴上的一个动点, 过 P 作方向向量 ? (2 , 1) 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、
2 2 B 两点,求证: | PA | ? | PB | 为定值.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
2 已知函数 f ( x) 和 g ( x) 的图像关于原点对称,且 g ( x) ? ? x ? 2x .

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)解不等式 f ( x) ? g ( x)? | x ? 1 | ; (3)若函数 h( x) ? f ( x) ? ? ? g ( x) ? 1 在区间 [?1 , 1] 上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

23. (本题满分 18 分)本题共 有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
[来源:学科网]

已知数列

{an } 满足 an?1 ? 2an ? n ? 1 ( n ? N * ) . {an } 是等差数列,求它的首项和公差; {an } 不可能是等比数列;

(1)若数列

(2)证明:数列

c ? an ? kn ? b ( n ? N * ) {c } (3)若 a1 ? ?1 , n ,试求实数 k 和 b 的值,使得数列 n 为等
比数列;并求此时数列

{an } 的通项公式.

上海市嘉定区 2013—2014 学年高三年级第一次质量调研 (文) 参考答案与评分标准

一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1.(2 , ? ?)

1 2. 2

3.2

4.15

5.16?

1 6. 7 ?

x2 ?
7.

3 y2 ?1 2 8. 4

3 9. 2

10. 1

11. 0

12. 2 2

? 0, ? ? 13.

4? 3? ?

3 14. 4

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.A 17.C 18.B 三.解答题 19. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) (1)正三棱锥的斜高 h? ? 3 ? 1 ? 2 2 ,
2 2

????????(2 分)

S?
所以,

3 1 ? 22 ? 3 ? ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 6 2 4 2 . ????????(4 分)

(2)取 BD 中点 F ,连结 AF 、 EF ,因为 EF ∥ CD ,所以 ? AEF 就是异面直线 AE 与

CD 所成的角(或其补角) .

??????????????(2 分) ??????(1 分)

在△ AEF 中, AE ? AF ? 2 2 , EF ? 1 ,

1 2 cos ?AEF ? 2 ? 8 . 2 2 所以

????????????(2 分)

所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小为

arccos

2 8 . ??????(1 分)

20. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分) (1) F ( x) ? (cosx ? sin x)(cosx ? sin x) ? (cosx ? sin x)
2

????(1 分)

?? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 4 ? ,? ? (2 分)
所以,函数 F ( x) 的最小正周期为 ? . ????????(2 分)

2k? ?


?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2 (k ?Z ) ,得

k? ?

3? ? ? x ? k? ? 8 8 (k ?Z ) , (2 分)

3? ?? ? k? ? , k? ? ? ? 8 8? (k ?Z ) 所以函数 F ( x) 的单调递增区间是 ? . ??????(1 分)
(2)由题意, cos x ? sin x ? 2(cosx ? sin x) , 3 sin x ? cos x ,????(1 分)

tan x ?
所以,

1 3.

????????????(1 分)

1 ? sin 2 x cos2 x ? 2 sin 2 x 1 ? 2 tan2 x 11 ? ? ? 2 2 1 ? tan x 6 . ??(4 分) 所以, cos x ? sin x cos x cos x ? sin x cos x
(中间步骤每步 1 分,答案 2 分) 21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1) 因为 C 的焦点在 x 轴上且长轴为 4 ,

x2 y2 ? 2 ?1 C 4 b 故可设椭圆 的方程为 (a ? b ? 0) , ????????(1 分)
? 3? 1 3 ?1 , ? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 在椭圆 C 上,所以 4 4b 因为点 ? , ??????(2 分)
解得 b ? 1 ,
2

????(1 分)

x2 ? y2 ? 1 所以,椭圆 C 的方程为 4 . ??????(2 分)
(2)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是

y?

x?m 2 , ??(1 分)

1 ? y ? ( x ? m) , ? ? 2 ? 2 ?x ? y2 ? 1 , ? ? 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (*) ??????(2 分) 由? 4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个根,

所以有, x2 ? x2 ? m ,
2 2

x1 x 2 ?

m2 ? 4 2 ,
2 2

????????(1 分)
2 2

所以, | PA | ? | PB | ? ( x1 ? m) ? y1 ? ( x2 ? m) ? y2

1 1 5 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x 2 ? m) 2 ? ( x 2 ? m) 2 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x 2 ? m) 2 ] 4 4 4

5 5 2 ? [ x12 ? x 2 ? 2m( x1 ? x 2 ) ? 2m 2 ] ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 2m( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 2m 2 ] 4 4
5 ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 4 (定值) .
所以, | PA | ? | PB | 为定值. ????(1 分)
2 2

??????(3 分)

(写到倒数第 2 行,最后 1 分可不扣)

22. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) (1)设 P( x , y ) 是函数 f ( x) 图像上任一点,则 P 关于原点对称的点 Q(? x , ? y) 在函数

g ( x) 的图像上,
2

??????????(1 分)
2

所以 ? y ? ?(? x) ? 2(? x) ,故 y ? x ? 2 x .
2 所以,函数 f ( x) 的解析式是 f ( x) ? x ? 2 x .

????(2 分) ????(1 分)

2 2 (2)由 f ( x) ? g ( x)? | x ? 1 | ,得 x ? 2 x ? ? x ? 2 x? | x ? 1 | , ????(1 分)

即 2 x ? | x ? 1 |? 0 .
2

??????(1 分)

[来源:学科网]

2 当 x ? 1 时,有 2 x ? x ? 1 ? 0 ,△ ? 1 ? 8 ? ?7 ? 0 ,不等式无解; ??(1 分)

当 x ? 1 时,有 2 x ? x ? 1 ? 0 , (2 x ? 1)(x ? 1) ? 0 ,解得
2

?1 ? x ?

1 2 .??(2 分)

? ?? 1 , 综上,不等式 f ( x) ? g ( x)? | x ? 1 | 的解集为 ?
2 2

1? 2? ?.
2

????????(1 分)

(3) h( x) ? x ? 2x ? ? (? x ? 2x) ? 1 ? (1 ? ? ) x ? 2(1 ? ? ) x ? 1 .????(1 分) ① 当 ? ? 1 时, h( x) ? 4 x ? 1 在区间 [?1 , 1] 上是增函数,符合题意. ????(1 分)

②当 ? ? 1 时,函数 h( x) 图像的对称轴是直线 因为 h( x) 在区间 [?1 , 1] 上是增函数,所以,

x?

? ?1 ? ? 1 . ????(1 分)

? ?1 ? ?1 h ( x ) 1)当 ? ? 1 时, 1 ? ? ? 0 ,函数 图像开口向上,故 ? ? 1 ,

解得 0 ? ? ? 1 ;

????????????????????(1 分)

? ?1 ?1 h ( x ) 2)当 ? ? 1 时,1 ? ? ? 0 ,函数 图像开口向下 ,故 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 .?(1 分)
综上, ? 的取值范围是 [0 , ? ?) . ????? ???(1 分) 23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

a ? 2a2 ? 3 ? 4a1 ? 7 , (1)解法一:由已知 a2 ? 2a1 ? 2 , 3


??(1 分)

{an } 是等差数列,则 2a2 ? a1 ? a3 ,即 4a1 ? 4 ? 5a1 ? 7 , ??(1 分)
????????(1 分)

得 a1 ? ?3 , a2 ? ?4 , 故 d ? ?1 . 所以,数列

{an } 的首项为 ? 3 ,公差为 ? 1 . ??????(1 分) {an } 是等差数列,设公差为 d ,则 an?1 ? an ? d ,

解法二:因为数列 故

an ? d ? 2an ? n ? 1, ??(1 分)

an ? ?n ? d ? 1 ,又 an ? a1 ? (n ? 1)d ,所以有 d ? ?1 , ????(1 分)
又 a1 ? d ? d ? 1 ,从而 a1 ? ?3 . 所以,数列 ????(1 分)

{an } 的首项为 ? 3 ,公差为 ? 1 . ????(1 分)
2 {an } 是等比数列,则有 a2 ? a1a3 ,

(2)假设数列
2

即 4(a1 ? 1) ? a1 (4a1 ? 7) ,

??????(1 分) ????(1 分)

a ? ?9 , 解得 a1 ? ?4 ,从而 a2 ? ?6 , 3


a4 ? 2a3 ? 4 ? ?14.

????(2 分)

因为 a1 , a2 , 所以数列

a3 , a4 不成等比数列,与假设矛盾,
??????(2 分)

{an } 不是等比数列.

c n ?1 ?q c q (3)由题意,对任意 n ? N ,有 n ( 为定值且 q ? 0 ) ,
*

an?1 ? k (n ? 1) ? b ?q a ? kn ? b n 即 .

??????(2 分)

2an ? n ? 1 ? k (n ? 1) ? b 2an ? (k ? 1)n ? k ? b ? 1 ? ?q an ? kn ? b an ? kn ? b 即 , ????(1 分)
于是,

2an ? (k ? 1)n ? k ? b ? 1 ? qan ? kqn ? qb , ????(1 分)
?q ? 2 , ?q ? 2 , ? ? ?k ? 1 ? kq , ? ?k ? 1 , ?k ? b ? 1 ? qb , ?b ? 2 . ? ?

所以,

????(2 分)

{c } 所以,当 k ? 1 , b ? 2 时,数列 n 为等比数列. ????(1 分)

a ?n?2? 2 . 此数列的首项为 a1 ? 1 ? 2 ? 2 ,公比为 q ? 2 ,所以 n
n

因此 ,

{an } 的通项公式为 an ? 2 n ? n ? 2 .

??????(1 分)


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