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动量算符和角动量算符


§3.2 动量算符和角动量算符 1.动量算符和本征方程 1). 动量算符

当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时, 动量 p 和动量算符 ih 相对应, 定义动量算符 p :
r r p → p = ih
本征方程:

p x = ih

x

p y = ih

y

p z = ih

z

r r pψ p = pψ p
各分量方程:

r ihψ p (r ) = pψ p
ih ih ψ p = p xψ p x ψ p = p yψ p y ψ p = p zψ p z

3.2-1

r p xψ p = p xψ p
r p yψ p = p yψ p r p zψ p = p zψ p
它们的解是

ih

i r r 3.2-2 h v v p 可取任意实数值,即动量算符的本征值 p 组成连续谱,相应的本征函数为(3.2-1)式所表示的 v v ψ p (r ) ,这正是自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数。

ψ p (r ) = c exp( p r )

r

2).动量算符本征函数的归一化 a.理想的平面波的归一化问题

Q ∴

ω =ψ ψ p = A e
* p *

i vr pr h

Ae

i vr pr h

= A* A

∫ψ

* p

ψ p dτ = ∫ A dτ = A 2 ∫ dτ = ∞
2

——趋于发散(此波函数不是平方可积,因而不能按这种方式归一化,否则,归一化因子 A 只能为零,这显然没有意义) 。 b.归一化为 δ 函数

ψ p = Ae h

i v r p r

ψ * ′ = A*e p
r

i v r pr h

——上式中 p 与 p ′ 有微小差别,是归一化为 δ 函数的关键。

r



∫ψ

* p′

r r i (r )ψ p (r )dτ = c 2 ∫∫∫ exp ( p x p x′ ) x + ( p y p y ′ ) y + ( p x p z ′ ) z dxdydz h ±∞

[

]



1

∫ ∫ ∫





i exp ( p x p x′ ) dx = 2πhδ ( p x p x′ ) h i exp ( p y p y′ ) dy = 2πhδ ( p y p y′ ) h





i exp ( p z p z′ ) dz = 2πhδ ( p z p z′ ) ∞ h


式中 δ ( p x p ′ ) 是以 p x p ′ 为宗量的 δ 函数,故有 x x



∫ψ

* p′

r r r r (r )ψ p (r )dτ = c 2 (2πh)3 δ ( p p′)
3 2

若 C 取 (2πh ) 即


,则ψ p (r ) 归一化为 δ 函数

r

∫ψ

* p′

r r r r (r )ψ p (r )dτ = δ ( p p ′)

3.2-3

r ψ p (r ) = r

1

(2πh ) 2
3

e

i r r ( p r ) h

3.2-4

ψ p (r ) 不是归一化为 1,而是归一化为 δ 函数,是由于 p 的本征值可以任意取值,动量本
征值构成连续谱所致。 3) .箱归一化 有各边长均为 l 的箱子,建立以箱中心为原点的坐标系,箱中有自由微观粒子
i r r p .r

r

ψ p (r ) = ce h

r

i = c exp ( p x x + p y y + p x z ) h

在箱的表面应满足周期性的边界条件 亦

i 1 i 1 c exp ( p x l + p y y + p z z ) = c exp ( p x l + p y y + p z z ) h 2 h 2


i exp p x l = 1 h


1 1 i exp p x l = cos( p x l ) + i sin( p x l ) = 1 h h h
所以

2

px h l = 2πn x py 同理 l = 2πn y h pz h l = 2πn z
于是得到分立值

n x = 0, ± 1, ± 2, L n y = 0, ± 1, ± 2, L n z = 0, ± 1, ± 2, L

2πn x h px = l 2πn y h py = l 2πn z h pz = l
相邻本征值

Δp x =
l →∞

2πh l

lim Δp x = 0
——相邻本征值的间隔与 l 成反比, l 选取足够大时, 当 本征值的间隔可以任意小, l → ∞ 时, 当 本征值谱就由分立谱变为连续谱。 归一化
* ∫∫∫ψ p′ (r )ψ p (r )dτ = c

r

r

2

ml 2

ml 2

∫∫∫ e

i rr p r h

eh

i r r p r

dτ = c 2 l 3 = 1

所以

c=l
即:



3 2

ψp =

1

l

3/ 2

i r r exp p r h l l , ) 2 2

3.2-5

——箱归一化主要是加入边界条件使积分有限(

注:箱归一化方法仅对平面波适用,而归一化为δ函数方法对任何连续谱都适用。 2.角动量算符 1). 定义 在经典力学中,动量为 p ,对 O 点的位置矢量为 r 的粒子,它绕 O 点的角动量是

r

r r r l =r×p
因而,量子力学中,角动量算符是
3

r l = r × p = ihr ×
2). 角动量的对易式 ①在直角坐标系中角动量算符的对易关系

v v v v v v 角动量算符 l = r × p = ihr × = l x ex + l y e y + lz ez
v l 在直角坐标中的三个分量可表示为

v

lx = ypz zp y = ih( y z ) z y ly = zpx xpz = ih( z x ) x z lz = xp y ypx = ih( x y ) y x
[lx , ly ] = ihlz , [ly , lz ] = ihlx , [lz , lx ] = ihly
v v v l × l = ihl v v v l × l = ihl 是角动量算符的定义式。
(要求会证明)

[lα , lβ ] = ihε αβγ lγ
式中εαβγ称为Levi-Civita符号,是一个三阶反对称张量,定义如下:

ε αβγ = ε βαγ = ε αγβ ε123 = 1
其中 α , β = x, y, z 或 1, 2,3 证明:

[ xα , lβ ] = ihε αβγ xγ [ pα , lβ ] = ihε αβγ pγ
v [lα , l 2 ] = 0

或 或

[lα , xβ ] = ihε αβγ xγ [lα , pβ ] = ihε αβγ pγ

α , β = x, y , z

②在球坐标系中角动量算符的对易关系 ——注意到笛卡尔尔坐标 x 、 y 、 z 和球极坐标 r、θ、 之间的关系:

x = r sin θ cos , y = r sin θ sin ,z = r cos θ

4

r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , cos θ =
2 2 2 2

z y , tg = r x r r r , , x y z

将 r = x + y + z 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导,得

将 cos θ =

θ θ θ z 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导,得 , , r x y z y 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导,得 , , x x y z x y ,再代入可以求得 z

再将 tg =

利用这些关系式可以求得,

)、 lx = ih(sin + ctgθ cos θ ly = ih(cos ) ctgθ sin θ lz = ih

v 1 1 l 2 = h 2 [ ] (sin θ )+ 2 θ sin θ sin θ θ
l x 、 l y 、 l z 只与θ, 有关,与 r 无关,而且 lz 只与 有关。 2 = 2 2 2 + 2 + 2 x 2 y z
2 1 2 1 1 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 r θ r 2 r r sin θ θ r sin 2 θ 2

=


v v pr2 pr2 l 2 l 2 = 2 2 2 = 2 2 2 h hr h hr
2

其中 p r =

h 1 1 2 ( + ), p r2 = h 2 2 (r ) , p r 可称为径向动量算符。 i r r r r r

③角动量升降阶算符 (I) 定义

5

l+ = lx + ily , l = lx ily
显然有如下性质

l+ + = l , l + = l+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系

v v v [lz , l± ] = ± hl± , [l 2 , l± ] = 0 , l+ l = l 2 lz2 + hlz , ll+ = l 2 lz2 hlz

④ L 在球坐标中的表示
2

注: L x = L x L x 在进行平方运算时(例如:其中有
2

等的作用,考虑后面所有含 的项)



ictgθ sin L = L x iL y = ih(sin ) + ih(i cos + ctgθ cos θ θ = ih(ie i + ctgθe i ) θ

L+ = Lx + iLy = ih(iei + ctgθei ) θ
L+ L = L x + iL y L x iL y = L2 + L2 i L x L y L y L x = L2 L2 i (ihL z ) x y Z 见p88 [ L x , L y ] = ihL z
所以

(

)(

)

(

)

1 2 1 L2 = L+ L + L2 hL z = h 2 sin θ + z θ sin 2 θ 2 sin θ θ
(1)

3.2-8

L2 本征值方程的求解 L2Y (θ , ) = λh 2Y (θ , ) 将 L 算符代入得
2

3.2-9

1 1 2 sin θ + Y (θ , ) = λY (θ , ) θ sin 2 θ 2 sin θ θ

3.2-10

Y (θ , ) 是 L2 算符的本征函数,属于本征值 λh 2 的。注:解见梁昆淼 45 节

6



Y (θ , ) = Θ(θ )Φ ( )

代入 3.2-10

Φ ( ) sin θ θ

2 Θ(θ ) sin θ θ Θ(θ ) + sin 2 θ 2 Φ ( ) = λΘ(θ )Φ ( )

两端同除 Θ(θ )Φ ( ) 整理

sin θ Θ(θ ) θ
则得到

1 2 sin θ Φ ( ) = λ sin 2 θ Θ(θ ) + Φ (φ ) φ 2 θ

1 d d (Θ ) m2 )Θ(θ ) = 0 sin θ + (λ dθ sin 2 θ sin θ dθ 2 d Φ ( ) + m 2 Φ (φ ) = 0 d 2
由(II)

(I ) ( II )

Φ ( ) =
由(I)作变量代换 令

1 2π

e im

m = 0, ± 1, ± 2L

ρ = cos θ

1 ρ 2 = sin 2 θ

Θ(θ ) = p( ρ )

而 所以

d dρ d d = = sin θ dθ dθ dρ dρ

d dρ

dp ( ρ ) m2 (1 ρ 2 ) + λ p( ρ ) = 0 2 dρ 1 ρ

——缔合勒让得方程 这是二阶微分方程,有两个线性无关的解,从推算中可以知道,除非常数 λ 取特殊值,否则这 两个解在 θ = nπ 时要等于无限大,这不符合要求,但当 λ = l (l + 1) , l 为正整数,或为零,而且

m ≤ l 那么其中一个解就有限了,这样的解是符合要求的。 Θ是

Θ = Bplm ( ρ )
m

l = 0, m = l,

1, 2, L l 1, L,

l

这里 p l (cos θ ) 是边带的勒让德(Legendre)函数

7

m

pl ( ρ ) = (1 ρ )
m

2

2

d pl ( ρ ) dρ m

m

其中

pl ( ρ ) =
于是

1 dl ( ρ 2 1) l 2!l! dρ

Ylm (θ , ) = (1) m N lm plm (cos θ )e im m * Yl ( m ) (θ , ) = (1) Yl ( m ) (θ , )
归一化系数

m=0 m=

1

2

Ll L l

1

2

N lm =
例: l = 1

(l m )!(2l + 1) (l + m )!4π

m = 0 时,写出 Ylm (θ , ) = Y10 (θ , )

Q pl ( ρ ) =

1 d 1 ( ρ 2 1) = 2 ρ = cos θ 2! l! dρ 2

p10 ( ρ ) = pl ( ρ ) = cos θ

N 10 =

2 ×1 + 1 = 4π
3 cos θ 4π
2

3 4π

∴ Y10 (θ , ) =
2

——为 L Y (θ , ) = λh Y (θ , ) = 2h Y10 (θ , )
2

⑤ 结论

1. L ,
2

L z 有共同的本征态 Ylm (θ , )
2
2

2. l (l + 1)h 在 l 本征态下的角动量, l 一定, m 可取 (2l + 1) 值,即有 (2l + 1) 本征函数,对应一
个 l 有 (2l + 1) 度简并 参考书:梁昆淼 p296~303勒让得方程的级数解 p331~338勒让得方程的一般表示,微分表示式的正交关系,模(归一化)母函数 递推关系。 p345~356 关于缔合勒让得方程

8

3. 逆算符

1 (1). 定义: 设ψ=φ, 能够唯一的解出ψ, 则可定义算符之逆-1为: A φ = ψ
(2).性质I: 若算符之逆-1存在,则

AA1 = A1 A = I , [ A, A1 ] = 0 (3).性质 II: 若 , B 均存在逆算符, 则 ( AB) 1 = B 1 A1
4. 算符函数 设给定一函数 F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛

F ( x) = ∑

F ( n ) (0) n x n! n=0



则可定义算符 的函数 F()为:

F F ( A) = ∑
n=0



(n)

(0) n A n!

补充:定义一个量子体系的任意两个波函数(态) ψ与的“标积”

(ψ , ) = ∫ dτψ *

∫ dτ 是指对体系的全部空间坐标进行积分,dτ是坐标空间体积元。例如
对于一维粒子: dτ = 对于三维粒子: dτ = 可以证明







∞ +∞

dx



∫∫∫

dxdydz



(ψ ,ψ ) ≥ 0 * (ψ , ) = ( ,ψ ) (ψ , c11 + c22 ) = c1 (ψ , 1 ) + c2 (ψ , 2 ) (c ψ + c ψ , ) = c* (ψ , ) + c* (ψ , ) 1 1 2 2 1 1 2 2
5. 转置算符

9

算符 的转置算符 A 定义为

%

∫ dτψ


*

% A = ∫ dτ Aψ *

% (ψ , A ) = ( * , Aψ * )

式中ψ和是两个任意波函数。 例如:

% = (证明) x x
% px = px

可以证明: ( AB ) = BA
6. 复共轭算符 算符的复共轭算符*就是把表达式中的所有量换成其复共轭。 但应注意,算符 的表达式与表象有关。 7. 厄米共轭算符 算符之厄米共轭算符+定义为:

%%

∫ dτψ

*

A+ = ∫ dτ ( Aψ )*



(ψ , A+ ) = ( Aψ , )

厄密共轭算符亦可写成:

% A+ = A*
+ + + 可以证明: ( AB ) = B A ( ABC L) + = L C + B + A+
8. 厄米算符 (自共轭算符) (1). 定义: 满足下列关系的算符称为厄米算符.

∫ dτψ
或 (2).

*

A = ∫ dτ ( Aψ )*

(ψ , A ) = ( Aψ , )

A+ = A
性质

性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。 性质 II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。

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