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第4讲数学归纳法


专题十三 推理证明、算法、复数 第4讲 数学归纳法 1.数学归纳法的原理及其步骤. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【复习指导】 复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理,明晰其内在的联 系,把握数学归纳法证明命题的一般步骤,熟知每一步之间 的区别联系,熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧. 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常 叫做归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全 体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法. 2.数学归纳法 (1)数学归纳法:设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合, 如果:①证明起始命题P1(或P0)成立;②在假设Pk成立的 前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切正 整数成立. (2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数n0时命题成立; ②归纳递推:假设n=k,(k∈N*,k≥n0)时,命题成立,证明当n =k+1时,命题成立; ③由①②得出结论. 两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法, 第一步是递推的“基础”,第二步是递推的“依据”,两 个步骤缺一不可,在证明过程中要防范以下两点: 第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合适 的起始值. (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明n= k+1时,命题也成立的过程中一定要用到它,否则就不是 数学归纳法.第二步关键是“一凑假设,二凑结论”. 三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点: (1)n=n0时成立,要弄清楚命题的含义. (2)由假设n=k成立证n=k+1时,要推导详实,并且一定 要运用n=k成立的结论. (3)要注意n=k到n=k+1时增加的项数. 考向一 用数学归纳法证明等式 [审题视点]注意第一步验证的值,在第二步推理证明时 要注意把假设作为已知. 【反思与悟】 用数学归纳法证明等式时,要注意第(1) 步中验证n0的值,如本题要取n0=2,在第(2)步的证明 中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公 式. 考向二 用数学归纳法证明整除问题 【例2】是否存在正整数m使得f(n)=(2n+7)· 3n+9对任意自 然数n都能被m整除,若存在,求出最大的m的值,并证明 你的结论;若不存在,说明理由. [审题视点] 观察所给函数式,凑出推理要证明所需的项. 解 由f(n)=(2n+7)· 3n+9得,f(1)=36,f(2)=3×36, f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想:m=36. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,显然成立; (2)假设n=k(k∈N*且k≥1)时,f(k)能被36整除,即f(k)= (2k+7)· 3k+9能被36整除; 【反思与悟】 证明整除问题的关键“凑项”,而采用增 项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出n=k时的情形, 从而利用归纳假设使问题获证. 考向三 用数学归纳法证明不等式 [审题视点]本题用数学归纳法证明不等式,在推理过程 中用放缩法,要注意放缩的“度”. 【反思与悟】 在由n=k到n=k+1的推证过程中,应用放 缩技巧,使问题得以简化,用数学归纳法证明不等式问题 时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等式的常用 方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等. 下面用数学归纳法证明这个猜想: 由于方法选择不当导致失误 【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式 命题

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