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第二讲不等式(学生用)


第二讲 一、基础知识梳理
1. 实数的性质:
a ? b ? a?b ? 0

不等式

;a

? b ? a?b ? 0

;a

? b ? a?b ? 0



2. 不等式的性质:






a ? b ? b ? a ,a ? b ? b ? a .
a ? b 且b ? c ? a ? c .



对称性 传递性 加法性质 乘法性质 乘方、 开方性质 倒数性质 特别提示

a ? b ? a ? c ? b ? c ;a ? b 且c ? d ? a ? c ? b ? d .
a ? b , c ? 0 ? a c ? b c ; a ? b ? 0 ,且 c ? d ? 0 ? a c ? b d ? 0 .

a ? b ? 0, n ? N
a ? b, ab ? 0 ?

?

? a ? b ; a ? b ? 0, n ? N
n n

?

?

n

a ?

n

b.

1 a

?

1 b



只有同向不等式才能相加, 对异向不等式相减的题目课转化为同向不等式 相加;有关不等式相乘的性质,注意每一个因数的正负。

3. 常用基本不等式:






a ? 0
2


a?b 2

等号成立的条件
a ? 0
2 2

a?R
a ? R,b ? R
2 2

a ? b ? 2ab , ab ? (

) ,

2

a ?b 2

? (

a?b 2

)

2

a ? b

基本不等式:
a ? 0, b ? 0

a ? b ? 2 ab

常 见 变式:
2

b a

?

a b

? 2;

a ?
2

1 a

? 2
2

a ? b

a ? 0, b ? 0

1 a

?

1 b

?

ab ?

a ?b 2

?

a

?b 2

a ? b

4.利用重要不等式求最值的两个命题: 命题 1:已知 a,b 都是正数,若 ab 是实值 P,则当 a=b= 命题 2:已知 a,b 都是正数,若 a+b 是实值 S,则当 a=b= 时,和 a+b 有最小值 2
s 2

.命 .

时,积 ab 有最大值

s

2

4

注意:运用重要不等式求值时,要注意三个条件:一“正”二“定”三“等” ,即各项均为 正数,和或积为定值,取最值时等号能成立,以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法:设 a>0,x1x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根,且 x1≤x2,则有

-1-

△ 图象

△>0

△=0

△<0

ax2+bx+c=0 的解 ax2+bx+c>0 解集 ax2+bx+c<0 解集

x=x1 或 x=x2 {x︱x<x1 或 x>x2} {x︱x1<x<x2}

x=x1=x2=-b/2a {x︱x≠x1 } Φ

无实数解 R Φ

结论:ax2+bx+c>0 ?

a ? 0 ? 或 a ? 0检 验 ? 2 ?b ? 4ac ? 0

;ax2+bx+c<0 ? ?

?
2

a ? 0

?b ? 4ac ? 0

或 a ? 0检 验

6.一元一次不等式的解法: ax>b:①a>0 时,解集为{x︱x>
b a

};②当 a<0 时,解集为{x︱x<

b a

};③当 a=0,b<0 时,

7.二元一次不等式(组)的解集所表示的图形 (1)平面区域:先用“直线定界” ,再判断哪侧: 法 1:只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0) ,从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) ; 法 2:A>0 时 Ax+By+C>0 右侧 Ax+By+C<0 左侧; 法 3:B>0 时 Ax+By+C>0 上方 Ax+By+C<0 下方 (2)解线性规划应用问题的步骤: (1)设:先设变量,列出约束条件和目标函数; (2)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (3)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且 纵截距最大或最小的直线;移的方法:目标函数 z ? a x ? b y , a ? 0 越向右方移 Z 越大,越 向左方移 Z 越小, a ? 0 越向右方移 Z 越小,越向左方移 Z 越大 8. 不等式证明方法: 基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法:换元法(三角换元、均值换元等) 、放缩法、构造法、判别式法 特别提醒:不等式的证明,方法灵活多样,它可以和很多内容结合.高考解答题中,常渗 透不等式证明的内容,最常用的思路是用分析法探求证明途径,再用综合法加以叙述。我们 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

二、典型例题
例 1 解不等式: (1) 2 x ? x ? 15 x ? 0 ; (2) ( x ? 4 )( x ? 5 ) ( 2 ? x ) ? 0 .
3 2

2

3

-2-

例 2 解下列分式不等式: (1)
3 x?2 ?1? 2 x? 2

; (2)

x ? 4x ? 1
2

3x ? 7 x ? 2
2

?1

例 3 解不等式 x ? 4 ? x ? 2
2

例 4 解不等式

x ? 6x ? 5
2

12 ? 4 x ? x

2

? 0



例 5 解不等式

x

2

? 2x ? 2
2

3 ? 2x ? x

? x.

例 6 设 m ? R ,解关于 x 的不等式 m 2 x 2 ? 2 mx ? 3 ? 0 .

例 7 解关于 x 的不等式 2 ax ? a 2 ? 1 ? x ( a ? 0 ) .

例 8 解不等式 4 x 2 ? 10 x ? 3 ? 3 .

-3-

例 9 解关于 x 的不等式 x 2 ? ( a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0 .

例 10 已 知 不 等 式 ax
cx
2

2

? bx ? c ? 0 的 解 集 是

?x

? ? x ? ? ?(? ? 0 ) . 求 不 等 式

? bx ? a ? 0 的解集.

例11

若不等式

x?a x ? x ?1
2

?

x?b x ? x ?1
2

? 的解为 ( ?? , ) ? (1, ? ) ,求 a 、 b 的值. 3

1

例12

不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ,求 a 与 b 的值.

例 13 解关于 x 的不等式 ax 2 ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 .

例 14 解不等式 x 2 ? 3 x ? 10 ? 8 ? x .

-4-


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