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山东省聊城市某重点高中2013-2014学年高三上学期期初分班教学测试文科数学试题 Word版含答案


山东省聊城市某重点高中 2013-2014 学年高三上学期期初分班教 学测试文科数学试题
考试时间:100 分钟; 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题 1.若集合 P= { y | y ? 0} , P ? Q ? Q ,则集合 Q 不可能是( ... )

A.{ y | y ? x 2 , x ?R}
C.{ y | y ?| lg x |, x > 0?

B.{ y | y ? 2 x , x ?R}
D.{ y | y ? x ?3 , x ? 0}

2.阅读下图程序框图,该程序输出的结果是 开始

a=1,s=1

是 a≥4? 否 s=s×9 结果

输出 s

a=a+1

A、4 B、81 C、729 D、2187 3.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( ▲ ) A.

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

D. 3

4.已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A∈α,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出 现的是 ( ) A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α

x2 y 2 5.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,P 是椭圆上的一点, a b l:x?? a2 ,且 P ?l ,垂足为 Q ,若四边形 PQF1 F2 为平行四边形,则椭圆的离心率的 Q c
) (B) (0, )

取值范围是( (A) ( ,1)

1 2

1 2

(C) (0, )

2 2

(D) (

2 , 1) 2

6.若一个球的表面积是 9? ,则它的体积是: A. 9? B.

2? 9

C.

2? 3

D.

9? 2

7 . 已 知 服 从 正 态 分 布 N ( ? , ? 2 ) 的 随 机 变 量 在 区 间 ( ? ?? , ? ? ? ) , ( ? ? 2? , ? ? 2? ) ,和( ? ? 3? , ? ? 3? )内取值的概率分别为 68.3%,95.4%,和 99.7%.某校为高一年级 1000 名新生每人定制一套校服,经统计,学生的身高(单位: cm) 服从正态分布 (165, 2) 则适合身高在 155~175cm 范围内的校服大约要定制 5 , ( ) A. 683 套 B. 954 套 C. 972 套 D. 997 套 8. ( x ? 3 y ) 6 的二项展开式中, x y 项的系数是(
2 4



A. 45 B. 90 C. 135 D. 270 9. 投掷一枚骰子, 若事件 A={点数小于 5}, 事件 B={点数大于 2}, P 则 (B|A) ( = A.



1 5
4 m a 0.2

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2
( )

10.已知某一随机变量 X 的概率分布如下,且 E(X)=6.9,则 a 的值为 X P A. 5 11.函数 y ? 9 0.5 B. 6 C. 7 ) D. 8

|x| ? x 的图象是( x

2

12.函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) .当

0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x 2 .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图象有两个不同的公共
点,则实数 a 的值为( A. n ) B. 2n

?n ? Z?
1 4

?n ? Z?
1 ?n ? Z? 4

C. 2n 或 2n ?

?n ? Z?

D. n 或 n ?

第 II 卷(非选择题)

评卷人

得分 二、填空题

13.若集合 A ? ? 0, m ? , B ? ? 2, 3 ? , A ? B ? ? 3 ? ,则实数 m ? 14.若复数 z ?



1 ? 3i ( i 是虚数单位) ,则 z 的模 z = 1 ? 2i

.

15.三位老师分配到 4 个贫困村调查义务教育实施情况,若每个村最多去 2 个人,则不 同的分配方法有 种. 16.设 f ( x) ? ?

?lg x x?0 ? ,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ? a x ? ? 3t 2 dt x ? 0 ? 0 ?



评卷人

得分 三、解答题

17.已知向量 a

? (sin x,?1) , b ? ( 3 cos x,2) ,函数 f ( x) ? (a ? b) 2 .
? ?
, ] ,求函数 f (x) 的值域。 4 2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? [?

18.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90° 平面 PAB⊥ , 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点.

P

A D B E C

(Ⅰ)求证:DE∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB⊥PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小. 19.已知函数 f ( x) ? x ?

t (t ? 0) 和点 P(1 , 0) ,过点 P 作曲线 y ? f (x) 的两条切线 x PM 、 PN ,切点分别为 M 、 N .

(Ⅰ)设 MN ? g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (Ⅱ)是否存在 t ,使得 M 、 N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不存在, 请说明理由. (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [2 , n ?

64 ] 内总存在 m ? 1 个 n

实数 a1 , a 2 ,?, a m , a m ?1 ,使得不等式 g (a1 ) ? g (a 2 ) ? ? ? g (a m ) ? g (a m?1 ) 成立, 求 m 的最大值.
? x = cos ? 20.已知圆 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半 ? y = sin ?

? 轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 3
(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1 、 C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 21.下表提供了某厂节能降耗技术发行后,生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的 生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

? (1)求线性回归方程 y ? b x ? a 所表示的直线必经过的点; ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ;
并预测生产 1000 吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤?

?

?

?

?

? (参考: b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

? ? , a ? y ? bx )

2 i

? nx

2

4

22.下面四个图案,都是由小正三角形构成,设第 n 个图形中所有小正三角形边上黑点 的总数为 f (n) .

图1

图2

图3

图4

(1)求出 f (2) , f (3) , f (4) , f (5) ; (2)找出 f (n) 与 f (n ? 1) 的关系,并求出 f (n) 的表达式; (3) 求证:

1

1 f (1) ? 3 3

?

1 1 f (2) ? 5 3

?

1 1 f (3) ? 7 3

?? ?

1 1 f ( n) ? 2n ? 1 3

?

25 ( n ? N * ). 36

参考答案 1. D 【 解 析 】 由 P? Q ?

| , Q 得 Q ? P . 因 为 A .y{ y?

2

x ?R x ,

} , ? [ 0 ? ? )P ; ?

B.{ y | y ? 2 x , x ?R} ? (0, ??) ? P ; C.{ y | y ?| lg x |, x > 0? ? [0, ??) ? P ;所以选 D.
2.C 【解析】 试题分析:第一圈,否,s=9,a=2; 第二圈,a=2,否,s=81,a=3; 第三圈,否,s=729,a=4; 第四圈,是,输出 s=729,故选 C。 考点:程序框图功能识别 点评:简单题,利用程序框图,逐次运算。 3.A 【解析】由图可知,该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥后得到的几何体,如图

其中三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形,高为 2,三棱锥的高为 1,底面与三棱柱的底面 相同,则 V ? V三棱柱 ? V三棱锥 ? 2 ? 4.C 【解析】本题考查空间点、线、面的位置关系。因为 A∈α,A∈ l 所以 l∥α 不可能,选项 C 应改为 l⊥m,l ? α。 5.A 【解析】 试题分析:因 为 PQF1 F2 为 平 行 四 边 形 , 对 边 相 等 . 所 以 , PQ=F 1 F 2 , 即 PQ=2C. 设 P( x 1 , y 1 ) . P 在 X 负 半 轴 , - x1=

3 2 1 3 2 5 3 ,故选 A ? 2 ? ? 1? ?2 ? 4 3 4 3

a2 - 2c< a, 所 以 2c 2 +ac- a 2 > 0, c
1 , 2 1 <e<1,选 A。 2
1

即 2e 2 +e- 1> 0, 解 得 e>

又 椭 圆 e 取 值 范 围 是 ( 0, 1) , 所 以 ,

考点:椭圆的几何性质 点评:简单题,注意从平行四边形入手,得到线段长度之间的关系,从而进一步确定得到 a,c 的不等式,得到 e 的范围。 6.D 【解析】设球半径为 R,则 4? R 2 ? 9? ,? R ? 7.B 【解析】 试 题分 析: 由于, 服从正 态分布 N( ? , ? 2 ) 的随机变 量在 区间 ( ? ? ? , ? ? ? ) , ( ? ? 2? , ? ? 2? ) ,和( ? ? 3? , ? ? 3? )内取值的概率分别为 68.3%,95.4%,和 99.7%. 所以,当学生的身高(单位:cm)服从正态分布(165,52) ,则适合身高在 155~175cm 范 围内的校服大约要定制套数为 1000× 95.4%=954, ,故选 B。 考点:正态分布 点评:简单题,根据随机变量在区间( ? ? 2? , ? ? 2? )内取值的概率为 95.4%,确定定 制套数。 8.C 【解析】
r r 试题分析: ( x ? 3 y ) 6 的二项展开式中, Tr ?1 ? C6 x6?r ( 3 y )r ? 32 C6 x 6?r y r ,令 r=4 得, r

3 4? 3 3 9? ;则V= ( ) ? . 故选 D 2 3 2 2

x 2 y 4 项的系数是 32 C64 =135,选 C。
考点:二项展开式的通项公式
r 点评:简单题,二项式 ( a ? b) 展开式的通项公式是, Tr ?1 ? Cn a n ? r b r 。

n

9.D 【解析】 试题分析:投掷一枚骰子,基本事件总数为 6.

2 P( AB) 1 由公式 P(B|A)= 及题意得, P(B|A)= 6 ? ,故选 D. 4 2 P( A) 6
考点:条件概率 点评:简单题,利用条件概率的计算公式 P(B|A)=

P( AB) 。 P( A)

10.B 【解析】 试题分析:因为,在分布列中,各变量的概率之和为 1. 所以,m=1-(0.2+0.5)=0.3,由数学期望的计算公式,得, 4 ? 0.3 ? a ? 0.2 ? 9 ? 0.5 ? 6.9 ,a 的值为 6,故选 B。 考点:随即变量分布列的性质,数学期望。 点评:小综合题,在分布列中,各变量的概率之和为 1. 11.C
2

【解析】 试题分析:函数与图象配伍问题,要注意定义域、值域、奇偶性(对称性) 、单调性等。 该函数是奇函数,图象关于原点对称。所以,选 C。 考点:函数的图象 点评:简单题,函数与图象配伍问题,要注意定义域、值域、奇偶性(对称性) 、单调性等。 12.C 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 , 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 的 x ? R , 都 有

f ( x ? 2 )? f ( x .所以,函数 f ( x) 周期为 2,又当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x 2 .结合其图象及 )
直线 y ? x ? a 可知,直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图象有两个不同的公共点,包括相 交、一切一交等两种情况,结合选项,选 C。

考点:函数的奇偶性、周期性,函数的图象。 点评:中档题,解函数不等式,往往需要将不等式具体化或利用函数的图象,结合函数的单 调性。总之,要通过充分认识函数的特征,探寻解题的途径。 13.3 【解析】 试题分析:根据题意,由于集合 A ? ? 0, m ? , B ? ? 2, 3 ? , A ? B ? ? 3 ? ,那么可知 3 是 集合 A 中的元素,故可知 m=3,因此答案为 3. 考点:交集 点评:主要是考查了集合的交集的运算,属于基础题。 14. 2 【解析】 试题分析:因为, z ?

1 ? 3i | 1 ? 3i | 10 1 ? 3i |? ? ? 2。 ,所以, z 的模 z = | 1 ? 2i | 1 ? 2i | 5 1 ? 2i

考点:复数的代数运算,复数模的计算。 点评:简单题,解答本题可以先计算 z,再求|z|,也可以利用复数模的性质。 15. 60 【解析】
3 试题分析:若每个村去一个人,则有 A4 ? 24 种分配方法;若有一个村去两人,另一个村去

3

1 2 一人,则有 C3 ? A4 ? 36 种分配方法,所以共有 60 种不同的分配方法.

考点:本小题主要考查利用排列组合知识解决实际问题. 点评:解决排列组合问题时,一定要分清是排列还是组合,是有序还是无序. 16.1 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 ,

?lg x, x ? 0 a 。 3t 2 dt = t 3 |0 ?? a 3 , 所 以 , f ( x) ? ? 3 ?0 ?x ? a , x ? 0
a

f (1) ? lg1 ? 0, f ( f (1)) ? f (0) ? a3 ? 1, a ? 1.
考点:定积分计算,分段函数,对数函数的性质。 点评:小综合题,本题思路清晰,通过计算定积分确定得到函数的解析式,进一步计算函数 值。 17. (1) T ?
2? ?? 2

(2) [3 ? 3 ,5] 【解析】 试题分析:解: (Ⅰ)由已知 f ( x) ? (a ? b) 2 ? (sin x ? 3 cos x) 2 ? (?1 ? 2) 2 2分

? 化简,得 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 3 6
函数 f (x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ) x ? [? 所以 ?
2? ?? 2

4分 6分 8分

? ?

? ? 7? , , ] ,则 ? ? 2 x ? ? 4 2 3 6 6
10 分 12 分

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

函数 f (x) 的值域是 [3 ? 3 ,5]

考点:三角函数的性质 点评:主要是考查了二倍角公式以及三角函数的性质的求解,属于基础题。 18. (Ⅰ)由 D、E 分别为 AB、AC 中点,得 DE∥BC .可得 DE∥平面 PBC (Ⅱ)连结 PD,由 PA=PB,得 PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB,推出 DE ⊥ AB. AB⊥平面 PDE,得到 AB⊥PE . (Ⅲ)证得 PD ? 平面 ABC 。 以 D 为原点建立空间直角坐标系。 二面角的 A-PB-E 的大小为 60? . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)D、E 分别为 AB、AC 中点,?DE∥BC . DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC,∴DE∥平面 PBC
4

(Ⅱ)连结 PD, PA=PB, ? PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB,? DE ⊥ AB.又

PD ? DE ? D ?AB⊥平面 PDE,PE? 平面 PDE,?AB⊥PE .
分 (Ⅲ)平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB, 7分 ? PD ? 平面 ABC. 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 z

6

P

A D B x E y C

3 ?B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 , ? 3) . PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0, 2
? x ? 3 z ? 0, ? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x,y,z) ,? ? 3 ? y ? 3z ? 0, ?2

令z? 3

2, 得 n1 ? (3, 3) .

1 , DE⊥平面 PAB,?平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,0) .
设二面角的 A-PB-E 大小为 ? 由图知, cos ? = cos n1,n2 =
n1 ? n2 n1 ? n2 = 1 , ? =60? , 2

二面角的 A-PB-E 的大小为 60? . 考点:立体几何中的平行关系、垂直关系,角的计算,空间向量的应用。 点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、 体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、 三计算”的步骤,本题利用空间向量,简化了证明及计算过程。 19. (Ⅰ)函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ?

20t 2 ? 20t (t ? 0) .

(Ⅱ)存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且 t ?

1 . 2

5

(Ⅲ) m 的最大值为 6 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)设 M 、 N 两点的横坐标分别为 x1 、 x 2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t , x2

∴切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )( x ? x1 ) , x1 x1

又?切线 PM 过点 P(1,0) ,

?有 0 ? ( x1 ?

t t 2 ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) ,即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 , (1) x1 x1
2

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x 2 ? 2tx2 ? t ? 0 . (2) 由(1)(2) 、 ,可得 x1 , x 2 是方程 x 2 ? 2tx ? t ? 0 的两根,

? x1 ? x 2 ? ?2t , ?? ? x1 ? x 2 ? ?t .

( * )

MN ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ?

t t ? x2 ? ) 2 x1 x2 t 2 ) ], x1 x 2

? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ][1 ? (1 ?
把( * )式代入,得 MN ?

20t 2 ? 20t ,
20t 2 ? 20t (t ? 0) .

因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ?

(Ⅱ)当点 M 、 N 与 A 共线时, k MA ? k NA ,

x1 ?

?

t t ? 1 x2 ? ?1 2 2 x1 ? t ? x1 x 2 ? t ? x 2 x1 x2 = ,即 = , 2 2 x1 ? 0 x2 ? 0 x1 x2

化简,得 ( x2 ? x1 )[t ( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ] ? 0 ,

? x1 ? x2 ,? t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1 .
把(*)式代入(3) ,解得 t ?

(3)

1 . 2

6

?存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且 t ?
(Ⅲ)解法1 :易知 g (t ) 在区间 [2 , n ?

1 . 2

64 ] 上为增函数, n

? g (2) ? g (ai ) ? g (n ?

64 ) (i ? 1,2,?, m ? 1) , n

则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a 2 ) ? ? ? g (a m ) ? m ? g (n ? 依题意,不等式 m ? g (2) ? g (n ?

64 ). n

64 ) 对一切的正整数 n 恒成立, n

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

即m ?

1 64 64 [(n ? ) 2 ? (n ? )] 对一切的正整数 n 恒成立. 6 n n

?n ?

64 ? 16 , n

?

1 64 64 1 2 136 [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? [16 ? 16] ? , 6 n n 6 3 136 . 3

?m ?

由于 m 为正整数,?m ? 6 . 又当 m ? 6 时,存在 a1 ? a 2 ? ? ? a m ? 2 , a m?1 ? 16 ,对所有的 n 满足条件. 因此, m 的最大值为 6 . 解法 2 :依题意,当区间 [2 , n ? 得到的 m 最大值,即是所求值.

64 ] 的长度最小时, n

?n ?

64 ? 16 ,?长度最小的区间为 [2 , 16] n

当 ai ? [2 , 16] (i ? 1,2,?, m ? 1) 时,与解法1 相同分析,得 m ? g (2) ? g (16) , 解得 m ?

136 . 3

后面解题步骤与解法1 相同(略) .

考点:导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性及极(最)值,不等式恒成立问题。 点评:难题,切线的斜率等于函数在切点的导函数值。不等式恒成立问题,常常转化成求函 数的最值问题。 (III)小题,通过构造函数,研究函数的单调性、极值(最值) ,进一步确定 得到参数的范围。
1 3 2 1 3 2 20. (Ⅰ) ( x ? )2 ? ( y ? (Ⅱ) | AB |? (1+ ) 2 +(0+ ) = 3。 ) ? 1。 2 2 2 2
7

【解析】
? x = cos ? 试题分析: (Ⅰ)由 ? 得 x2+y2=1, ? y = sin ?

又∵ρ=2cos(θ+

? )=cosθ- 3 sinθ, 3

∴ρ2=ρcosθ- 3 ρsinθ.∴x2+y2-x+ 3 y=0,
1 3 2 即 ( x ? )2 ? ( y ? ) ?1 2 2

5分

1 3 2 (Ⅱ)圆心距 d ? (0 ? )2 ? (0 ? ) ?1? 2 , 2 2

? x2 ? y 2 ? 1 ? 得两圆相交,由 ? 2 2 ?x ? y ? x ? 3y ? 0 ?
1 3 得,A(1,0),B (? , ? ) , 2 2
1 3 2 ∴ | AB |? (1+ ) 2 +(0+ ) = 3 2 2

10 分

考点:极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用。 点评:中档题,参数方程化为普通方程,常用的“消参”方法有,代入消参、加减消参、平方 关系消参等。利用参数方程,往往会将问题转化成三角函数问题,利用三角公式及三角函数 的图象和性质,化难为易。极坐标方程化为普通方程,常用的公式有,

x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ?

y 等。 x

? 21.(1) 线性回归方程 y ? b x ? a 所表示的直线必经过的点(4.5,3.5)
(2) 预测生产 1000 吨甲产品的生产能耗 700.35 吨 【解析】 试题分析:(1) X ? 4.5 , Y ? 3.5 ,

?

?

? 线性回归方程 y ? b x ? a 所表示的直线必经过的点(4.5,3.5)
(2)

?

?

?XY
i ?1

4

i i

? 66.5

?X
i ?1

4

2 i

? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86 ,又

X ? 4.5 , Y ? 3.5

? 所以 b ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 0.7 ; 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

? ? a ? Y ? bX ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35
所求的回归方程为: y ? 0.7 x ? 0.35

8

x ? 1000 , y ? 1000 ? 0.7 ? 0.35 ? 700 .35 吨,
预测生产 1000 吨甲产品的生产能耗 700.35 吨 考点: 本题主要考查线性回归直线的特征, 线性回归直线方程的确定方法, 回归系数的意义。 点评:中档题,近几年高考题目中,出现此类题目较多,多为选择题、填空题。解的思路比

? 较明确,公式不要求记忆,计算要细心。线性回归方程 y ? b x ? a 所表示的直线必经过样
本中心点( x, y ) 。回归系数越大表示 x 对 y 影响越大,正回归系数表示 y 随 x 增大而增 大,负回归系数表示 y 随 x 增大而减小。 22. (1)12,27,48,75. (2) f (n ? 1) ? f (n) ? 6n ? 3 , f (n) ? 3n .
2

?

?

(3)利用“放缩法”。

1 1 f ( n) ? 2n ? 1 3

?

1 1 1 1 1 . ? ? ? ? 2 n ? 2n ? 1 (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1
2

【解析】 试题分析: (1)由题意有

f (1) ? 3 ,

f (2) ? f (1) ? 3 ? 3 ? 2 ? 12 , f (3) ? f (2) ? 3 ? 3 ? 4 ? 27 , f (4) ? f (3) ? 3 ? 3 ? 6 ? 48 ,
f (5) ? f (4) ? 3 ? 3 ? 8 ? 75 .
2分 4分

(2)由题意及(1)知, f (n ? 1) ? f (n) ? 3 ? 3 ? 2n ? f (n) ? 6n ? 3 , 即 f (n ? 1) ? f (n) ? 6n ? 3 , 所以 f (2) ? f (1) ? 6 ?1 ? 3 ,

f (3) ? f (2) ? 6 ? 2 ? 3 , f (4) ? f (3) ? 6 ? 3 ? 3 ,

f (n) ? f (n ? 1) ? 6(n ? 1) ? 3 ,
将上面 (n ? 1) 个式子相加,得:

5分

f (n) ? f (1) ? 6[1 ? 2 ? 3 ? ??? ? (n ? 1)] ? 3(n ? 1)

9

? 6?

(1 ? n ? 1)(n ? 1) ? 3(n ? 1) 2
6分
2

? 3n2 ? 3
又 f ?1? ? 3 ,所以 f (n) ? 3n . (3)? f (n) ? 3n ∴
2

7分

1 1 1 1 1 1 . ? 2 ? ? ? ? 2 1 n(n ? 1) n n ? 1 f (n) ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 (n ? 1) 3 1 1 25 当 n ? 1 时, 10 分 ? ? ,原不等式成立.

9分

1 f (1)+3 4 36 3 1 1 1 1 13 25 当 n ? 2 时, ,原不等式成立. ? ? ? ? ? 1 1 4 9 36 36 f (1) ? 3 f (2) ? 5 3 3 当 n ? 3 时, 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1 1 1 1 f (1) ? 3 f (2) ? 5 f (3) ? 7 f ( n) ? 2n ? 1 3 3 3 3
? 1 1 ?3? 3 3 ? 1 1 ? 12 ? 5 3 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 3 4 4 5 n n ?1

11 分

1 1 1 1 ? ? ? 4 9 3 n ?1 25 1 25 , 原不等式成立. ? ? ? 36 n ? 1 36 综上所述,对于任意 n ? N * ,原不等式成立. ?

13 分

14 分 考点:归纳推理,不等式的证明,“裂项相消法”。 点评:中档题,本题综合性较强,注意从图形出发,发现规律,确定“递推关系”。不等式的 证明问题,往往需要先放缩,后求和,再证明。

10


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