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动圆过定点问题


一个圆过定点问题的探究和推广
已知圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,直线 l1 过定点 A(3, 0) 且与圆 O 相切. (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴交与 P , Q 两点, M 是圆 O 上异于 P , Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线为

l 2 ,直线 PM 交直线 l 2 于点 P ' ,直线 QM 交直线 l 2 于点 Q' .求证:以 P'Q' 为直径的圆 C 总经过定点,并求
出定点坐标. 解:(1)省略; (2)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) . 又直线 l2 过点 A 且与 x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x ? 3 . 设 M ( s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?

t ( x ? 1). s ?1

? x ? 3, 4t ? 解方程组 ? ,得 P' (3, ). t y ? ( x ? 1) s ?1 ? s ?1 ?
同理可得, Q' (3,

2t ). s ?1 4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

∴以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 又 s 2 ? t 2 ? 1 ,∴整理得 ( x2 + y 2 - 6x + 1) +

6s - 2 y= 0, t

若圆 C ? 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) . 备注:本题是 09 年江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)第三次调研考试第 17 题) 笔者对命题者提出的参考解法不是很认同,参考解法中引进的参数不太合理,导致后期定点的出现不自 然,同时完全掩盖了该问题的几何背景.对此,笔者给出了如下的改进解法: 解:设直线 PM , QM 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1k2 ? ?1 直线 PM : y ? k1 ( x ? 1) ,令 x ? 3 ,则 P '(3, 4k1 ) , 直线 QM : y ? k2 ( x ? 1) ,令 x ? 3 ,则 Q '(3, 2k2 ) , 以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 4k1 )( y ? 2k2 ) ? 0 ,

1

即 ( x ? 3) ? y ? 8 ? 2(2k1 ?
2 2

1 )y ? 0 k1

令 y ? 0 ,则 x ? 3 ? 2 .即以 P?Q? 为直径的圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) . 从上述的改进解法中,我们注意到,由点 M 在圆上运动而生成的两个动点 P?, Q? 始终满足一个不变的条 件,即它们纵坐标的乘积始终为定值.记以 P?Q? 为直径的圆与 x 轴的交点为 H1 , H 2 ,则由圆的相交弦定理可
2 得到结论: AH12 ? AH2 ? AP? ? AQ? ,易知,点 H1 , H 2 即为以 P?Q? 为直径的圆 C ? 经过的定点.

由此,我们不难发现,此类圆过定点的问题是根据圆的相交弦定理来命制的 .将问题一般化后,即可得到 如下的命题: 命题 1:已知圆 O : x2 ? y 2 ? a2 与 x 轴交与 A, B 两点,垂直于 x 轴的直线 l 过定点 Q(m,0)(m ? a) , P 是圆 O 上异于 A, B 的任意一点,若直线 PA 交直线 l 于点 M ,直线 PB 交直线 l 于点 N ,则以 MN 为直径 的圆 C 总经过定点 (m ? m2 ? a2 ,0) . 证明:设直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1k2 ? ?1 直线 PA : y ? k1 ( x ? a) ,令 x ? m ,则 yM ? k1 (m ? a) , 直线 PB : y ? k2 ( x ? a) ,令 x ? m ,则 yN ? k2 (m ? a) ,

yM ? yN ? k1 (m ? a)k2 (m ? a) ? ?(m2 ? a2 )
即 QM ? QN ? m2 ? a 2
2 设以 MN 为直径的圆 C 与 x 轴的交点为 H1 , H 2 , 则由圆的相交弦定理可得 QH12 ? QH2 ? QM ? QN ,所
2 2 2 2 以 H1 (m ? m ? a , 0), H 2 (m ? m ? a , 0) 即为以 MN 为直径的圆 C 经过的定点.

在得到圆的优美结论后,我们自然会产生联想,圆锥曲线也有这样的优美性质吗?笔者经过探究,得到如 下的一组命题: 命 题 2: 已 知 椭 圆 O :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴 交 与 A, B 两 点 , 垂 直 于 x 轴 的 直 线 l 过 定 点 a 2 b2

Q(m,0)( m ? a) , P 是椭圆 O 上异于 A, B 的任意一点,若直线 PA 交直线 l 于点 M ,直线 PB 交直线 l 于点
N ,则以 MN 为直径的圆 C 总经过定点 (m ?

b m 2 ? a 2 , 0) . a

证明:设直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1k2 ? ?
2

b2 a2

直线 PA : y ? k1 ( x ? a) ,令 x ? m ,则 yM ? k1 (m ? a) , 直线 PB : y ? k2 ( x ? a) ,令 x ? m ,则 yN ? k2 (m ? a) ,

yM ? yN ? k1 (m ? a)k2 (m ? a) ? ?
即 QM ? QN ? m2 ? a 2

b2 2 (m ? a 2 ) 2 a

2 设以 MN 为直径的圆 C 与 x 轴的交点为 H1 , H 2 , 则由圆的相交弦定理可得 QH12 ? QH2 ? QM ? QN ,所

以 H1 ( m ?

b b m 2 ? a 2 , 0), H 2 (m ? m 2 ? a 2 , 0) 即为以 MN 为直径的圆 C 经过的定点. a a

特别地,当 m ?

a2 时,以 MN 为直径的圆 C 经过椭圆的右焦点. c x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 与 x 轴 交 与 A, B 两 点 , 垂 直 于 x 轴 的 直 线 l 过 定 点 a 2 b2

命 题 3: 已 知 双 曲 线 O :

Q(m,0)(0 ? m ? a) , P 是双曲线 O 上异于 A, B 的任意一点,若直线 PA 交直线 l 于点 M ,直线 PB 交直线
l 于点 N ,则以 MN 为直径的圆 C 总经过定点 (m ?

b m 2 ? a 2 , 0) . a

证明:设直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1k2 ? ? 直线 PA : y ? k1 ( x ? a) ,令 x ? m ,则 yM ? k1 (m ? a) , 直线 PB : y ? k2 ( x ? a) ,令 x ? m ,则 yN ? k2 (m ? a) ,

b2 a2

b2 2 yM ? yN ? k1 (m ? a)k2 (m ? a) ? ? 2 (m ? a 2 ) a
即 QM ? QN ? m2 ? a 2
2 设以 MN 为直径的圆 C 与 x 轴的交点为 H1 , H 2 , 则由圆的相交弦定理可得 QH12 ? QH2 ? QM ? QN ,所

以 H1 ( m ?

b b m 2 ? a 2 , 0), H 2 (m ? m 2 ? a 2 , 0) 即为以 MN 为直径的圆 C 经过的定点. a a

a2 特别地,当 m ? 时,以 MN 为直径的圆 C 经过椭圆的右焦点. c
命题 4:已知抛物线 O : y ? 2 px( p ? 0) ,垂直于 x 轴的直线 l 过定点 Q(m,0)(m ? 0) , P 是抛物线 O
2

上异于 O 的任意一点,点 P 在直线 l 上的射影为点 M ,直线 PO 交直线 l 于点 N ,则以 MN 为直径的圆 C
3

总经过定点 (m ? ?2 pm,0) . 证明:设 P( x0 , y0 ) ,则直线 PN : y ?

y0 y x ,令 x ? m ,则 yN ? 0 m x0 x0

yM ? yN ? y0 ?

y0 m ? 2 pm ,所以 QM ? QN ? ?2 pm x0

设以 MN 为直径的圆 C 与 x 轴的交点为 H1 , H 2 ,则由圆的
2 相交弦定理可得 QH12 ? QH2 ? QM ? QN ,

所以 H1 (m ? ?2 pm,0), H2 (m ? ?2 pm,0) 即为以 MN 为直径的圆 C 经过的定点. 特别地,当 m ? ?

p p 时,以 MN 为直径的圆 C 经过抛物线的焦点 ( , 0) . 2 2

4


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