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2012届广东六校11月联合考试数学(文)试题


宝安中学
广东省

潮阳一中 中山一中

南海中学 仲元中学
六校联合体

普宁二中

广东省六校2012届高三11月联合考试试题(数学文)
第一部分
有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,若复数
i 1? i ? a ? b i ( a , b ? R ) ,则 b 的值是(
1 2

(选择题 满分50分)

一、选择题: (本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只
﹡ )
1 2
[来源:Z.yy100.Com]

A.1

B.-1

C.

D. ?

2 .若集合 P={1 ,2,3,4},Q={x|0<x<5,x∈R},则“x∈P”是“x∈Q”的( ﹡ 源:zyy100.C om] A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件
2

)[来

3.已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 ,若存在 x1 , x 2 ? [ a , b ] 使得 x1 ? x 2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 以下对实数 a、b 的描述正确的是( ﹡ ) A. a ? 2 B. a ? 2 C. b ? 2 D. b ? 2

4.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则

S10 等于(﹡)
A.18 B.24 C.60 D.90

y ? 0 ? y ?1 ? 5.已 知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 ? ? 的取值范围是( x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
? ? 1? ? ? ? 1 1? , 2 3? ?

﹡ )

A. ? ? 1, ? 3 6.函数 y ? sin
?
3 x 2

B. ? ?
?
3

C. [ ?

1 2

, ?? )

D. [ ?

1 2

,1)

sin

? co s

co s

x 2

在一个周期内的图象是( ﹡ )

C 7. 如图所示,A , B , C 是圆 O 上的三个点, O 的延长线与线段 A B 交于圆内一点 D ,

B

若 O C ? xO A ? y O B ,则( ﹡ A. 0 ? x ? y ? 1 C. x ? y ? ? 1

????

??? ?

??? ?

) B. x ? y ? 1
C O D

D. ? 1 ? x ? y ? 0
A 第 6 题图

8. 已知 a 1 , a 2 , a 3 为一等差数列, b1 , b 2 , b 3 为一等比数列,且这 6 个数都为实数, 给出结论: ① a 1 ? a 2 与 a 2 ? a 3 可能同时成 立;② b1 ? b 2 与 b 2 ? b 3 可能同时成立; ③若 a 1 ? a 2 ? 0 ,则 a 2 ? a 3 ? 0 ; ④若 b1 ? b 2 ? 0 ,则 b 2 ? b 3 ? 0 . 其中正确的是( ﹡ ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

a1 a 2 sin 2 x 9. 定义行列式运算 a a = a 1 a 4 ? a 2 a 3 . 将函数 f ( x ) ? 3 4 co s 2 x
?
6

3 1

的图象向左平移

个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是( ﹡ ) A. ?
?? ? ,0? ? 4 ?

B. ?
ln x x

??

? ,0? ? 2 ?

C. ?

??

? ,0 ? ? 3 ?

D. ? )

? ?

? ,0? ? 12 ?

10.若 b ? a ? 3 , f ( x ) ? A. f ( a ) ? f (
a?b 2

,则下列各结论中正确的是( ﹡ B. f (
a?b 2

) ? f ( ab ) ) ? f (a )

) ? f ( b ) ? f ( ab ) a?b 2 ) ? f ( ab )

C. f ( ab ) ? f (

a?b 2

D. f ( b ) ? f (

第二部分

(非选择题 满分100分)

二、填空题: (本大题共4小题,每小 题5分,满分20分)
3 2 11.若函数 f ( x ) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数

据如下:
f (1) ? ? 2 f (1 . 375 ) ? ? 0 . 260
3 2

f (1 . 5 ) ? 0 . 625 f (1 . 4375 ) ? 0 . 162

f (1 . 25 ) ? ? 0 . 984 f (1 . 40625 ) ? ? 0 . 054

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0 . 1 )为 ﹡



12. 已知 ? A B C 的一个内角为 12 0 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ? A B C 的 面积 为 ﹡ .

o

13.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒尖位置

P(x,y) ,其初始位置为 P0(1, 3 ) ,当秒针从 P0(注此时 t=0)正常开始走时,
那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 ﹡
2 2 *



14.在数列 { a n } 中,若 a n ? a n ?1 ? p ( n ? 2, n ? N , p 为 常 数 ) ,则 { a n } 称为“等 方差数列”,下列是对“等方差数列”的判断:①若 { a n } 是等方差数列,则 { a n } 是 等差数列;② { ( ? 1) } 是等方差数列;③若 { a n } 是等方差数列,则 { a kn } ( k ? N , k 为 常 数 )
n
* 2

第 13 题图

也是等方差数 列. 其中正确命题序号为



. (将所有正确的命题序号填在横线上)

三、解答题: (本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15、 (本小题满分 12 分) 如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P 、 Q 是单位 圆上 的两点, O 是 坐标原点, ? A O P ?
3 4
Y

?
6

, ? A O Q ? ? , ? ? [0, ? ) .
?
) 的值;

Q
[来源:状+元+源]

P X O A

(1)若 Q ( , ) ,求 c o s(? ?
5 5

6 ??? ???? ? (2)设函数 f (? ) ? O P ? O Q ,求 f (? ) 的值域.

第 15 题图

16. (本小题满分 14 分) 某家具厂有 方木料 90m ,五合板 600m ,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书 桌需要方木料 0.1m ,五合板 2m ,生产每个书橱需要方木料 0.2m ,五合板 1m ,出售一张方 桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌,可获利润多少? (2)怎样安排生产可使所得利润最大?
3 2 2 2 3 2

17. (本小题满分 12 分) 如图某市现有自市中心 O 通往正西和北偏东 30°方向的两条主要公路,为了解决该市 交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和北偏 东 30°方向的公路上选用 A、B 两点,使环城公路在 A、B 间为直线段, 要求 AB 路段与市中心 O 的距离为 10 km, 且使 A、 间的距离|AB|最小. B 请 你确定 A、B 两点的最佳位置.

[来源:状§元§源]

18. (本小题满分 14 分) 已知 x=4 是函数 f(x)=alnx+x -12x+11 的一个极值点. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围.
2

第 17 题图

19. (本小题满分 14 分)
? ( 已 知 数 列 { a n } 满 足 : a 1 ? a 2 a ? 3? ? a n ? n ? a n , n ? 1 ,? , 3 , 2 [ 来 )

源:zyy100.com] (1)求 a1 , a 2 , a 3 的值; (2)求 证:数列 { a n ? 1} 是等比数列;
* (3)令 b n ? (2 ? n)( a n ?1) ( n ? 1, 2, 3... ) ,如果对任意 n ? N ,都有 b n ?

1 4

t ? t ,求
2

实数 t 的取值范围. 20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? a x ?
b x ? 2 ? 2 a ( a ? 0 ) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2 x ? 1 平

行. (1)求 a,b 满足的关系式; (2)若 f ( x ) ? 2 ln x 在 [1,+ ? ) 上恒成立,求 a 的取值范围;

(3)证明: 1 ?

1 3

?

1 5

?…?

1 2n ? 1

?

1 2

ln ( 2 n ? 1) ?

n 2n ? 1

(n ? N )
*

2011-2012 学年度第二次联合考试

高三文科数学 参考答案和评分标准
一、选择题: 每小题5分,共50分) (

CAACD

ACBBD

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分)

11. (1.4) 14.①②③ 三、解答题:

12. 1 5 3

13.

? ? ? ? y ? 2 sin ? ? t? ? 3 ? ? 30

(本题答案不唯一)

15、 (1)由已知可得 cos ?

?

3 5

, sin ? ?

4 5

? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? cos ? sin ? sin 6 ? 6 6 ?
3 3?4 10

?

3 5

?

3 2

?

4 5

?

1 2

?

??????????????????????????

????4 分 ( 2 )
f ??

? ? OP ?OQ

??? ???? ?

? ? ? ? ? ? co s , sin ? ? ? co s ? , sin ? 6 6 ? ?
? 3 2 cos ? ? 1 2 sin ?

?

????????????????????6 分

? ? ? ? sin ? ? ? ? 3 ? ?
? ? ? [0, ? )
?? ?

?????????????????????????????

?????? 8 分
?
3

?[

?
3

,

4? 3

) ?????????????????????????????9



?

? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 1 2 3 ? ?
3

?????????????????????????????

????11 分
? f ??

? 的值域是 ? ?
? ?

?

? ,1 ? 2 ? 3

??????????????????12 分

16、由题意可画表格如下: 方木料(m ) 书桌(个) 书橱(个) 0.1 0.2
3

五合板 (m ) 2 1

2

利润(元) 80 120

?????????????????????????2 分 (1)设只生产书桌 x 个,可获得利润 z 元,



?0.1x≤90 ? ?2x≤600 ?z=80x ?



?x≤900 ? ? ? ?x≤300



x≤300. ????????????????????????4 分
所以当 x=300 时,zmax=80×300=24000(元) ,即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张 书 桌 , 获 得 利 润 24000

元 . ?????????????????????????????? ????????6 分 (2)设生产书桌 x 张,书橱 y 个,利润总额为 z 元.

?0.1x+0.2y≤90 ?2x+y≤600 则? x≥0 ?y≥0 ?

?x+2y≤900, ?2x+y≤600, ∴ ? x≥0, ?y≥0. ?

z=80x+120y. ???????????????????8 分
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可行域. ????????????????10 分 作直线 l:80x+120y=0,即直线 l:2x+3y=0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M, 此 时

z



80x



120y









值.???????????????????????????12 分
? ?x+2y=900, 由? ? ?2x+y=600

解得点 M 的坐标为(100,400) .

∴当 x=100,y=400 时,zmax=80×1 00+120×400=56000(元) . 因 此 , 生 产 书 桌 100 张 、 书 橱 400 个 , 可 使 所 得 利 润 最

大.???????????????14 分

17、如图,令|OA|=a,|OB|=b,则在△AOB 中,∠AOB=120°. ????????2 分 1 1 ∴ |OC||AB|= absin120°. 2 2 ∴|AB|=
3ab 20

.

① ??????????????????????4 分

又由余弦定理, 2 2 2 2 |AB|= a +b -2abcos120°= a +b -ab ≥ 2ab+ab = 3ab , ( 当 a = b ????????????????6 分

时 取 等 号 .)



3a b 由①②知 ≥3ab. 400 ∵ab>0,∴ab≥400 ③ ?????????????????8 分 3ab ③代入①得|AB|= ≥20 3. 20 当 a=b 时|AB|取得最小值.?????????????????????10 分 而 a=b 时,△AOB 为等腰三角形, ∴∠OAB=∠OBA=30°. ∴a=b=20. ∴A、B 两点的最 佳位置是距市中心 O 均为 20km 处. ?????????12 分 18、 (1)∵f′(x)= +2x-12, ∴f′(4)= +8-12=0 4 因 16 此

2 2

a x

a

a



??????????????????????????????????3 分 (2)由(1)知,

f(x)=16lnx+x2-12x+11,x∈(0,+∞)

f′(x)
2? x2-6x+8?


??????????????5 分

x

当 x∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)>0 当 x∈(2,4)时,f′(x)<0????????????7 分 所以 f(x)的单调增区间是 (0,2),(4,+∞)

f(x)的单凋减区间是(2,4) ?????????????????8 分
(3)由(2)知, (x)在(0,2)内单调增加, (2,4)内单调减少, (4, f 在 在 +∞)上单调增加,
且当 x=2 或 x=4 时,f′(x)=0 所以 f(x)的极大值为 f(2)=16ln2-9,极小值为 f(4)=32ln2-21 因此 f(16)=16ln16+16 -12×16+11>16ln2-9=f(2)
2

f(e-2)<-32+11=-21<f(4)
所以在 f(x)的三个单调区间(0,2),(2,4) ,(4,+∞)内,直线 y=b 与 y=f(x)的 图象各有一个交点, 当且仅当 f(4)<b<f(2)成立?????????????????????13 分 因此,b 的取值范围为(32 ln2-21,16ln2-9) ????????????????14 . 分

19、 (I) a1 ?

1 2

, a2 ?

3 4

, a3 ?

7 8

?????????????????????3 分

(II)由题可知: a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? a n ? n ? a n
a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n ? 1 ? n ? 1 ? a n ? 1

① ② ???5

分 ② - ① 可 得 2 a n ?1 ? a n ? 1
1 a 1 ? 1 ? ? ???????7 分 2

即 : a n ?1 ? 1 ?

1 2

an ? (

1, 又 )

∴数列 { a n ? 1} 是以 ?

1 2

为首项,以

1 2

为公比的等比数列 ?????8 分

(Ⅲ)由(II)可得 a n ? 1 ? ( ) ,
n

1

2

bn ?

n?2 2
n

?????????9 分
3?n 2
n ?1

由 bn ?1 ? bn ?

n ?1? 2 2
n ?1

?

n?2 2
n

?

n ? 1 ? 2(n ? 2) 2
n ?1

?

? 0 可得 n ? 3

??11 分

由 b n ? 1 ? b n ? 0 可得 n ? 3 ,所以 b1 ? b 2 ? b3 ? b 4 ? b5 ? ? ? b n ? ? 故 b n 有最大值 b3 ? b 4 ?
1 8 1 8 1 4 t ? t ,即 b n ? t ?
2 2 2

所以,对任意 n ? N * ,有 b n ? 如果对任意 n ? N * ,都有 b n ? 则 ( b n ) m ax ? t 2 ?
1 4 t ,故有: 1 8

????????????????12 分
1 4 1 2 t 成立,

?t ?

1 4

t,

解得 t ?

或t ? ?

1 4

∴实数 t 的取值范围是 ( ? ? , ?

1 4

]? [ , ?) ? 2

1

??????????????14 分

20、 (1) f ? ( x ) ? a ?

b x
2

,根据题意 f ? (1) ? a ? b ? 2 ,即 b ? a ? 2 ????3 分
a?2 x a?2 x ? 2 ? 2 a ,??????????????4 分 ? 2 ? 2 a ? 2 ln x , x ? ?1, ? ? ?
g (1) ? 0

(2)由(Ⅰ)知, f ( x ) ? ax ? 令 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ln x ? ax ? 则



g ?( x ) ? a ?

a?2 x
2

?

2 x

a ( x ? 1)( x ?

2?a a

)

=
x

2

???????????????5 分

①当 0 ? a ? 1 时,
2?a a

2?a a

?1


? ? 2?a? ? 为减函数,存在 g ( x ) ? g (1) ? 0 , a ?

若1 ? x ?

,则 g ( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ? 1,
'

即 立.

f ( x ) ? 2 ln x



[1, ? ? )









???????????6 分
2?a a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ( x ) ? 0 , g ( x ) 在 [1, ? ? ) 增函数,又 g (1) ? 0 ,
'

② a ? 1 时,

∴ g ( x ) ? g (1) ? 0 ,∴ f ( x ) ? 2 ln x 恒成立.

????????7 分

综上所述,所求 a 的取值范围是 [1, ? ? ) ???????????????8 分 ( 3 ) 有 ( Ⅱ ) 知 当 a ? 1 时 , f ( x ) ? 2 ln x 在 ?1, ? ? ? 上 恒 成 立 . 取 a ? 1 得
x? 1 x ? 2 ln x ????9 分 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 ,n ? N *得

令x ?

2n ? 1

2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 2n ? 1 ? (1 ? ) ? 2 ln 即1 ? ?????????????10 分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 ? ln ? ( ? ) ∴ ?? ?????????????11 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

?

2n ? 1

? 2 ln

2n ? 1



分 上式中令 n=1,2,3,?,n,并注意到: ln 然
1? 1 3 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ln ( 2 n ? 1) ? ln ( 2 n ? 1)



n
?


1 n? l 2


?


n 1 n 1 ? n 2






) 2


1



1 ?…? 5 n?

( 2 1 ????????14 分


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