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南昌一中、南昌十中高三联考数学(理)


南昌市二校联考(南昌一中、南昌十中)高三试卷 数
命题:南昌一中高三数学备课组 考试时间:120 分钟 一、选择题(50 分) 1.已知集合 M 是( A. [ 3 , ?? )
? {x | 3 ? 2 x ? x
2

学(理)
审题:南昌一中高三数学备课组 考试分数:150 分

? 0}, N ? { x | x ? a }

,若 M

? N

,则实数 a 的取值范围

) B. ( 3 , ?? )
?
6

C. ( ?? , ? 1] ) 的值( C. ?
1 2

D.

( ?? , ? 1)

2、若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin A.
3 2

) D. (
1 2

B. ? lg|x|

3 2

3.函数 y=

x

的图象大致是

)

4.由 a1=1,an+1= 给出的数列{an}的第 34 项( ) 3an+1 34 1 1 A. B.100 C. D. 103 100 104 5.已知集合 M ={a|a =(1,2)+λ (3,4),λ ∈R}, N ={a|a =(-2,-2)+ λ (4,5),λ ∈R},则 M∩N 等于( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项, 则数列{bn}的公比为( ) 1 A. 2 B.4 C.2 D. 2 7. f(x)、 (x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x<0 时, ′(x)·g(x) 设 g 当 f +f(x)·g′(x)>0,且 f(-3)·g(-3)=0,则不等式 f(x)·g(x)<0 的解 集是( ) B.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)
1

an

A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

8.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值为( ) 3 3 A. B. 3 6 C. 6 3 D. 6 6
?
2 (k ? Z}

9 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R 且 x ? k? ?
f ( x)? f ( x ? ,当 x ? ( ? ? )

, 函 数 f (x) 满 足

?
2

,

?
2

) 时, f ( x ) ? 2 x ? sin x

.设 a ? f (1) , b ? f ( 2 ) ,

c ? f (3) ,则(


( x?

A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? b ? a 10. 已知定义在 [0, ? ? ) 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f
2

D. c ? a ? b 2 ),当 x ? [ 0 , 2 )时, (n ? N * ) ,且 { a n }
1 2
n ?1

f ( x ) ? ? 2 x ? 4 x .设 f ( x ) 在 [ 2 n ? 2, 2 n ) 上的最大值为 a n

的前 n 项和为 S n ,则 S n ? ( A. 2 ?
2 1
n ?1

) C. 2 ?
1 2
n

B. 4 ?
2

1
n?2

D. 4 ?

二、填空题 11. 已知数列 { a n } 为等差数列, a1 ? a 5 ? a 9 ? ? , co s( a 2 ? a 8 ) 的值为 若 则 12.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 10 9 … 则第 7 行中的第 5 个数是 . n+1 * 13. 已知曲线 f(x)=x (n∈N )与直线 x=1 交于点 P, 若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 的值为
?



2 5 8 6 7

xn,则 log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010

. =________.

14.

?

2 ?

?
2

(1 ? co s x ) d x

15.设函数 f ( x ) ? x x ? b x ? c ,给出下列四个命题: ① 当 c ? 0 时, y ? f ( x ) 是奇函数; ② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x ) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 (0, c ) 对称;
2

④ 方程 f ( x ) ? 0 至多有两个实根
其中正确命题为 .

三、解答题(75 分) 16.(12 分)设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)在 ? A B C 中, A B ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值。 18. (12 分)已知等比数列 { a n } 满足 2 a1 ? a 3 ? 3 a 2 ,且 a 3 ? 2 是 a 2 与 a 4 的等差中项; (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 b n ? a n ? lo g 2 a n , S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ,求使不等式 S n ? 2 n ?1 ? 47 ? 0 成 立的 n 的最小值; 19. (12 分)已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且→·→=6,设→与→的夹角 AB BC AB BC 为θ . (1)求θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin2θ +2sin θ ·cos θ +3cos2θ 的最小值. 1 1 1 x·sin (x+2π )·sin (x+3π )在区间 4 4 2 (0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式.
2 , B C ? 1 , co s C ? 3 4 .

20. (13 分)将函数 f(x)=sin

21. (14 分)已知函数 f ( x ) ? (2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x , g ( x ) ? xe 1? x .( a ? R ) (1)当 a ? 1时 , 求 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 在 (0, ) 上 无 零 点 , 求 a 的最小值;
2 1

(3)若对任意给定的 x 0 ? ? 0, e ? , 在 ? 0, e ? 上 总 存 在 两 个 不 同 的 x i ( i ? 1, 2 ) ,使得
f ( xi ) ? g ( x0 )成 立 , 求 a

的取值范围。

3

高三联考数学(理)答案 一、选择题(50 分) 1.已知集合 M 是(C) A. [ 3 , ?? ) B. ( 3 , ?? )
?
6
? {x | 3 ? 2 x ? x
2

? 0}, N ? { x | x ? a }

,若 M

? N

,则实数 a 的取值范围

C. ( ?? , ? 1] ) 的值( C. ? C
1 2

D. ) D. ( D)
1 2

( ?? , ? 1)

2、若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin A.
3 2

B. ? lg|x|

3 2

3.函数 y=

x

的图象大致是

4.由 a1=1,an+1= 给出的数列{an}的第 34 项( C ) 3an+1 34 1 1 A. B.100 C. D. 103 100 104 5.已知集合 M ={a|a =(1,2)+λ (3,4),λ ∈R}, N ={a|a =(-2,-2)+ λ (4,5),λ ∈R},则 M∩N 等于( C ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项, 则数列{bn}的公比为( c ) A. 2 B.4 1 C.2 D. 2 7. f(x)、 (x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x<0 时, ′(x)·g(x) 设 g 当 f +f(x)·g′(x)>0,且 f(-3)·g(-3)=0,则不等式 f(x)·g(x)<0 的解集 是( D ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 8.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值为( D ) 3 3 A. B. 3 6
4

an

C.

6 3

D.

6 6
?
2 (k ? Z}

9 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R 且 x ? k? ?
f ( x)? f ( x ? ,当 x ? ( ? ? )

, 函 数 f (x) 满 足

?
2

,

?
2

) 时, f ( x ) ? 2 x ? sin x

.设 a ? f (1) , b ? f ( 2 ) ,

c ? f (3) ,则(

B

) B. b ? c ? a
f (x)

A. a ? c ? b

C. c ? b ? a 满足

D. c ? a ? b

10. 已知定义在 [0, ? ? ) 上的函数
2

f ( x ) ? 2 f ( x? 2 ),当 x ? [ 0 , 2 )时,

f ( x ) ? ? 2 x ? 4 x .设 f ( x ) 在 [ 2 n ? 2, 2 n ) 上的最大值为 a n

(n ? N * ) ,且 { a n } 的前

n

项和为 S n ,则 S n ? ( B A. 2 ?
2 1
n ?1


1 2
n?2

B. 4 ?

C. 2 ?

1 2
n

D. 4 ?
2

1
n ?1

二、填空题 11 . 已 知 数 列 { a n } 为 等 差 数 列 , 若 a1 ? a 5 ? a 9 ?? , 则 co s( a 2 ? a 8 ) 的 值 为 .答案: 1 2

12.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 10 9 5 8 2 6 7

… 则第 7 行中的第 5 个数是 .答案:26 n+1 * 13. 已知曲线 f(x)=x (n∈N )与直线 x=1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010 的值为 .答案-1
?

14.

?

2 ?

?
2

(1 ? co s x ) d x

=________.答案.π +2

15.设函数 f ( x ) ? x x ? b x ? c ,给出下列四个命题: ① 当 c ? 0 时, y ? f ( x ) 是奇函数; ② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x ) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 (0, c ) 对称;
5

④ 方程 f ( x ) ? 0 至多有两个实根 其中正确命题为 .答案_①②③ 三、解答题(75 分) 16.(12 分)设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解: 设 A={x|(4x-3)2≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 1 易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 2 (6 分) 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A ? B,

?a≤1, ∴? 2 ?a+1≥1.

(10 分)

1 故所求实数 a 的取值范围是[0, ].(12 分) 2 17、 (12 分)在 ? A B C 中, A B ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值。 17、解: (1)在 ? ABC 中,由 cosC=
3 4
AB sin C BC sin A
2

2 , B C ? 1 , co s C ?

3 4

.

,得 sinC=

7 4

又由正弦定理

?

,得 sinA=
2

14 8

(2)由余弦定理: AB

? AC

? BC
3 4

2

? 2 AC ? BC ? cos C

即 AC=b 得: 2 ? b 2 ? 1 ? 2 b ?

解得 b=2 或 b= ?

1 2

(舍去),所以 AC=2

所以, CB ? CA ? CB ? CA ? cos ? CB , CA ?? CB ? CA ? cos C =1 ? 2 ?
3 4 ? 3 2

,即 CB ? CA ?

3 2

18(12 分).已知等比数列 { a n } 满足 2 a1 ? a 3 ? 3 a 2 ,且 a 3 ? 2 是 a 2 与 a 4 的等差中

6

项; (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 b n ? a n ? log 2a n , S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ,

求使不等式 S n ? 2 n ?1 ? 47 ? 0 成立的 n 的最小值;

18.解: (1)设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ,公比为 q , 则有 a1 ( 2 ? q 2 ) ? 3 a1 q ①
a1 ( q ? q ) ? 2 a1 q ? 4
3 2



由①得: q 2 ? 3 q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? 1 (不合题意舍去) 当 q ? 2 时,代入②得: a 1 ? 2 ; 所以 a n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n …6 分

(2) b n ? a n ? log 2 a n ? 2 n ? n ,所以
Sn ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? n
2 3 n

? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n )
2 3 n

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

?

n ( n ? 1) 2

? 2

n ?1

?2?

1 2

n?

1 2

n

2

…9 分

因为 S n ? 2 n ?1 ? 47 ? 0

代入得 n 2 ? n ? 9 0 ? 0 , …12 分

解得 n ? 9 或 n ? ? 1 0 (舍去) 所以所求 n 的最小值为 10

19(12 分) 、已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且→·→=6,设→与→的夹 AB BC AB BC 角为θ . (1)求θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin2θ +2sin θ ·cos θ +3cos2θ 的最小值. 6 19 解:(1)∵→·→=6,∴|→|·|→|·cos θ =6.∴|→|·|→|= AB BC AB BC AB BC . cos θ 1 又∵S= |→|·|→|·sin(π -θ )=3tan θ , AB BC 2 3 ≤tan θ ≤1. 3 π π 又∵θ ∈(0,π ),∴ ≤θ ≤ . 6 4 2 (2)f(θ )=1+2cos θ +sin 2θ =cos 2θ +sin 2θ +2 π? ? = 2sin?2θ + ?+2, 4? ? 3 ? π ?7 ?π π ? ?π π ? 由θ ∈? , ?,得 2θ ∈? , ?,∴2θ + ∈? π , π ?. 4? 4 ? 4 ?12 ?6 ?3 2? ∴ 3≤3tan θ ≤3,即

7

∴当 2θ +

π 3 π = π 即θ = 时,f(θ )min=3. 4 4 4

1 1 1 x·sin (x+2π )·sin (x+3π )在区间(0, 4 4 2 +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 1 1 1 1 20 (13 分) 解: f(x)=sin x· 、 (1) sin (x+2π )· sin (x+3π )=- sin x. 其 4 4 2 4 π 极值点为 x=kπ + (k∈Z). 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2 π 2n-1 ∴an= +(n-1)·π = π (n∈N*). 2 2 π (2)∵bn=2nan= (2n-1)·2n, 2 π ∴Tn= [1·2+3·22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n], 2 π 2Tn= [1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1], 2 两式相减,得 π -Tn= [1·2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1], 2 ∴Tn=π [(2n-3)·2n+3]. 20. (13 分)将函数 f(x)=sin 21. (14 分)已知函数 f ( x ) ? (2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x , g ( x ) ? xe 1? x .( a ? R ) (1)当 a ? 1时 , 求 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 在 (0, ) 上 无 零 点 , 求 a 的最小值;
2 1

(3)若对任意给定的 x 0 ? ? 0, e ? , 在 ? 0, e ? 上 总 存 在 两 个 不 同 的 x i ( i ? 1, 2 ) ,使得
f ( xi ) ? g ( x0 )成 立 , 求 a

的取值范围。
2 x ,

21.解: (1)当 a ? 1时 , f ( x ) ? x ? 1 ? 2 ln x , 则 f ?( x ) ? 1 ? 由 f ?( x ) ? 0, 得 x ? 2; 由 f ?( x ) ? 0, 得 0 ? x ? 2 .

故 f ( x )的 单 调 减 区 间 为 ? 0, 2 ? , 单 调 增 区 间 为 ? 2, ? ? ? . (2)因为 f ( x ) ? 0 在 区 间 (0, ) 上恒成立不可能,
2
8

1

故要使函数 f ( x ) 在 (0, ) 上无零点,
2 1 只要对任意的 x ? (0, ), f ( x ) ? 0 恒成立, 2 1 2 ln x 即对 x ? (0, ), a ? 2 ? 恒成立。 2 x ?1 2 ln x 1 , x ? (0, ), 令l(x) ? 2 ? x ?1 2
2 ( x ? 1) ? 2 ln x ( x ? 1)
2

1

2 ln x ? ?

2

?2 ,

则l(x) ? ?

x

x 2 ( x ? 1)

再 令 m ( x ) ? 2 ln x ? 则 m ?( x ) ? ? 2 x
2

2 x

? 2, x ? (0, ? 2 (1 ? x ) x
2

1 2

),

?

2 x

?

? 0,

故 m ( x ) 在 (0,

1

1 ) 上 为 减 函 数 , 于 是 m ( x ) ? m ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0, 2 2 1 2 )上 为 增 函 数 ,

从 而 , l ( x ) ? 0, 于 是 l ( x ) 在 (0,

1 所 以 l ( x ) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 故要使a ? 2 ? 2 ln x x ?1 恒 成 立 , 只 要 a ? ? 2 ? 4 ln 2, ? ? ? ,
1

综上,若函数 f ( x ) 在 (0, ) 上 无 零 点 , 则 a的 最 小 值 为 2 ? 4 ln 2.
2

(3) g ?( x ) ? e 1? x ? xe 1? x ? (1 ? x ) e 1? x ,
当 x ? (0,1)时 , g ? ( x ) ? 0, 函 数 g ( x ) 单 调 递 增 ; 当 x ? ? 1, e ? 时 , g ? ( x ) ? 0, 函 数 g ( x ) 单 调 递 减 . 又 因 为 g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e
1? e

? 0,

所以,函数 g ( x ) 在 ? 0, e ? 上 的 值 域 为 ? 0,1 ? .
当 a ? 2时 , 不 合 题 意 ;
2 2?a

当 a ? 2时 , f ? ( x ) ? 2 ? a ? 当x ? 2 2?a 时 , f ?( x ) ? 0 .

2 x

?

(2 ? a ) x ? 2 x

( 2 ? a )( x ? ? x

) , x ? ? 0, e ?

由 题 意 得 , f ( x ) 在 ? 0, e ? 上 不 单 调 ,

9

故0

?

2 2?a

? e,即 a ? 2 ?

2 e



此时,当 x 变 化 时 , f ?( x ), f ( x ) 的变化情况如下:
2 2?a 2 2?a
? 2 ? ,e ? ? ?2?a ?

(0 ,

)

f ?( x )



0 最小值

+

f (x)

又 因 为 , 当 x ? 0时 , f ( x ) ? ? ? , f( 2 2?a ) ? a ? 2 ln 2 2?a , f ( e ) ? ( 2 ? a )( e ? 1) ? 2,

所 以 , 对 任 意 给 定 的 x 0 ? ? 0, e ? , 在 ? 0, e ? 上 总 存 在 两 个 不 同 的 x i ( i ? 1, 2 ), 使 得 f ( xi ) ? g ( x0 )成 立 , 当 且 仅 当 a 满 足 下 列 条 件 :
2 2 ? ? ) ? 0, ? a ? 2 ln ? 0, ?f( 即? 2?a 2?a ? ? f ( e ) ? 1, ? ( 2 ? a )( e ? 1) ? 2 ? 1 . ? ?

② ③

令 h ( a ) ? a ? 2 ln

2 2?a

, a ? (?? , 2 ?

2 e

), 2 ? a a?2 , 令 h ?( a ) ? 0,

则 h ? ( a ) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln ( 2 ? a )] ? ? 1 ? 得 a ? 0 或 a ? 2,

2?a

故 当 a ? ( ? ? , 0 )时 , h ? ( a ) ? 0, 函 数 h ( a ) 单 调 递 增 ; 当 a ? (0, 2 ? 2 e 所 以 , 对 任 意 a ? (?? , 2 ? 2 e ), 有 h ( a ) ? h (0 ) ? 0, )时 , h ? ( a ) ? 0, 函 数 h ( a ) 单 调 递 减 .

即②对任意 a ? ( ? ? , 2 ? 由③式解得: a
? 2?

2 e 3

) 恒成立。 .

e ?1


? 时 , 对 任 意 给 定 的 x 0 ? ? 0, e ? , ? e ? 1? 3

综合①④可知,当 a ? ? ? ? , 2 ?
?

?

在 ? 0, e ? 上 总 存 在 两 个 不 同 的 x i ( i ? 1, 2 ), 使 f ( x i ) ? g ( x 0 ) 成立。

10


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