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数学2--1课后巩固作业(十六) 2.3.2.2


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课后巩固作业(十六)
(30 分钟 50 分) 一、选择题(每题 4 分,共 16 分) 1.(2011?三明高二检测)等轴双曲线 x2-y2=a2 与直线 y=ax(a>0)没有公共点,则 a 的取值范围( (A)a=1 (C)a>1 ) (B)0<a<1 (D)a≥1

x 2 y2 2.(2011?南平高二检测)斜率为 2 的直线 l 与双曲线 ? ? 1 交于 A,B 两点, 3 2

且|AB|=4,则直线 l 为( (A) y ? 2x ? (C) y ? 2x ?
210 3 210 3

) (B) y ? 2x210 3

(D)以上都不对

3.(2010?新课标全国高考)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 ( (A)
x 2 y2 ? ?1 3 6

)

(B)

x 2 y2 ? ?1 4 5

x 2 y2 (C) ? ? 1 6 3

x 2 y2 (D) ? ? 1 5 4
-1-

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x 2 y2 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° a b

的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( (A)(1,2] (C) [2,+∞) (B)(1,2) (D)(2,+∞) )

二、填空题(每题 4 分,共 8 分) 5.已知直线 l:x-y+m=0 与双曲线 x 2 ?
y2 ? 1交于不同的两点 A,B,若线段 AB 的中 2

点在圆 x2+y2=5 上,则 m 的值是____________________. 6.设直线 l:y=ax+1 与双曲线 C:3x2-y2=1 交于 A,B 两点, 若以 AB 为直径的圆经过 坐标原点,则 a=________________. 三、解答题(每题 8 分,共 16 分) 7.“神舟”六号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地 面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为 A,B,C) ,A在 B 的正东方向,相距6千米,C 在 B 的北偏西 30°方向,相距4千米,P 为航天 员着陆点.某一时刻,A 接收到P的求救信号,由于 B,C 两地比 A 距 P 远,在此 4秒后,B,C 两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为 1 千米/秒.求在A处发现 P 的方位角. 8.(2011?江西高考)P(x0,y0) 0≠±a)是双曲线 E: (x
x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a 2 b2
1 5

上一点,M,N 分别是双曲线 E 的左右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原
-2-

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点,C 为双曲线上一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求λ 的值. 【挑战能力】 (10 分)已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近 线与以点 A(0, 2 )为圆心,1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 A 关于 直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程; (2)设直线 y=mx+1 与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线 l 经过 M(-2, 0)及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

??? ?

???? ??? ?

答案解析
1.【解析】选 D.方法一:等轴双曲线的渐近线方程为 y=〒x.结合图形可知,只 要 a≥1,直线 y=ax 就与双曲线 x2-y2=a2,没有公共点.故选 D. 方法二:联立方程组 ?
? y ? ax
2 2 2 ?x ? y ? a

,

消去 y 得(1-a2)x2=a2(*) 要使直线与双曲线没有公共点,只要使该方程(*)无实根即可. 令 1-a2≤0,≧a>0,可得 a≥1.故选 D. 2.【解析】选 C.设直线 l 的方程为 y=2x+m,代入双曲线方程中得: 10x2+12mx+3m2+6=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

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6m 3m 2 ? 6 则 x1+x2=- ,x1〃x2= . 5 10
2 ≧|AB|= 5 ? (x1 ? x 2)? 4x1x =4,
2

? 5 ? (?

6m 2 3m2 ? 6 =4, )? 4 ? 5 10
210 , 3 210 . 3
?15 ? 0 =1, ?12 ? 3

解得 m=〒

?直线 l 的方程为 y=2x〒

3.【解析】选 B.由于 AB 的中点为 N(-12,-15),所以直线 l 的斜率 k=

所以直线 l 的方程为 y=x-3,由于 F(3,0)是 E 的焦点,可设双曲线的方程为
x2 y2 ? ? 1 (a>0) a 9?a

?y ? x ? 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ? x 2 y2 , ? ? ?1 ? ? a 9?a

化简得(9-2a)x2+6ax+a2-18a=0,因为 AB 的中点为 N(-12,-15),所以
x1 ? x 2 ? ? 6a ? ?24 ,解得 a=4,故选 B. 9 ? 2a

4.【解析】选 C.由题意可知 F(c,0) ,?直线 l 的方程为 y=3(x-c),代入双曲 线的方程得: 2-3a2)x2+6a2cx-3a2c2-a2b2=0, (b 当 b2-3a2=0 时,x=
3c 2 ? b 2 >0,适合题意. 6c ?3a 2c2 ? a 2 b2 <0, b 2 ? 3a 2

当 b2-3a2≠0 时,需使 x1 ? x 2 ? ?b2-3a2>0,

综上,b2-3a2≥0,?( )2≥3,?e= 1 ? ( ) 2 ≥2.故选 C.
-4-

b a

b a

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独具【方法技巧】巧用双曲线的特性求解 渐近线是双曲线特有的性质,根据双曲线与其渐近线的几何关系特征本题有更 简捷的解法.结合图形可知: 当渐近线 y= x 与直线 l 平行或其斜率 >tan60°时, 直线 l 与双曲线的右支有 且只有一个交点, ? ≥ 3 ,?e= 1 ? ( ) 2 ≥2. 5.【解析】设线段 AB 的中点为 M(x0,y0) ,
?x ? y ? m ? 0 由 ? 2 y2 得,x2-2mx-m2-2=0. ? ?1 ?x ? ? 2
b a b a b a

b a

? x0 ?

x1 ? x 2 ? m ,?y0=x0+m=2m. 2

≧点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=5 上, ?m2+(2m)2=5,?m=〒1,可知判别式Δ>0, 故 m=〒1. 答案:〒1 6.独具【解题提示】以 AB 为直径的圆经过原点 O,则 OA⊥OB,设出 A、B 的坐 标.据此条件可得 A、B 两点坐标之间的关系,然后利用根与系数的关系可建立 关于 a 的关系式,从而得解. 【解析】 将直线 l 的方程与双曲线 C 的方程联立, 消去 y 得, (3-a2) 2-2ax-2=0. x 依题意得 3-a2≠0,Δ=4a2+8(3-a2)>0 , ?a2<6 且 a2≠3.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 x1+x2=
2a 2 ,x1〃x2= 2 . 2 3?a a ?3
-5-

≧以 AB 为直径的圆过原点,?x1〃x2+y1〃y2=0,

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?(a2+1)x1〃x2+a(x1+x2)+1=0,?a=〒1. 答案:〒1 7.独具【解题提示】解答本题可依据条件确定 P 点的轨迹,再结合轨迹特征建 立直角坐标系,写出方程解题. 【解析】 因为|PC|=|PB|, 所以 P 在线段 BC 的垂直平分线上, 又因为|PB|-|PA|=4, 所以 P 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,以线段 AB 的中点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,正东方向为 x 轴正方向建立直角坐标系,如图所示,则 A(3, 0) ,B(-3,0) ,C(-5,2 3 ).

所以双曲线方程为

x 2 y2 ? ? 1 (x>0) ,BC 的垂直平分线方程为 x- 3 y+7=0.联立 4 5

两方程解得 x=8,y=5 3 ,所以 P(8,5 3 ) PA=tan∠PAx= 3 , ,k 所以∠PAx=60°,所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
2 2 x 0 y0 x 2 y2 8.【解析】 (1)点 P(x0,y0) 0≠〒a)在双曲线 2 ? 2 ? 1 上,有 2 ? 2 ? 1 , (x a b a b

由题意又有

y0 y 1 ? 0 ? , x0 ? a x0 ? a 5

可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, 则e ? ?
c a 30 . 5
? x 2 ? 5y 2 ? 5b 2 ?y ? x ? c

(2)联立 ?

,得 4x2-10cx+35b2=0,
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设 A(x1,y2) ,B(x2,y2) ,
5c ? ? x1 ? x 2 ? 2 ①, 则? ? 2 ? x x ? 35b ? 1 2 ? 4

设 OC =(x3,y3) OC =λ OA ? OB ,即 ? ,

??? ?

??? ?

???? ??? ?

? x 3 ? ? x1 ? x 2 , ? y 3 ? ?y1 ? y 2

又 C 为双曲线上一点,即 x32-5y32=5b2, 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2. 化简得: λ2(x12-5y12)+(x22-5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2 又 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在双曲线上, 所以 x12-5y12=5b2,x22-5y22=5b2. 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c) 2-c) (x =-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2. 得:λ2+4λ=0,解出λ=0 或λ=-4. 【挑战能力】 【解析】 (1)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx, 则 kx-y=0, ≧该直线与圆 x2+(y- 2 )2=1 相切, ?双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=〒x.故设双曲线 C 的方程为 又双曲线 C 的一个焦点为( 2 ,0) ,?2a2=2,a2=1. ?双曲线 C 的方程为: x2-y2=1.
x 2 y2 ? ? 1. a 2 b2

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(2)由 ?

? y ? mx ? 1 ?x ? y ? 1
2 2

得(1-m2)x2-2mx-2=0.

令 f(x)=(1-m2)x2-2mx-2 ≧直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在(-≦,0)上有两个不等 实根.
??>0 因此 ? 2m , ? ?2 <0且 >0 ?1 ? m 2 ? 1 ? m2

解得 1<m< 2 .
m 1 , ), 2 1 ? m 1 ? m2 1 ?直线 l 的方程为: y ? ? x ? 2? . 2 ?2m ? m ? 2 2 2 令 x=0,得 b ? . ? 2 ?2m ? m ? 2 ?2(m ? 1 )2 ? 17 4 8

又 AB 中点为(

≧m∈(1, 2 ), ? ?2(m ? ) 2 ?
1 4 17 ? ?2 ? 2,1 , 8

?

?

?b∈(-≦,-2- 2 )∪(2,+≦)

-8-


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