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双曲线题型归纳之直线与双曲线


第6讲 一、直线与双曲线的交点个数 直线与双曲线 ? Ax ? By ? C ? 0 消去 y (或消去 y) ? 0 ? f (x , y ) ? 0 ,由 ? 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,双曲线 C : f ( x , x )得: ax 2 ? bx ? c ? 0 . (1)若 a ? 0 , ? ? b 2 ? 4ac , ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切; (2)若 a ? 0 ,得到一个一次方程,则此时 l 与双曲线的渐近线平行. 【例 1】已知直线 l : y ? kx ,双曲线 C : 个数. x2 y2 ? ? 1 ,试讨论直线 l 与双曲线 C 的交点 4 3 【练习】已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4,试讨论实数 k 的取值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点 (2)有两个公共点 (3)只有一个公共点 (4)交于异支两点 (5)与左支交于两点 【例 2】直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 的一支有两个相异公共点,求 k 的取值范围. 【练习】直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 交于 A 、 B 两点. ① 当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上? ② 当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点? -1- 二、弦长公式 AB ? 1 ? k 2 ?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2 2 ? 1? 1 k2 ? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 【例 3】过双曲线 x ? 足条件的直线 l 有( y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点,若 AB ? 4 ,则满 2 ) A. 2 条 B. 3 条 C. 4 条 D. 无数条 【例 4】 1.已知双曲线的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为 2 , 过其右焦点且倾斜角为 45 的直线被双曲线截得的弦 MN 的长为 6 . ⑴ 求此双曲线的方程; ⑵ 若直线 l : y ? kx ? m 与该双曲线交于两个不同点 A 、 B ,且以线段 AB 为直径的圆过原点, 求定点 Q(0 ,? 1) 到直线 l 的距离 d 的最大值,并求此时直线 l 的方程. 【练习】1.已知双曲线 C : ⑴ 求双曲线 2 的方程; x2 y 2 3 . ? 2 ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 a b 3 ⑵ 设直线 l 是圆 O : x2 ? y 2 ? 2 上动点 P ? x0 ,y0 ?? x0 y0 ? 0? 处的切线, l 与双曲线 C 交于不同 的两点 A ,B ,证明 ?AOB 的大小为定值. -2- x2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于 3,过右焦点 F2 a b 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,F1 为左焦点. (1)求双曲线的方程; (2)若△ F1AB 的面积等于 6 2,求直线 l 的方程. 三、中点弦问题 【例 5】以 P(1,8)为中点作双曲线为 y2-4x2=4 的一条弦 AB,求直线 AB 的方程. 【练习】已知双曲线的方程为 x ? 2 y2 ? 1. 3 ?1? 求以点 A ? 2,1? 为中点的弦所在的直线方程; ? 2 ? 以点 B ?1,1? 为中点的弦是否存在?若存在,求出弦所在的直线方程

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