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1.2.1平面的基本性质


平面的基本性质
第 1 ,2 课 时

光滑的桌面、地面

我们到的平静的海面和湖面都给以平面 的形象. 和点、直线一样,平面也是从现实世界中 抽象出来的几何概念.

问题:
那我们怎样来认识和表示一个 平面呢?

1.平面的基本概念 : 平面是一个只描述而不定义的最基本 的概念,它是从日常见到的具体的平面抽 象出来的理想化的模型.
几 何 里 的 平 面 的 特 征 :

1.平
2.无限延展

(不是凹凸不平) (没有边界)
(无所谓面积) (没有质量)

3.不计大小
4.不计厚薄

2. 平面的画法:
(1)通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用 其它平面图形表示,如:矩形;菱形;三角形;圆(椭圆) 等等;

(2) 通常画平行四边形表示平面,当平面是 水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成 45°横边画成邻边长的2倍。 (3)画直立平面时,要有一组对边为竖直。

水平平面: 直立平面

(4)在画图时,如果图形的一部分被另一部分遮住, 可以把遮住部分画成虚线(不等同于平面几何中的辅助 线),也可以不画。
M M

N

N

3、平面的表示法
α 平面α
A
A D

?

平面 ?

B
B C

C

平面ABC

平面AC或平面BD

从集合的角度来说,以点当 元素,则直线、平面可以看作是 点的集合,那么点与线、点与 面、线与面之间关系用什么符 号加以表示?

4. 点、线、面的位置关系(集合语言表示法)

Q

P

点A 在平面a内,
点B 在平面a外,

A ??
B ??

点P在直线l上,

P ?l
Q ?l

点Q不 在直线l上,

直线 L 在平面 a 之外
(I) (II) L

L

A

?
?

l∥α

L ?? ? A

直线L在平面a 内,

?

L

表示为:

L ??

直线a与b 相交于点A,
A

b

?

a

表示为:

a ?b ? A

归纳基本作图要求: 看不见的部分用虚线表示(这一点与平面几何 中 辅助线才用虚线是不一样的)

练习: 1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×” (1)可画一个平面,使它的长为4cm,宽为2cm. (2)一条直线把它所在的平面分成两部分,一个平 面把空间分成两部分. (3)一个平面的面积为20 cm2. (4)经过面内任意两点的直线,若直线上各点都 在这个面内,那么这个面是平面.

2.观察(1)、(2)、(3)三个图形,模型说明它 们的位置关系有什么不同,并用字母表示各个平面.

(1)

(2)

(3)

4、平面的空间感觉: 2 (1) 一个平面把空间分成_____________部分;

(2) 二个平面把空间分成_____________部分; 3或4
4或6或7或8 (3) 三个平面把空间分成_____________部分; 27 (4) 正方体把空间分成______________部分.

2个平面分空间有两种情况:
(1)两平面没有公共点时 (2)两平面有公共点时

两个平面把空间分成3或4个部分。

3个平面 3个平面把空间分成4,6,7或8个部分。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

? 椅子放不稳 是地面不平还是椅子本 , 身有问题?

用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定,将 一把尺子置于桌面上,就可以检查桌面是否平 整,为什么?

上面问题都和平面的基 本性质有关.

在生产与生活中人们经过长期的观察与 , 实践, 总结出关于平面的三个 基本性质.我们把它们 当作公理, 作为进一步推理的基础 .

如果把桌面看作一个平面,把你的笔看作 是一条直线的话,你觉得在什么情况下, 才能使你的笔所代表的直线上所有的点都 能在桌面上?

符 号 4.平面的基本性质 语 言 A ? l , B ? l ,且A ?? , B ?? ? 直线AB ? ? 文 字 语 言 公理1:如果一条直线上的 两个点在平面内,那么这条 直线上所有的点都在这个 α A 平面内. 作用:用来证明或 判断直线在平面内

图形语言

B

4 平面的性质

公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么 这条直线上的所有点都在这个平面内
A ? l , B ? l ,且A ?? , B ?? ? 直线AB ? ?

如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平面α内, 或者说平面α经过直线l,否则,就说直线l在平面α外.

应用:

判断点或直线在平 面内的依据;

α

A

B

l

1) 用手指头将一本书平衡地摆 方在空间某一位置,至少需要几个 手指头? 2)这些手指需要满足什么条件?

?

? A

?B ?C

公理 2 经过不在同一条直线上的三 个点,有且只有一个平面?图1 ? 2 ? 5?.

图1 ? 2 ? 5

"用两个合页和一把 锁 就可以将一 扇门固定 "、照 相机支架只需三条 " 腿就够了" 都是 基于这个基本性质 . 公理3 也可简单地说, 不共线的三点 确定一个平面 .

应用:确定平面的依据 判定点或线的共面;
过不共线三点ABC的平面?图1 ? 2 ? 5?通常记作"平面ABC".
确定一个平面的含义是有且只有一个平面.

根据上述公理 ,可以得出下面推论: 推论 1 经过一条直线和这条直 线外一点 有且只有一个 , 平面?图1 ? 2 ? 6?. ?B ? 已知 : 直线 l , 点A ?l ?1 ? 2 ? 6?. ?l A C ? 求证 : 过直线l和点A有且只有一个平面.
图1 ? 2 ? 6

a

?

b

?

?

类似地, 我们可以得出下面两个推理:

?

图1 ? 2 ? 7
?
A

一个平面 ?图1 ? 2 ? 7 ?.
a

推论 2 经过两条相交直线有且只有 , 推论 3 经过两条平行直线有且只有 ,

?

一个平面 ?图1 ? 2 ? 8 ?.

b

图1 ? 2 ? 8

如图1 ? 2 ? 9, 用两根细绳沿上桌子 四条腿的对角拉直 , 如果这两根细 绳相交 , 说明桌子四条腿的底端在 同一个平面内 , 否则就 不在同一个 平面内, 其依据就是推理 2 .

图1 ? 2 ? 9

一块三角板与桌面只有一个交点,问 三角板所在的平面与桌面所在的平 面是否只有一个交点?

公理 3 如果 两个平 面有一个公共
?

点,那么它们还有其他公共点 ,这 些
?

?

P

公共点的集合是经过这个公共点的 一条直线?图1 ? 2 ? 4?.

图1 ? 2 ? 4

如果两个平面有一条公 共直线, 则称这两个平面相交 , 交线 .教室里相邻的 这条公共直线叫做这两 个平面的 墙面在地面的墙角处有 一个公共点 那么它们就交于 , 过这个点的一条直线 .

公理 2 可用符号表示为?图1 ? 2 ? 4 ?: P ?? ? ? ? ? ? l 且 P ?l . P??

有且只有一个的含义:

“有”
“只有一个”

说明图形是存在的!
说明图形是唯一的!

应用:判定两个平面有交线及交线位置的依据
1.判定两个平面相交:如果两个平面有一个公 共点,那么它们相交; 2.判定点在直线上:点若是某两个平面的公共 点,那么这点就在这两个平面的交线上; 3.两平面两个公共点 的连线就是它们的交 线
β

P l α

例1 已知 : A ? l , C ? l , D ? l ?图1 ? 2 ? 10 ?. 求证 : 直线AD, BD , CD 共面.
分析 因为直线l与点D可 以确平面? , 所以只需证明 AD, BD , CD 都在? 内.
D

?
C

l

A

B

证 因为D ? l , 所以 l 与D可以确平面? ?推论1?.

图1 ? 2 ? 10

又因为A ? l , 所以 A ?? , 又D ?? , 所以AD ? ? ?公理1?.

同理, BD ? ? , CD ? ? ,

所以AD, BD, CD 在同一平面? 内, 即它们共面.
空间点和直线都在同一个平面内, 那么就称它们" 共面".

例 2 如图1 ? 2 ? 11, 在长方体ABCD ? A1 B1C1 D1中, P 为棱 BB1 的中点, 画出由A1 , C1 , P 三点所确定的平面 ?与长方体表面的交线 .
D1 A1 B1 C1 A1 D1 B1 C1

D A

?P

C A

D

P

?
B

C

?1?

B

图1 ? 2 ? 11

?2?

分析 因为点P既在平面? 内又在平面AB1 内, 所以点 P 在平面?与平面AB1的交线上.同理, 点A1在平面?与平面 AB1的交线上.因此, PA1就是平面?与平面AB1的交线 .

作法 连结 A1 P, PC1 , A1C1 ,它们就是平面?与长方 体表面的交线?图1 ? 2 ? 11?2??.

练习1:空间四点不共面,可以确定
A B C D

4 个平面.

平面ABC 平面ACD 平面ABD 平面BCD

练习2
三条直线相交于一点,

3 最多确定的平面数是_______; 6 四条直线相交于一点呢?_________。

3条直线相交于一点时:
(1)3条直线共面时
(2)每2条直线确定一平面时

三条直线相交于一点,用其中的两条确定 平面,最多可以确定3个。

4条直线相交于一点时:
(1)4条直线全 共面时 共面时
(c)每2条直线 (2)有3条直线 都确定一平面时

三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定6个。

练习3:
判断下列说法是否正确: (1)梯形是平面图形. (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (3)四条边都相等的四边形是菱形.

例3:如图,直线AB、BC、CA两两相交,交点 分别为A、B、C,判断这三条直线是否共面, 并说明理由.
A

?

B

C

共面

证法1: ∵AB∩AC=A ∴直线AB、AC确定一个平面? (推论2) ∵B∈AB ,C∈AC
∴B∈ ? ,C∈? ∴BC ?? (公理1) ∴直线AB、BC、CA都在平面 ?内 即它们共面
A

?

B

C

证法2: ∵A ?直线BC
∴过点A和直线BC确定平面 ? ∵ A∈? , B∈BC ∴ B∈ ? ,∴AB?? 同理 AC?? ∴AB、AC、BC共面
A

?

B

C

证法3:
∵ A、B、C三点不在一条直线上

∴过A、B、C三点可以确定平面 ? (公理3) ∵ A∈? , B∈ ? ∴AB ?? (公理1) 同理 BC ?? , AC ??
∴AB、AC、BC共面
A

?

B

C

例4.如图,已知:△ABC的各顶点在平面外,直
线AB,AC,BC分别交平面α于P,Q,R, 求证:P,Q,R三点共线 A B C

Q αR

P

例6、点A ? 平面BCD ,E, F, G, H分别是AB,


BC ,CD ,DA上的点,若EH 与FG交于点P, (这样的四边形叫做空间四边形) 求证:P ? BD
E B A H D G
王新敞
奎屯 新疆

P

王新敞
奎屯

新疆

F

C


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