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高一数学必修一第一章集合与函数概念单元测试1


高一数学必修一第一章集合与函数概念单元测试 1 一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分) 1. 下列命题正确的是 A.很小的实数可以构成集合。 B.集合 y | y ? x 2 ? 1 与集合 ?x, y ? | y ? x 2 ? 1 是同一个集合。 C.自然数集 N 中最小的数是 1 。 D.空集是任何集合的子集。 2. 函数 f ( x) ? A. [? ,1]





?

?

?

?

3x 2 1? x

?

2 3x ? 1

的定义域是





1 3

B. (? ,1)

1 3

C. (? , )

1 1 3 3

D. (??, ? )

1 3

2 2 3. 已知 M ? x | y ? x ? 1 , N ? y | y ? x ? 1 , M ? N 等于( )

?

?

?

?

A. N

B. M

C. R

D. ? ( )

4. 下列给出函数 f ( x ) 与 g ( x) 的各组中,是同一个关于 x 的函数的是

x2 ?1 A. f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x
C. f ( x) ? x 2 , g ( x) ?
5

B. f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? 2 x ? 1 D. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 ( )

3

x6
3

5. 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? 3 ,f ? ?3? ? 7 , 则 f ? 3? 的值为 A. 13
2

B. ?13

C.7

D. ?7 )

6. 若函数 y ? x ? (2a ?1) x ? 1 在区间 (-∞, 2 ] 上是减函数, 则实数 a 的取值范围是 ( A. [ - ,+∞)
3 2

B. (-∞,-

3 2

]

C. [

3 ,+∞) 2

D. (-∞,

3 2

]

? x ? 2, x ? ?1 ? 7. 在函数 y ? ? x 2 , ? 1 ? x ? 2 中,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的值是 ? 2 x, x ? 2 ?
A. 1 B. 1或





3 2

C. ?1

D. 3 ( )

8. 已知函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是 A.0<m≤4 B.0≤m≤1 C.m≥4 D.0≤m≤4

9. 已 知 函 数 f ( x) 是 R 上 的 增 函 数 , A( 0,? 2 ) , B(3, 2) 是 其 图 象 上 的 两 点 , 那 么

| f ( x ? 1) |? 2 的解集是
A. (1,4) B. (-1,2) C. (??,1) ? [4,??)

( ) D. (??,?1) ? [2,??)

10. 若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足 f ( x) ? g ( x) ? 2x , 则有 ( A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3) 二、填空题(每小题 5 分,共计 30 分) 11. 用集合表示图中阴影部分:
U
A B C



B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

U
A B

U
A B

2 12. 若集合 M ? x | x ? x ? 6 ? 0 , N ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,则实数 a 的值为

?

?

_________________
2 13. 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x -2x , 则 f ?x ? 在 x ? 0 时

的解析式是 _______________ 14. 某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图,则: ①前3年总产量增长速度增长速度越来越快; ②前3年中总产量增长速度越来越慢; ③第3年后,这种产品停止生产; ④第3年后,这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是_____________. 15. 设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 2009? ? __________ 16. 已知函数 f(x)定义域为 R,则下列命题: ① ②
O 3 8 t y

y ? f ( x) 为偶函数,则 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称. y ? f ( x ? 2) 为偶函数,则 y ? f ( x) 关于直线 x ? 2 对称.

③ 若 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ,则 y ? f ( x) 关于直线 x ? 2 对称. ④

y ? f ( x ? 2) 和 y ? f (2 ? x) 的图象关于 x ? 2 对称.
其中正确的命题序号是_______________

三、解答题:解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | x2 ?12x ? 20 ? 0} , C ? {x | x ? a} . (1) 求 A ? B; (?R A) ? B ; (2)若 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围。

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ,且对任意的实数 x 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立. (1)求实数 a 的值; (2)利用单调性的定义证明函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上是增函数.

19, (本小题共 12 分)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有动点 P,从 B 点开始,沿折线 BCDA 向 A 点运动,设点 P 移动的路程为 x, ? ABP 面积为 S.(1) 求函数 S=f(x)的解析式、 定义域和值域; (2) 求 f[f(3)] 的值。

20. (本题满分 12 分)

是否存在实数 a 使 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 的定义域为 [ ?1,1] ,值域为

[?2, 2] ?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

21.

已知函数

f ( x) 是定义在 [?1, 1] 上的奇函数,且 f ( x) 在定义域上是减函数,
(Ⅱ)若

(Ⅰ)求函数

y ? f ( x ? 1) 定义域;

f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? 0 ,求 x 的取值范

22. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? x( x ? 2 y ? 1) 成立,且 f (1) ? 0 . (1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式;

(3)已知 a ? R ,设 P :当 0 ? x ?

1 时,不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立; Q : 2

当 x ? [?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? ax 是单调函数。如果满足 P 成立的 a 的集合记 为 A ,满足 Q 成立的 a 的集合记为 B ,求 A ∩ ?R B ( R 为全集) 。

参考答案: 一 选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D 9 B 10 D

二、填空题(每小题 4 分,共计 24 分) 11. ( A

B) C, CU ( A B),

12.

1 1 或? 或 0 2 3

13. f ( x) ? ? x 2 ? 2x 14. ①④ 15.

2

?2 ? f ? 2n ? 1? ? ?13 ? ?2

n为奇数 n为偶数

,∴ f ? 2009? ? f ? 2 ?1005 ?1? ? 2

16.②④ 三、解答题:解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 14 分) 17.解析: (1) A ? B ? {x | 2 ? x ? 10} ;

(CR A) ? B ? {x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10} ;
(2)若 A ? C ? ? , a>3. 18. 解析: (1)由 f (1+x)=f (1-x)得, 2 2 (1+x) +a(1+x)+b=(1-x) +a(1-x)+b, 整理得:(a+2)x=0, 由于对任意的 x 都成立,∴ a=-2. (2)根据(1)可知 f ( x )=x -2x+b,下面证明函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数. 设 x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) =( x12 ? 2 x1 ? b )-( x22 ? 2 x2 ? b ) =( x12 ? x22 )-2( x1 ? x2 )=( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 -2) ∵ x1 ? x2 ? 1 ,则 x1 ? x2 >0,且 x1 ? x2 -2>2-2=0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 故函数 f(x)在区间[1,+∞ ) 上是增函数. 19.解: f ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? ( x ? a) ? a ? a 2 ,对称轴 x ? a (1)当 a ? 1 时,由题意得 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是减函数 ? f ( x) 的值域为 [1 ? a,1 ? 3a]
2

?1 ? a ? ?2 则有 ? 满足条件的 a 不存在。 ?1 ? 3a ? 2
(2)当 0 ? a ? 1 时,由定义域为 [ ?1,1] 知 f ( x) 的最大值为 f (?1) ? 1 ? 3a 。

f ( x) 的最小值为 f (a) ? a ? a 2

1 ? ?1 ? 3a ? 2 ?a ? ? a不存在 ?? 3 ? 2 ?a ? a ? ?2 ? ?a ? 2或a ? ?1
(3)当 ?1 ? a ? 0 时,则 f ( x) 的最大值为 f (1) ? 1 ? a , f ( x) 的最小值为 f (a) ? a ? a 2

?1 ? a ? 2 得 a ? ?1 满足条件 ?? 2 ?a ? a ? ?2
(4)当 a ? ?1 时,由题意得 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是增函数 ? f ( x) 的值域为 [1 ? 3a,1 ? a] ,则有

?1 ? 3a ? ?2 ? ?1 ? a ? 2

满足条件的 a 不存在。

综上所述,存在 a ? ?1 满足条件。 20. 解析: (1)令 x ? ?1, y ? 1 ,则由已知 f (0) ? f (1) ? ?1(?1 ? 2 ? 1) ∴ f (0) ? ?2 (2)令 y ? 0 , 则 f ( x) ? f (0) ? x( x ? 1) 又∵ f (0) ? ?2 ∴ f ( x) ? x ? x ? 2
2

(3)不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a
2 即 x ? x ?1 ? a

2 即 x ? x ? 2 ? 3 ? 2x ? a

当0 ? x ?

1 3 1 2 3 2 时, ? x ? x ? 1 ? 1 , 又 ( x ? ) ? ? a 恒成立 2 4 2 4

故 A ? {a | a ? 1}

g ( x) ? x2 ? x ? 2 ? ax ? x2 ? (1 ? a) x ? 2
又 g ( x) 在 [?2, 2] 上是单调函数,故有

a ?1 a ?1 ? ?2, 或 ?2 2 2

∴ B ? {a | a ? ?3, 或a ? 5} ∴ A ∩ CR B = {a |1 ? a ? 5}

21,如图所示, 1 S ? ABP1= ×4×x=2x,0<x ? 4 ; 2 1 S ? ABP2= ×4×4=8,4<x ? 8 ; 2 1 S ? ABP3 ×4×(12-x)=24-2x,8<x<12。 2

0? x?4 ?2 x ? 4? x?8 ? S=f(x)= ?8 ?24 ? 2 x 8 ? x ? 12 ?

定 义域为

(0,

12) ; 值域为(0,8) ? {8} ? (0,8)=(0,8) ;f[f(3)]=f(6)=8。

19.解: (Ⅰ)依题意得: ?1 ? x ? 1 ? 1 ,解得 0 ? x ? 2 函数 y ? f ( x ? 1) 定义域为 {x | 0 ? x ? 2} (Ⅱ)
f ( x) 是奇函数,且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? 0

∴得 f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ? f (1 ? x)
f ( x) 在 [?1, 1] 上是单调递减函数,则

? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ?x ? 2 ? 1? x ?

? ?1 ? x ? 3 ? 解得 ?0 ? x ? 2 ? 3 ?x ? ? 2 3 3 即 ? x ? 2 ∴ x 的取值范围 {x | ? x ? 2} 2 2


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