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甘肃省天水市一中2014届高三数学上学期第一学段考试试题 理 新人教A版


天水一中 2011 级(高三)2013——2014 学年度第一学期第二阶段考 试数学试题(理科)
一、选择题(每小题 5 分共 60 分;每题只有一个正确选项) 1、设 U ? R, P ? {x | x ? 1}, Q ? {x | x( x ? 2) ? 0}, 则 CU ( P ? Q) ? A. {x | x ? 1 或 x ? 2} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 2} ( ( ) D. {x | x ? 0} )

2、已知 ? ? (0, ? ) ,且 sin ? ? cos ? ? A. ?

1 , 则 cos 2? 的值为 2
D. ?

7 4

B.

7 4


C. ? )

7 4

3 4

3、下列说法正确的是

A. “ a ? 1 ”是“ f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在 (0,??) 上为增函数”的充要条件 B. 命题“ ?x ? R 使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”
2 2 C. “ x ? ?1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件

D. 命题 p: “ ?x ? R,n i s

,则 ? p 是真命题 x?c o s x? 2”

4、如右图,在△ ABC中, AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边
BC 上的高,则 AD ? AC 的值等于

( D. ?
9 4



A.0

B.

9 4

C.4

5、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) ,则

a5 的值为( a3

)

A.

1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5 6

6、已知数列

为等比数列,且.

a5 ? 4, a9 ? 64 ,则
D .? 8
( 其 ) 中

=(



A .8

B . ? 16

C . 16

7 、 已 知 函 数 f ( x) ?

As ? i n? ( ? x

A ? 0, ? ?

π )的部分图象如右图所示,为了得到 2

g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象( )
π 个长度单位 6 π C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移

π 个长度单位 12 π D.向左平移 个长度单位 12
B.向右平移
1

8 、如果 f ?( x ) 是二次函数 , 且 f ?( x ) 的图象开口向上 , 顶点坐标为( 1, 3 ) , 那么曲线

y ? f ( x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是
A. (0,





?
3

]

B. [

? ?

, ) 3 2

C. (

? 2?
2 , 3

]

D. [

?
3

,? )

9.已知 a > 0,b > 0,a、b 的等差中项是 是( ) A.6 10、 已知函数 f ( x) ?

1 1 1 ,且 x ? a ? ,y ? b ? ,则 x + y 的最小值 2 a b

B.5

C.4

D.3 )

1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为( ln( x ? 1) ? x

11、已知函数

f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线


与 x 轴交点的横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为( A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012 D.1

12、定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零
2

点,则 a 的取值范围是 ( A. (0,



2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

二、填空题(将你所做答案写在答题卡 相应的位置上每题 5 分,共 20 分) 13、由曲线 y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ? 面图形(图中的阴影部分)的面积是

?
2

所围成的平 .
2

? y?x ? 14.变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值是 ? y ? 3x ? 6 ?
15、在△ABC 所在平面上有三点 P、Q、R,满足 PA ? PB? PC ? AB ,
? ? ? ?

.

QA? QB? QC ? BC, RA ? RB? RC ? CA ,则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 .
16.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点.如果函数 f ( x) 的图象 恰好通过 k ( k ? N* )个整点,则称 f ( x) 为 k 阶整点函数.给出下列函数:

?

?

?

?

?

?

?

?

1 1 ① f ( x) ? cos x ;② f ( x) ? ? ( x ? 1)2 ; ③ f ( x) ? ( ) x ? 2 ; ④ f ( x) ? log0.6 ( x ? 1) ; ⑤ f ( x) ? . 3 x ?1
其中是 1 阶整点函数的序号有______________.(写出所有满足条件的函数的序号) 三、解答题(6 小题共 70 分,将过程写在答题卡相应的位置上,要有必要的推演步骤) 17、 (本小题满分 10 分)命题 p:实数 x 满足 x -4ax ? 3a ? 0 (其中 a>0) ,
2 2

? x-1 ? 2 ? 命题 q:实数 x 满足 ? x ? 3 ?0 ? ? x-2
(1)若 a=1,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18、 (本题 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 q=( 2 a ,1) , 向量 p=( 2b ? c , cos C )且 p // q . 求: (1)求 sin A 的值; (2)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C
*

19、 (本题 12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1)(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:an= (3)令 cn= + 2 + 3 +?+ n ,求数列{bn}的通项公式; 3+1 3 +1 3 +1 3 +1

b1

b2

b3

bn

anbn
4

(n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

*

20. (本题 12 分) 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池, 池的深度一定(平面图如图所示) ,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔 墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为每平方米 80元 ,水池所有墙的厚度忽略不 计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最 低总造价;
3

(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米, 试设计污水池的长和宽,使总造价最低. 21.(本小题满分 12 分)如图,已知点 A(11,0) ,函数 y ? x ? 1 的图象上的动点 P 在 x 轴

f (t ) . 上的射影为 H ,且点 H 在点 A 的左侧.设 | PH |? t , ?APH y 的面积为
(I)求函数 f (t ) 的解析式及 t 的取值范围; (II)求函数 f (t ) 的最大值.
O P

H

A

x

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (1)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;

1? a , (a ? R). x

(2)若在区间 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取 值范围.

天水一中 2011 级(高三)2013——2014 学年度第一学期第二阶段考试 数学试题(理科)答案 一、选择题(每小题 5 分共 60 分;每题只有一个正确选项,将你所选选项答在答题卡相应 位置上) 1、 D 2、 C 3、A 4、 B 5、D 6、C 7、A 8、B 9. B10、B11、A12、B

二、填空题(将你所做答案写在答题卡 相应的位置上每题 5 分,共 20 分) 13、 2 2 ? 2 14、3 15、1:3 16.①②④.

三、解答题(6 小题共 70 分,将过程写在答题卡相应的位置上,要有必要的推演步骤) 17、 【答案】解: (1)p 真:1<x<3; ??2 分

q 真:2<x≤3, ??4 分 p ? q 为真时 2<x<3.??6 分 (2)由(1)知 p: a ? x ? 3a ,则 ?p : x ? a 或 x ? 3a , q: 2 ? x ? 3 ,则 ?q : x ? 2 或 x ? 3 ,??10 分
?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 ? p ? ? q ,且 ?q ? ? ?p ,
?0 ? a ? 2, ∴? 解得 1 ? a ? 2 ,故实数 a 的取值范围是 (1, 2] . ?3a ? 3,

18、 (本题 12 分)

4

18、 解: (I) ∵ p // q , ∴ 2a cos C ? 2b ? c , 根据正弦定理, 得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C ,

? 1 1 3 ? sinC ? 0 , ? sin C ? cos A sin C , ? cos A ? , 又? 0 ? A ? ? ? A ? ; sinA= 3 2 2 2
(II)原式 ?

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC , sin C 1 ? tanC 1? cosC

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?
∵0 ? C ?

?
4

),

2 ? ? 13 2 ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? ? sin(2C ? ) ? 1 , 2 4 4 4 12 3

∴ ? 1 ? 2 sin(2C ?

?
4

) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] .

19、 (本题 12 分)[解析] (1)当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知 a1=2 满足该式 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)an= + 2 + 3 +?+ n (n≥1)① 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 ∴an+1= + 2 + 3 +?+ n + n+1 ② 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 ②-①得, n+1 =an+1-an=2,bn+1=2(3 3 +1 故 bn=2(3 +1)(n∈N ). (3)cn=
n
*

b1

b2

b3

bn

b1

b2

b3

bn

bn+1

bn+1

n+1

+1),

anbn
4

=n(3 +1)=n·3 +n,
2 3

n

n

∴Tn=c1+c2+c3+?+cn=(1×3+2×3 +3×3 +?+n×3 )+(1+2+?+n) 令 Hn=1×3+2×3 +3×3 +?+n×3 ,① 则 3Hn=1×3 +2×3 +3×3 +?+n×3
2 3 2 3 4 2 3

n

n

n+1


n+1

①-②得,-2Hn=3+3 +3 +?+3 -n×3

n



( 3 1 ? 3n) n+1 -n×3 1? 3

∴Hn=

(2n ? 1)3 n ?1 ? 3 。 4 (2n ? 1)3 n ?1 ? 3 n( n ? 1) + . 2 4

∴数列{cn}的前 n 项和 Tn= 20. (本题 12 分)

5

【答案】(1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 则总造价 f(x)=400×( 2 x ? 2 =1 296x+ (元), 当且仅当 x=

162 米. x

162 )+248×2x+80×162 x

100 129600 100 +12 960=1 296( x ? )+12 960≥1 296×2 x ? +12 960=38 880 x x x
100 (x>0),即 x=10 时取等号. x

∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38 880 元.

x ? 16 ? 1 ? 0? 162 ,∴ 10 ? x ? 16 0? ? 16 8 ? x ? 100 1 设 g(x)= x ? ( 10 ? x ? 16 ). x 8 ? 1 ? g(x)在 ?10 ,16? 上是增函数, ? 8 ? 1 162 ∴当 x=10 时(此时 =16), g(x)有最小值,即 f(x)有最小值. 8 x 1 ∴当长为 16 米,宽为 10 米时,总造价最低. 8
(2)由限制条件知 ? 21.(本小题满分 12 分) 解: (I)由已知可得 x ? 1 ? t ,所以点 P 的横坐标为 t 2 ? 1 , 因为点 H 在点 A 的左侧,所以 t 2 ? 1 ? 11 ,即 ?2 3 ? t ? 2 3 . 由已知 t ? 0 ,所以 0 ? t ? 2 3 , 所以 AH ? 11 ? (t 2 ? 1) ? 12 ? t 2 , 所以 ?APH 的面积为 f (t ) ? (12 ? t 2 )t ,0 ? t ? 2 3 .-(II) f '(t ) ? 6 ? t 2 ? ? (t ? 2)(t ? 2) 由 f '(t ) ? 0 ,得 t ? ?2 (舍),或 t ? 2 . 函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况如下:

1 2

3 2

3 2

t
f '(t ) f (t )

(0, 2)
+ ↗

2 0 极大值

(2,2 3)
?


所以当 t ? 2 时,函数 f (t ) 取得最大值 8.
6

22 (12 分)

在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ?

1? a ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零. x

?由(Ⅱ)可知

①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

1? a e2 ? 1 , ? a ? 0 可得 a ? e e ?1

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1, e? 上单调递增, 所 以 h( x) 最 小 值 为 h(1) , 由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可 得 a ? ?2 ; ③ 当 1 ? 1 ? a ? e , 即
0 ? a ? e ?1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) ,

因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

7


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