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15 导数在函数中的应用——极值和最值


第 0216 课时 导数在函数中的应用——极值和最值 【基础再现】 1. 已知函数 f(x)=4x3-x4 在 x=x0 处取极值,则 x0=_________. 答案:3 意图:求函数的极值点 lnx 2. 函数 y= x 的极大值点为 答案:令 y ' ? .

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x ? ? 0, x ? e ,当 x ? e 时, y' ? 0 ;当 x ? e 时, y' ? 0 , 2 2 x x

1 y极大值 ? f (e) ? ,在定义域内只有一个极值点为 x=e. e
意图:求函数的极大值点 4 3.函数 y=x -4x+3 在区间[-2,3]上的最小值为 .

答案: y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4 x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1 时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0 得 y极小值 ? y |x?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ymin ? 0 意图:复习求最值的基本方法. π 4.函数 y=x+2cosx 在区间[0,2]上的最大值是 答案: .

?
6

? 3


意图:考察有关三角函数极值和最值的问题. 5. 若函数 y=x3+ax2+bx+30 在 x=-1 和 x=3 处有极值,则 a+2b= 答案:-15 意图:已知极值求变量的值 【典型例题】 1 3 1 例 1.求函数 f(x)= x3- 2x2+1 在区间[-3, ]上的极值和最值. 3 2 5 答案:极大值 f(0)=1,极小值 f(1)= 6 最大值 1,最小值 f(-3)=-12.5 意图:复习列表求函数的极值和最值

例 2.函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 时有极值 10,那么 a,b 的值分别为________. 解: 4, ?11
2 f ' ( x)? 3x ? 2a x ? b , ' f (1 ? )

3

2

2

2 a ? b ? 3 ?

2 0 ,f ( ? 1 )a? a ? b ? ? 1 10

?2a ? b ? ?3 ?a ? ?3 ?a ? 4 ,? ,或 ? ,当 a ? ?3 时, x ? 1 不是极值点 ? 2 b ? 3 b ? ? 11 a ? a ? b ? 9 ? ? ?
意图:知道极值求参数,应注意,“导数等于 0”只是“此点为极值点”的必要条件,故需检验所求的结果. 4 例 3.若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- , 3

(1)求函数的解析式; (2)若函数 f(x)=k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围. 解: f ??x? ? 3ax2 ? b ,

1 ? ? f ??2? ? 12a ? b ? 0 ?a ? ? (1)由题意: ? 4 ,解得 ? 3. f ?2? ? 8a ? 2b ? 4 ? ? ? b ? 4 ? ? 3 ?

?

所求解析式为 f ? x ? ?

1 3 x ? 4x ? 4 3

(2)由(1)可得: f ??x? ? x 2 ? 4 ? ?x ? 2??x ? 2? 令 f ??x ? ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?2 当 x 变化时, f ?? x ? 、 f ?x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x ?

?? ?,?2?
?
单调递增↗

?2

?? 2,2?
— 单调递减↘

2

?2,???
?
单调递增↗

0
28 3 28 3 ;

0
? 4 3

f ?x ?

因此,当 x ? ?2 时, f ?x ? 有极大值 当 x ? 2 时, f ?x ? 有极小值 ?

4 ; 3

y

1 ? 函数 f ?x ? ? x 3 ? 4 x ? 4 的图象大致如图: 3 4 28 由图可知: ? ? k ? 3 3
?2

28 3 y=k

0 4 ? 3

2

x

设计意图: (1)极大值,极小值是否就是最大值,最小值,要与区间两端点的函数值进行比较,才能下结 论.(2)在已知函数 f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令 f '( x) ? 0(或f '( x) ? 0) 恒成立, 解出参数的取值范围,然后检验参数的取值能否使 f’(x)恒等于 0,若能恒等于 0,则参数的这个值应舍去, 若 f’(x)不恒为 0,则由 f '( x) ? 0(或f '( x) ? 0) ,x ? (a, b) 恒成立解出的参数的取值范围确定.

变式:已知函数 f(x)=x3-ax2+bx+c 的图象为曲线 E. (Ⅰ) 若曲线 E 上存在点 P,使曲线 E 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a,b 的关系;

(Ⅱ) 说明函数 f(x)可以在 x=-1 和 x=3 时取得极值,并求此时 a,b 的值; (Ⅲ) 在满足(Ⅱ)的条件下,f(x)<2c 在 x∈[-2,6]恒成立,求 c 的取值范围. 解:(1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2a x ? b ,设切点为 P( x0 , y0 ) ,则曲线 y ? f ( x) 在点 P 的切线的斜率
2 2 k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 2ax0 ? b ,由题意知 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 2ax0 ? b ? 0 有解,

∴ ? ? 4a 2 ? 13b ? 0 即 a 2 ? 3b . (2)若函数 f ( x) 可以在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值, 则 f ?( x) ? 3x 2 ? 2a x ? b ? 0 有两个解 x ? ?1 和 x ? 3 ,且满足 a 2 ? 3b . 易得 a ? 3 , b ? ?9 . (3)由(2),得 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? c . 根据题意, c ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )恒成立. ∵函数 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )在 x ? ?1 时有极大值 5 (用求导的方法) , x ? 6 54 . 且在端点 处的值为 ∴函数 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )的最大值为 54 . 所以 c ? 54 . 【课后强化】 1.函数 f(x)=x3-3x 的极小值为_________. 2 2. 若函数 f(x)=x(x-c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为_________.. 1 3 2 3. 设 f(x)=x -2x -2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 4. 已知函数 f(x)的导数 f ′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是__ 5. 函数 f(x)=x -3x+a 在闭区间[-3,0]上的最大值 3,则 a 的值是 6. 若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是 7. 右图是函数 y=f(x)的导函数 y=f ′(x)的图象,给出下列命题: ①—3 是函数 y=f(x)的极值点; ②—1 是函数 y=f(x)的最小值点; ③y=f(x)在 x=0 处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(—3,1)上单调递增. . 则正确命题的序号是
3

. .

. .

3 8. 已知函数 y=f(x)在定义域(- ,3)上可导,其图像如图, 2 记 y=f(x)的导函数 y=f ′(x),则不等式 xf ′(x)≤0 的解集是 ________. 9. 求下列函数的值域:
3 2 (1) f(x)=2x -6x +3,x∈[-2,2]

3 ? 2

?1

1 1 ? ? 2 3

1
7 3

3

1 2 (2)f(x)=2ln(1+x) -2x ,x∈[0,2]. 10. 已知函数 y=ax3+bx,当 x=1 时,有极大值 3; (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 11. 已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)

在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=0.. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值。 参考答案:1. 1 个 2. 6 3. (7, ??) 4. (0,+ ? ) 5. 1 6. a>2 或 a<-1 7. ① ④ 8. [0,1] ? (? , ? ]. 9. (1)[-37,3] 1 (2)[2ln2-2,2ln3-2]
' 10.解: (1) y ' ? 3ax2 ? 2bx, 当 x ? 1 时, y |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,

3 2

1 2

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3

(2) y ? ?6x3 ? 9x2 , y' ? ?18x2 ? 18x ,令 y' ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0
11. 解:⑴ f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 3 .
2

根据题意,得 ?
3

? ?a ? 1 ? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, 即? 解得 ? ?b ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0, ?3a ? 2b ? 3 ? 0,

所以 f ? x ? ? x ? 3x .
2 ⑵ 令 f ? ? x ? ? 0 ,即 3x ? 3 ? 0 .得 x ? ?1 .

x
f '( x) f ( x)

?2

( ? 2 , ?1 ) +

-1

(-1,1) -

1

(1,2) +

2

-2



极大值



极小值



2

因为 f ? ?1? ? 2 , f ?1? ? ?2 , 所以当 x ? ?2, 2 时, f ? x ?max ? 2 , f ? x ?min ? ?2 . 则对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

?

?

f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 4

,所以 c ? 4 .


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