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2015北京高三数学海淀西城东城朝阳二模


海淀区高三年级第二学期期末练习



学(理)

2015.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 (1)已知全集 U ? Z ,集合 A ? {1, 2} , A U B ? {1, 2,3, 4} ,那么 (CU A) I B =( (A) ? (B) {x ? Z x ? 3} ) (C) a ? b ? c ) (D) ? sin ? ? ?1 ) (D) b ? a ? c (C) {3, 4} )

(D) {1, 2}

(2)设 a ? 0.23 , b ? log2 0.3, c ? 20.3 ,则( (A) b ? c ? a (B) c ? b ? a

(3)在极坐标系中,过点 (2, ? ) 且平行于极轴的直线的方程是( (A) ? cos? ? 3 (B) ? cos? ? ? 3 (C) ? sin ? ? 1

π 6

(4)已知命题 p , q ,那么“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件 )

(5)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ( ? 为常数)为奇函数,那么 cos ? ? ( (A) ?

2 2

(B) 0

(C)

2 2
y 3

(D)1

(6)已知函数 f ( x) 的部分图象如图所示 .向图中 的矩形区域随机投出 100 粒豆子,记下落入阴 影区域的豆子数.通过 10 次这样的试验, 算得落 入阴影区域的豆子的平均数约为 33,由此可估 计 (

?

1

0

f ( x)dx 的值约为
O 1 x



第 1 页 共 50 页

99 100 9 (C) 10
(A)

3 10 10 (D) 11
(B)

(7)已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 1)3 e x?1 .那么函数 f ( x ) 的极值 点的个数是( (A)5 ) (B)4 (C)3 (D)2

(8)若空间中有 n(n ? 5) 个点,满足任意四个点都不共面,且任意两点的连线都与其它任意三点 确定的平面垂直,则这样的 n 值( (A)不存在 ) (C)等于 5 (D)最大值为 8

(B)有无数个

第 2 页 共 50 页

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ( 9 ) 若 等 比 数 列 {an } 满 足 a2 a6 ? 64 , a3a4 ? 32 , 则 公 比 q ? _____ ;
2 a12 ? a2 ? 2 ? an ?


C O E A D B

( 10 ) 如 图 , 在 ?ACB 中 , ?ACB ? 120? , AC ? BC ? 3 , 点 O 在 BC 边上, 且圆 O 与 AB 相切于 点 D , BC 与 圆 O 相 交 于 点 E , C , 则 ? E D B = , BE = .

(11)右图表示的是求首项为 ?41 ,公差为 2 的等差数列 {an } 前 n 项 和的最小值的程序框图.①处可填写_____;②处可填写 .

(12)若双曲线 M 上存在四个点 A, B, C , D ,使得四边形 ABCD 是正 方形,则双曲线 M 的离心率的取值范围是 . (13)用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色 .若要求 每个小方格涂一种颜色, 且涂成红色的方格数为偶数 , 则不同的涂色方 .. 案种数是 .(用数字作答)

( 14 ) 设 关 于 x, y 的 不 等 式 组 ?

?3x ? 4 ? 0, 表示的平面区域为 D ,已知点 x ? y ? 6)? 0 ?( y ? 1)(3
.

O( 0, 0), A (1, 0) ,点 M 是 D 上的动点. OA ? OM ? ? OM ,则 ? 的取值范围是
三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, c ? 5 , b ? 2 6 , a ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求证: ?B ? 2?A .

3 6 cos A . 2

(16) (本小题满分 13 分) 某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽取男、女生各 20 名进行测 试,记录的数据如下: 男生投掷距离(单位:米) 女生投掷距离(单位:米)

第 3 页 共 50 页

9 7 7 8 7 6 6 6 8 5 5 3 0 7 3 1 1 2 2 0

5. 6. 7. 8. 9. 10.

4 6 4 5 5 6 6 6 9 0 0 2 4 4 5 5 5 5 8 1

已知该项目评分标准为: 男 生 ? 投 掷 距 离 (米) 女 生 ? 投 掷 距 离 (米) 个 人 ? 得 分 (分)

[5.4, 6.0) [6.0, 6.6) [6.6, 7.4) [7.4, 7.8) [7.8,8.6) [8.6,10.0) [10.0, ??)

[5.1,5.4) [5.4,5.6) [5.6, 6.4) [6.4, 6.8) [6.8, 7.2) [7.2, 7.6)

[7.6, ??)
~

4

5

6

7

8

9

10

注:满分 10 分,且得 9 分以上(含 9 分)定为“优秀”. (Ⅰ)求上述 20 名女生得分 的中位数和众数; .. (Ⅱ)从上述 20 名男生中,随机抽取 2 名,求抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列; (Ⅲ)根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况 . (写出两个结论即可) (17) (本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD ,

AB ? AD , AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 , M 是棱 PB 上一点.
(Ⅰ)若 BM ? 2MP ,求证: PD / / 平面 MAC ; (Ⅱ)若平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面

P M

ABCD ,求证: PA ? 平面 ABCD ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角 B ? AC ? M 的 余弦值为
A B

2 PM ,求 的值. 3 PB

D

C

第 4 页 共 50 页

(18) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的零点及单调区间; (Ⅱ)求证:曲线 y ?

ln x 存在斜率为 6 的切线,且切点的纵坐标 y0 ? ?1 . x

(19) (本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4 ,以椭圆 C 的短 a b
轴为直径的圆 O 经过这两个焦点,点 A , B 分别是椭圆 C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆 O 和椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P , Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上的动点( P , Q 位于 y 轴两侧) ,且直线 PQ 与 x 轴平行,直线 AP , BP 分别与 y 轴交于点 M , N .求证:∠ MQN 为定值. (20) (本小题满分 14 分) 对于数列 A : a1 , a2 ,L , an ,经过变换 T : 交换 A 中某相邻两段的位置(数列 A 中的一项或连 续的几项称为一段) ,得到数列 T ( A) .例如,数列 A :

a1 , ???, ai , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ? p ? q ?1 , L , an ( p ? 1 , q ? 1 ) 1444 42 4444 3 1444442 444443
M N

经交换 M , N 两段位置,变换为数列 T ( A) :

a1 , ???, ai , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ? q ?1 , L , an . 1444442 444443 1444 42 4444 3
N M

设 A0 是有穷数列,令 Ak ?1 ? T ( Ak )(k ? 0,1, 2,L ) . (Ⅰ)如果数列 A0 为 3, 2,1 ,且 A2 为 1, 2,3 . 写出数列 A1 ; (写出一个即可) (Ⅱ) 如果数列 A0 为 9,8, 7, 6,5, 4,3, 2,1, A1 为 5, 4,9,8, 7, 6,3, 2,1,A2 为 5, 6,3, 4,9,8, 7, 2,1, (写出一组即可) A5 为 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 .写出数列 A3 , A4 ; (Ⅲ)如果数列 A0 为等差数列: 2015, 2014, L ,1, An 为等差数列:1, 2,L , 2015 ,求 n 的 最小值.

海淀区高三年级第二学期期末练习

第 5 页 共 50 页

数学(理)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)D (7)C

2015.5

(4)A (8)C

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分)

4n ? 1 (9)2, 3
(12) ( 2, ??)

(10)30 ? ,1

(11) a ? 0 , a ? a ? 2

(13)14

(14) (

10 ,1] 10

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 a ?

3 6 cos A , 2
??????3 分

3 6 b2 ? c 2 ? a 2 所以 a ? . ? 2 2bc
因为 c ? 5 , b ? 2 6 ,
2 所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 .

解得: a ? 3 ,或 a ? ?

49 (舍). 3

??????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: cos A ?

2 6 . ?3 ? 3 3 6
1 . 3
?????? 9

2 所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?

分 因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 3

??????11 分 ??????12 分

所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a , 所以 A ? (0, ) .

? 3

第 6 页 共 50 页

因为 B ? (0, ?) , 所以 ?B ? 2?A . 分 ?????? 13

另解:因为 A ? (0, ?) ,

所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

3 . 3

由正弦定理得:

2 6 3 ? . sin B 3 3

所以 sin B ?

2 2 . 3 3 6 2 2 ? ? ? sin B . 3 3 3
? 2
??????12 分

所以 sin 2 A ? 2 ? 因为 c ? b ? a ,

? 3 所以 ?B ? 2?A .
分 (16) (共 13 分)

所以 A ? (0, ) , B ? (0, ) . ?????? 13

解: (Ⅰ)20 名女生掷实心球得分如下: 5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10. 所以中位数为 8,众数为 9. ??????3 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2. ??????4 分

P ? X ? 0? ?

1 1 2 C12 C8 C82 14 C12 33 48 ; ; ; ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C20 95 C20 95 C20 95

所以抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列为:

X
P
分 (Ⅲ) 略.

0

1

2

33 95

48 95

14 95
? ? ? ? ? ? 10 ??????13 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情 况进行合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况
第 7 页 共 50 页

对学生今后在该项目的训练提出合理建议.

P M

(17) (共 14 分) (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OM . 因为 AB / / CD , AB ? 2CD , 所以 因为 所以 所以 所以 因为 所以 分

BO AB ? ? 2. DO CD BM ? 2 MP , BM ? 2. PM BM BO ? . PM DO OM / / PD . ??????2 分 OM ? 平面 MAC , PD ? 平面 MAC , PD / / 平面 MAC .

A O D C

B

?????? 4

(Ⅱ) 证明: 因为 平面 PAD ? 平面 ABCD ,AD ? AB , 平面 PAD

平面 ABCD ? AD , ??????6 分 ??????7 分

AB ? 平面 ABCD , 所以 AB ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 AB ? PA . 同理可证: AD ? PA . 因为 AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , AD 所以 PA ? 平面 ABCD .


AB ? A ,
?????? 9
z P

(Ⅲ) 解: 分别以边 AD, AB, AP 所在直线为 x, y, z 轴, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 . 由

M

AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 得 A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0) ,

uuu r C (2,1, 0) , D(2,0,0) , P(0, 0, 2) , 则 AC ? 0 1 , 2 ) ( , uur PB ? (0,2, ?2) .
由(Ⅱ)得: PA ? 平面 ABCD .

A

B y C


D x

所以 平面 ABCD 的一个法向量为 n ? (0,0,1) . 设

r

??????10 分

uuur uu u r uur uuu r uur PM ? ? (0 ? ? ? 1) ,即 PM ? ? PB .所以 AM ? AP ? ? PB ? (0,2?,2 ? 2?) . PB
第 8 页 共 50 页

设平面 AMC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则

u r

u r uuu r ? ?m ? AC ? 0, ?2 x ? y ? 0, 即? r uuur ?u ?2? ? y ? (2 ? 2? ) ? z ? 0. m ? AM ? 0, ? ?
令 x ? ? ? 1 ,则 y ? 2 ? 2? , z ? ?2? . 所以 m ? (? ?1, 2 ? 2?, ?2?) . 分 因为 二面角 B ? AC ? M 的余弦值为 所以

u r

??????12

2 , 3

| 2? | 9? ? 10? ? 5
2

?

1 2 ,解得 ? ? . 2 3
??????14 分

所以

PM 1 的值为 . 2 PB

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)令 f ( x) ? 0 ,得 x ? e . 故 f ( x ) 的零点为 e . ??????1 分

1 (? ) ? x 2 ? (1 ? ln x) ? 2 x 2 ln x ? 3 f '( x) ? x ? ( x ? 0 ). 2 2 (x ) x3
令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:
3 2

??????3 分

f ( x) f '( x) f ( x)

3

(0, e 2 )

e

3 2

(e 2 , ??)

3

?

3

0

?

3

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, e 2 ) , 单调递增区间为 (e 2 , ??) .

??????6 分

1 ? x ? 1? ln x ln x 1 ? ln x x g ( x ) ? (Ⅱ) 令 .则 g '( x) ? ??????7 分 ? ? f ( x) . 2 x x x2 1 1 因为 f ( ) ? 4 ? 4 ln 2 ? 4 ? 4 ? ? 6 , f (e) ? 0 ,且由(Ⅰ)得, f ( x ) 在 (0, e) 2 2
第 9 页 共 50 页

内是减函数, 所以 存在唯一的 x0 ? ( , e) ,使得 g '( x0 ) ? f ( x0 ) ? 6 . 当 x ? [e, ??) 时, f ( x) ? 0 . 所以 曲线 y ? 分 由 g '( x0 ) ?

1 2

ln x 存在以 ( x0 , g ( x0 )) 为切点,斜率为 6 的切线. ??????10 x

1 ? ln x0 2 . ? 6 得: ln x0 ? 1 ? 6x0 2 x0
2 ln x0 1 ? 6 x0 1 ? ? ? 6 x0 . x0 x0 x0

所以 g ( x0 ) ? 因为 x0 ? 所以

1 , 2

1 ? 2 , ?6 x0 ? ?3 . x0
?????? 13

所以 y0 ? g ( x0 ) ? ?1 . 分

(19) (共 14 分)

?2a ? 4, ? 解: ( Ⅰ ) 依 题 意 得 ? c ? b, 解得: a ? 2 , ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?

y N P Q A M O B x

b?c? 2.

??????3 分

所以圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 ,椭圆 C 的方

x2 y 2 ? ? 1 . ??????5 分 程为 4 2
(Ⅱ)解法一:如图所示,设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0 ) ,

Qx ( Q , y ) 0 ,则

第 10 页 共 50 页

2 2 ? x0 y0 2 2 ? 1, ? ? ? ? x0 ? 4 ? 2 y0 , 2 即? 2 ?4 2 xQ ? 2 ? y0 . ? x 2 ? y 2 ? 2, ? ? 0 ? Q

??????7 分 又由 AP : y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) 得 M (0, ). x0 ? 2 x0 ? 2 y0 2 y0 ( x ? 2) 得 N (0, ? ). x0 ? 2 x0 ? 2
??????10 分
y N P

由 BP : y ?




Q A M O B x

uuur 2 y0 xy QM ? ( ? xQ , ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) , x0 ? 2 x0 ? 2 uuu r 2 y0 xy QN ? ( ? xQ , ? ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) x0 ? 2 x0 ? 2
.
2 所以 QM ? QN ? xQ ?

uuur uuu r

2 2 2 2 x0 y0 (4 ? 2 y0 ) y0 2 ? 2 ? y ? ? 0. 0 2 2 x0 ?4 ?2 y0

所以 QM ? QN , 即 ?MQN ? 90? .

??????14 分

(Ⅱ)解法二:如图所示,设 P( x0 , y0 ) , AP : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ).

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 . 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
所以 ?2 x0 ?

8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 x ? ,即 . 0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

所以 y0 ?

2 ? 4k 2 4k 4k P ( , 2 ). ,即 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

4k 2 1 ?? 1 . 所以 直线 BP 的斜率为 2k ? 2 2 ? 4k 2k ?2 2 2k ? 1 1 ( x ? 2) . 所以 BP : y ? ? 2k
第 11 页 共 50 页

令 x ? 0 得: M (0, 2k ) , N (0, ) .

设 Q( xQ , y0 ) ,则 QM ? (? xQ , 2k ? y0 ) , QN ? ( ? xQ ,

uuur

1 k

??????10 分

uuu r

1 ? y0 ) . k

所以 QM ? QN ? xQ ? (2k ? y0 )( ? y0 ) ? xQ ? y0 ? 2 ?
2 2 2
2 2 因为 xQ ? y0 ? 2, y0 ?

uuur uuu r

1 k

2k 2 ? 1 ? y0 . k

所以 QM ? QN ? 0 . 所以 QM ? QN , 即 ?MQN ? 90? . ??????14 分

uuur uuu r

4k , 2k 2 ? 1

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ) A1 : 2,1,3 或 A1 :1,3, 2 . 分 . (Ⅱ) A3 : 5,6,7, 2,3, 4,9,8,1 ; ??????4 分 ??????6 分 ??????2

A4 : 5,6,7,8,1, 2,3, 4,9 .

(Ⅲ) 考虑数列 A : a1 , a2 ,L , an , 满足 ai ? ai ?1 的数对 ai , ai ?1 的个数, 我们称之为 “顺序数” . 则 等差数列 A0 :2015, 2004, L ,1的顺序数为 0 , 等差数列 An : 1, 2,L , 2015 的顺序数为 2014 . 首先,证明对于一个数列,经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2.实际上,考虑对 数列 L , p, a,L , b, c,L , d , q,L ,交换其相邻两段 a, L , b 和 c, L , d 的位置,变换为数列

L , p, c,L , d , a,L , b, q,L .
显然至多有三个数对位置变化.假设三个数对的元素都改变顺序,使得相应的顺序数增 加,即由 p ? a, b ? c, d ? q 变为 p ? c, d ? a, b ? q . 分别将三个不等式相加得 p ? b ? d ? a ? c ? q 与 p ? b ? d ? a ? c ? q ,矛盾. 所以 经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2. 其次,第一次和最后一次变换,顺序数均改变 1.设 n 的最小值为 x ,则

2 ? 2 ? x ? 2? ? 2014 ,即 x ? 1008 .
第 12 页 共 50 页

??????10

分 最后,说明可以按下列步骤,使得数列 A1008 为 1, 2,L , 2015 . 对数列 A0 : 2015, 2014, L ,1, 第 1 次交换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009 位置上的两段,得到数列 A1 :

1008,1007, 2015, 2014,L ,1010,1009,1006,1005,L , 2,1 ;
第 2 次交换 2,3, L ,1008 和 1009,1010 位置上的两段,得到数列 A2 :

1008,1009,1006,1007, 2015, 2014,L ,1011,1010,1005,1004,L , 2,1 ;
第 3 次交换 3, 4, L ,1009 和 1010,1011位置上的两段,得到数列 A3 :

1008,1009,1010,1005,1006,1007, 2015, 2014, L ,1012,1011,1004,1003,L , 2,1 ;
L L ,以此类推
第 1007 次交换 1007,1008,L , 2013 和 2014, 2015 位置上的两段,得到数列 A1007 :

1008,1009,L , 2013, 2014,1, 2,L ,1006,1007, 2015 ;
最 终 再 交 换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009,L , 2014 位 置 上 的 两 段 , 即 得 A1008 :

1, 2,L , 2015 .
所以 n 的最小值为 1008. ??????13 分

北京市西城区 2015 年高三二模试卷


合题目要求的一项.

学(理科)
共 40 分)

2015.5

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符

1.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} ,集合 B ? {x | x≤3} ,则 A (A) (?1,3) (B) (1,3]

B?(

) (D) [?1,3]

(C) [1,3)

2. 已知平面向量 a, b, c 满足 a ? (?1,1) ,b ? (2,3) ,c ? (?2, k ) , 若 (a ? b)//c , 则实数 k =(



第 13 页 共 50 页

(A) 4 (C) 8 3. 设命题 p : 函数 f ( x) ? e 下列命题中真命题是( (A) p ? q (C) (?p) ? (?q)
x ?1

(B) ?4 (D) ?8 在 R 上为增函数; 命题 q : 函数 f ( x) ? cos( x ? π) 为奇函数. 则 ) (B) (?p) ? q (D) p ? (?q )

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ?{1, 2,3} , 则输出的 s 属于( (A) {1, 2} (B) {1, 3} (C) {2, 3} (D) {1, 3, 9} )

5. 某生产厂商更新设备,已知在未来 x 年内,此设备所花费的各种费用总和 y(万元)与 x 满足函数关系 y ? 4 x 2 ? 64 ,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限 x 为( (A) 3 (C) 5 ) (B) 4 (D) 6

6.数列 {an } 为等差数列,满足 a2 ? a4 ? (A)

? a20 ? 10 ,则数列 {an } 前 21 项的和等于(
(B) 21 (D) 84



21 2

(C) 42

第 14 页 共 50 页

7. 若 “ x ?1” 是 “不等式 2 x ? a ? x 成立” 的必要而不充分条件, 则实数 a 的取值范围是 ( (A) a ? 3 (C) a ? 4 (B) a ? 3 (D) a ? 4



8. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AB =

2, BC = AA1 = 1 ,点 M 为 AB1 的中点,点 P 为

对角线 AC1 上的动点,点 Q 为底面 ABCD 上的动点(点 P ,Q 可以重合) ,则 MP + PQ 的 最小值为( )

(A) (C)

2 2
3 4

(B)

3 2

(D) 1

第Ⅱ卷(非选择题
10i ? ____. 3?i

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数

10.双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为____;渐近线的方程为____. 8 4

11.已知角 ? 的终边经过点 (?3, 4) ,则 cos? ? ____; cos 2? ? ____. 12.如图, P 为 O 外一点, PA 是切线, A 为切点,割线 PBC 与 O 相交于点 B , C ,且

PC ? 2PA , D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 O 于点 E . 若 PB ?

3 4

,则 PA ? ____;

AD ? DE ? _____.
第 15 页 共 50 页

13. 现有 6 人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有 ____种. (用数字作答)

14. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2, O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺时 针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x( x ?[0, π]) , OP 所经过的在正方形
ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x) 有以下三个结论:

π 3; f( )? 3 2 π π π 2 任意 x ? [0, ] ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ? 4 ; ○ 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) π ? 0. 3 任意 x1 , x2 ? ( , π) ,且 x1 ? x2 ,都有 ○ x1 ? x2 2
1 ○ 其中所有正确结论的序号是____.

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在锐角 ?ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 已知 a ? 7 , b ? 3 ,

7 sin B ? sin A ? 2 3 .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据这 10
第 16 页 共 50 页

个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场” . (Ⅰ)当 a=b=3 时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m,乙型号电视机的“星级 卖场”数量为 n,比较 m,n 的大小关系; (Ⅱ)在这 10 个卖场中,随机选取 2 个卖场,记 X 为其中甲型号电视机的“星级卖场” 的个数,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)若 a=1,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时, s 2 达 到最小值. (只需写出结论)

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 , DE ? AB 于点 E,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? DC ,如图 2. (Ⅰ)求 证 : A1E ? 平 面 B C D E ;

? C (Ⅱ)求 二 面 角 E ? A 的余弦值; 1 B
(Ⅲ)判断在线段 EB 上是否存在一点 P,使平面 A1 DP ⊥平面 A1 BC ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.

EP PB

第 17 页 共 50 页

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
1

1? x 1 ? ax 2

,其中 a ? R .

(Ⅰ)当 a ? ? 时,求 f ( x ) 的单调区间;
4

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对于任意的实数 x ,都有 | f ( x) |≤ m 成立.

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 E:

x2 y 2 右焦点, 点 A 为椭圆 E 的左顶点, + ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

点 B 为椭圆 E 的上顶点,且 | AB |? 2 . (Ⅰ)若椭圆 E 的离心率为
6 3

,求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q ,若以 PQ 为 直径的圆经过点 F1 ,证明: | OP |? 2 .

20. (本小题满分 13 分)
? * 无 穷 数 列 P : a1 , a2 ,L , an ,L , 满 足 ai ? N , 且 ai ≤ai ?1 (i ? N ) . 对 于 数 列 P , 记

Tk ( P) = min{n | an≥k} (k ? N* ) ,其中 min{n | an≥k} 表示集合 {n | an≥k} 中最小的数.

(Ⅰ)若数列 P: 1,3, 4,7, L ,写出 T1 ( P), T2 ( P),L , T5 ( P) ; (Ⅱ)若 Tk (P) = 2k - 1 ,求数列 P 前 n 项的和; (Ⅲ)已知 a20 = 46 ,求 s = a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) 的值.

第 18 页 共 50 页

北京市西城区 2015 年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.B 2.D 6.B 3.D 7.A 4.A 8.C

2015.5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 1 ? 3i 11 . ?
3 5

10.

6 2

y??

2 x 2

?

7
25

12.

3 2

9 8

13. 288

14.○ 1 ○ 2

注:第 10,11,12 题第一问 2 分,第二问 3 分;第 14 题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由正弦定理

a sin A

?

b sin B



?????? 2 分

得 分

7 sin A

?

3 sin B

,即 7 sin B ? 3sin A ,

?????? 3

又因为 7 sin B ? sin A ? 2 3 , 解得 sin A ?

3 2



?????? 5 分

因为 ?ABC 为锐角三角形, 所以 A ?

π . 3
b2 ? c2 ? a 2 2bc


?????? 6 分

(Ⅱ)解:在 ?ABC 中,由余弦定理 cos A ?

?????? 8 分



1 2

?

9 ? c2 ? 7 6c

2 ,即 c ? 3c ? 2 ? 0 ,

解得 c ? 1 或 c ? 2 .
第 19 页 共 50 页

?????? 10

分 当 c ? 1 时,因为 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2
2ac

??

7 ? 0, 14
?????? 11 分

所以角 B 为钝角,不符合题意,舍去. 当 c ? 2 时,因为 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2
2ac

?

7 ? 0 ,且 b ? c , b ? a , 14

所以 ?ABC 为锐角三角形,符合题意. 所以 ?ABC 的面积 S ? 1bc sin A? 1?3?2? 3 ? 3 3 . 2 2 2 2 ?????? 13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:根据茎叶图, 得甲组数据的平均数为 乙组数据的平均数为 分 由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数 m ? 5 , 乙型号电视机的“星级卖场”的个数 n ? 5 , 所以 m ? n . (Ⅱ)解:由题意, X 的所有可能取值为 0,1,2, 且 P( X ? 0) ? ?????? 4 分 ?????? 5 分 ?????? 3 分
10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 , ??? 1 分 10

10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? 33 ? 33 ? 43 ? 26.5 . ???? 2 10

0 2 1 2 0 C5 C5 2 C1 C5 C5 2 5 5 C5 ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? ,???? 8 分 , , 2 2 2 C10 9 C10 9 C10 9

所以 X 的分布列为:

X
P

0
2 9

1
5 9

2
2 9

?????? 9 分
2 5 2 所以 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 1. 9 9 9

?????? 10

分 (Ⅲ)解:当 b=0 时, s 2 达到最小值.
第 20 页 共 50 页

??????13



17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 DE ? BE , BE //DC , 所以 DE ? DC , 又因为 A1D ? DC , A1D 所以 DC ? 平面 A1 DE , 分 所以 DC ? A1E . 又 因 为 A1 E ? D E , DC 所 以 A1E ? 平 面 B C D E . ?????? 3 分 ?????? 1 分

DE ? D ,
?????? 2

DE ? D ,
?????? 4 分

(Ⅱ) 解: 因为 A1E ? 平 面 B C D E , 所以 A1E, DE, BE 两两垂直, 以 EB, ED, EA1 DE ? BE , 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系, 易知 DE ? 2 3 , 则 A1 (0, 0, 2) , B (2, 0, 0) , C(4, 2 3, 0) , D(0, 2 3, 0) , 所以 BA1 ? (?2, 0, 2) , BC ? (2, 2 3, 0) . 平面 A1 BE 的一个法向量为 n ? , (0,1, 0) 分 设平面 A1 BC 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 由 BA1 ? m ? 0 , BC ? m ? 0 ,得 ? A1 D E B x ?????? 6 z y C ?????? 5 分

? ??2 x ? 2 z ? 0, ? ?2 x ? 2 3 y ? 0.

令 y ? 1 , 得 m ? (? 3,1, ? 3) . 分 所以 cos ? m, n ??

?????? 8

m?n | m|?| n|

?

7 7

.

由图,得二面角 E ? A1 B ? C 的为钝二面角,
第 21 页 共 50 页

所以二面角 E ? A1 B ? C 的余弦值为 ? 分

7 7

.

?????? 10

(Ⅲ)结论:在线段 EB 上不存在一点 P ,使平面 A1DP ? 平面 A1 BC . 分 解:假设在线段 EB 上存在一点 P ,使平面 A1DP ? 平面 A1 BC .

?????? 11

设 P(t , 0, 0) ( 0≤t≤2 ) , 则 A1P ? (t , 0, ?2) , A 1D ? (0, 2 3, ?2) ,????? 12 分 设平面 A1 DP 的法向量为 p ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

? ?2 3 y1 ? 2 z1 ? 0, 由 A1D ? p ? 0 , A1P ? p ? 0 ,得 ? ? ?tx1 ? 2 z1 ? 0.
令 x1 ? 2 , 得所以 p?(2,

t ,t ) . 3

?????? 13 分

因为平面 A1DP ? 平面 A1 BC , 所以 m ? p ? 0 ,即 2 3 ? 解得 t ? ?3 . 因为 0≤t≤2 , 所以在线段 EB 上不存在点 P ,使得平面 A1DP ? 平面 A1 BC . ?????? 14 分

t 3

? 3t ? 0 ,

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 a ? ?

1 4

时,函数 f ( x) ?

1? x , 1 2 1? x 4
?????? 1 分

其定义域为 {x ? R | x ? ?2}.

求导,得 f ?( x) ?

? x 2 ? 2 x ? 4 ?( x ? 1) 2 ? 3 ? ? 0, 1 2 2 1 2 2 4(1 ? x ) 4(1 ? x ) 4 4

?????? 4 分

所以函数 f ( x) 在区间 (??, ?2) , (?2, 2) ,(2, ??) 上单调递减.

?????? 5 分

第 22 页 共 50 页

(Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x ) ? 求导,得 f ?( x) ?

1? x 的定义域为 R . 1 ? ax 2
, ?????? 6 分

ax 2 ? 2ax ? 1 (1 ? ax 2 ) 2

令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x1 ? 1 ? 1 ?

1 a

? 0 , x2 ? 1 ? 1 ?

1 a

?1,

?????? 7 分

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ??)
+ ↗ ? ? ? ? ? ? 10

?


分 所以函数 f ( x) 在 (??, x1 ) , ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减. 又因为 f (1) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ?

1? x 1 ? ax
2

? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ?

1? x 1 ? ax 2

?0,

所以当 x≤1 时, 0≤f ( x)≤f ( x1 ) ;当 x ? 1 时, f ( x2 )≤f ( x) ? 0 . ?????? 12 分 记 M ? max{ | f ( x1 ) |, | f ( x2 ) | } ,其中 max{ | f ( x1 ) |, | f ( x2 ) | } 为两数 | f ( x1 ) | ,

| f ( x2 ) 中最大的数, |
综上,当 a ? 0 时,存在实数 m ? [ M , ??) ,使得对任意的实数 x ,不等式 | f ( x) | ≤m 恒 成立. ?????? 13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 c ? a2 ? b2 , 由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,且
c 6 ? , a 3

?????? 2 分 ?????? 4 分 ?????? 5

解得 a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 . 所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3
第 23 页 共 50 页

分 (Ⅱ)解:由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ?1, a2 4 ? a2

则 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) , c ? a2 ? b2 ? 2a2 ? 4 . 设 P( x0 , y0 ) , 由题意,知 x0 ? c ,则直线 F1 P 的斜率 k F P ? 1

y0 , x0 ? c

?????? 6 分

直线 F2 P 的斜率 k F2 P ?

y0 , x0 ? c
y0 ( x ? c) , x0 ? c

所以直线 F2 P 的方程为 y ?

当 x ? 0 时, y ?

? y0c ? y0c ), ,即点 Q(0, x0 ? c x0 ? c
y0 , c ? x0
?????? 8 分

所以直线 F1Q 的斜率为 k F Q ? 1

因为以 PQ 为直径的圆经过点 F1 , 所以 PF1 ? F1Q . 所以 kF1P ? kF1Q ? 分
2 2 化简,得 y0 ? x0 ? (2a2 ? 4) ,

y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? c c ? x0

?????? 10

1 ○

又因为 P 为椭 圆 E 上一点,且在第一象限内, 所以
2 2 x0 y0 ? ? 1 , x0 ? 0 , y0 ? 0 , a2 4 ? a2

2 ○

1 ○ 2 ,解得 x0 ? 由○ 分

1 2 a2 , y0 ? 2 ? a , 2 2

?????? 12

2 2 2 所以 | OP | ? x0 ? y0 ?

1 2 (a ? 2) 2 ? 2 , 2

?????? 13 分

因为 a 2 ? b2 ? 4 ? 2a 2 ,所以 a 2 ? 2 ,

第 24 页 共 50 页

所以 | OP |? 2 . 分

?????? 14

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: T1 ( P) = 1 , T2 ( P) = 2 , T3 ( P) = 2 , T4 ( P) = 3 , T5 ( P) = 4 . (Ⅱ)解:由题意, T1 ( P) = 1 , T2 ( P) = 3 , T3 ( P) = 5 , T4 ( P) = 7 , L 因为 T2 ( P) = 3 ,且 Tk ( P) = min{n | an≥k} , 所以 a3≥2 , 且 a2 ? 2 . 同理,由 T3 ( P) = 5 ,且 Tk ( P) = min{n | an≥k} , 得 a5≥3 ,且 a4 ? 3 . 以此类推,得 a7≥4 , a6 ? 4 ; L ; a2n?1≥n , a2 n?2 ? n ; L
? * 因为 ai ≤ai ?1 (i ? N ) , ai ? N ,

?????? 3 分

?????? 4 分

所以 a1 = a2 = 1 , a3 = a4 = 2 , L , a2n?1 ? a2n ? n , L 分 当 n 为奇数时, a1 + a2 + L + an = 2(1 + 2 + L +

?????? 6

n- 1 n+ 1 )+ 2 2
?????? 7 分

=

( n + 1) 2 . 4
n ) 2

当 n 为偶数时, a1 + a2 + L + an = 2(1 + 2 + L +

=

n 2 + 2n . 4

? (n ? 1)2 ? 4 , n为奇数, 所以数列 {an } 前 n 项的和 Sn ? ? ? 2 ? n ? 2n , n为偶数. ? ? 4

?????? 8 分

(Ⅲ)解法一:考察符合条件的数列 P 中,若存在某个 i (1≤i≤19) 满足 ai < ai+ 1 ,对应可得
Tk ( P) ,及 s = a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) .

因为 Tk ( P) = min{n | an≥k} ,所以 Tai + 1 ( P) = i + 1 .
第 25 页 共 50 页

?????? 9 分

下面将数列 P 略作调整,仅将第 ai 的值增加 1,具体如下: 设 ai?= ai + 1,对于任何 j ( j ? i) 令 a? ,可得数列 P ?及其对应数列 Tk ( P? ), j = aj 根据数列 Tk ( P? ) 的定义,可得 Tai + 1 ( P? ) = Tj ( P) ( j ? ai ) = i ,且 Tj ( P? 显然 Ta + 1 ( P? ) = Tai + 1 (P) - 1 . i 分

1) .

?????? 10

ⅱ 所以 sⅱ = a1 + a2 + L + a20 + T1 (Pⅱ ) + T2 (P ) + L + T46 (P ) = a1 + a2 + L + ai- 1 + (ai + 1) + ai+ 1 + L + a20
+ T1 (P) + T2 (P) + L + (Tai + 1 - 1) + Tai + 2 + L + T46 (P)

= a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) = s .
即调整后的 s ?= s ,

? 如果数列 {an } 还有存在相邻两项不相等,继续做以上的操作,
最终一定可以经过有限次的操作,使得 {an } 中的每一项变为相等,且操作中保持 s 的 不变, ?????? 12 分

而当 a1 = a2 = L = a20 = 46 时, T1 ( P) = T2 ( P) = L = T46 ( P) = 1 , 所以 s = a1 + a2 + L + a20 + T1 ( P) + T2 ( P) + L + T46 ( P) = 966 . ? ? ? ? ? 13 分 解法二:将问题一般化,下面求 s ? a1 ? a2 ? 当 n ? 1 时, T1 ( P) ? 1, T2 ( P) ? 1, 当 n ? 2 时, T1 ( P) ? 1, T2 ( P) ? 1,

? an ? T1 (P) ? T2 (P) ?

? Tan (P) .

?????? 9 分 , Ta1 (P) ? 1,故 s ? a1 ? a1 ? 1 ? 2a 1 .

, Ta1 (P) ? 1, Ta1 ?1 ( P) ? 2, Ta1 ? 2 (P) ? 2,

, Ta2 (P) ? 2 ,
?????? 10

故 s ? a1 ? a2 ? a1 ? 1 ? (a2 ? a1 ) ? 2 ? 3a2 . 分 猜想 s ? (n ? 1)an . 下面用数学归纳法证明:
第 26 页 共 50 页

(1)当 n ? 1 时,由以上叙述可知,命题成立. (2)假设当 n ? k 时,命题成立,即 s ? (k ? 1)ak . 当 n ? k ? 1 时, 若 ak ?1 ? ak ,则

s ? a1 ? a2 ?

? ak ? ak ?1 ? T1 (P) ? T2 (P) ?

? Tak (P)
?????? 11

? (k ? 1)ak ? ak ?1 ? (k ? 2)ak ?1 ,命题成立.

分 若 ak ?1 ? ak ,则

s ? a1 ? a2 ?

? ak ? ak ?1 ? T1 (P) ? T2 (P) ?

? Tak (P) ? Tak ?1 (P) ? Tak ?2 (P) ?

? Tak ?1 (P)

? a1 ? a2 ?

? ak ? ak ?1 ? T1 (P) ? T2 (P) ?

? Tak (P) ? (k ? 1) ? (k ? 1) ?
共( ak ?1 ? ak ) 个

? (k ? 1)

? (k ? 1)ak ? ak ?1 ? (k ? 1) ? (k ? 1) ?
共( ak ?1 ? ak ) 个

? (k ? 1)

? (k ? 1)ak ? ak ?1 ? (k ? 1)(ak ?1 ? ak ) ? (k ? 2)ak ?1 ,命题成立.

由(1)和(2) ,得 s ? (n ? 1)an (n ? N* ) . 分 所以当 a20 = 46 时, s = (20 + 1)? 46 分

?????? 12

966.

?????? 13

北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学 (理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题
第 27 页 共 50 页

目要求的一项) (1) sin(?

23? )? 6

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2
4
4

(D)

3 2

(2)设 a ? log 4 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ,则 a , b , c 的大小关系是 (A) a ? c ? b (C) c ? b ? a (B) b ? c ? a (D) c ? a ? b

(3)已知 {an } 为各项都是正数的等比数列,若 a4 ? a8 ? 4 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? (A) 4 (C) 16 (B) 8 (D) 64

(4)甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲、乙两名同学 8 次 数学测验成绩的平均数, s1 , s2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩的标准差, 则有 (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2 (5)已知 p , q 是简单命题,那么“ p ? q 是真命题”是“ ? p 是真命题”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
甲 乙

8 9 4 5 5 6 1 2

7 8 9

7 8 3 5 5 7 2 3

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (6)若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是 ? y ? ?1, ?
(A) [?1,3] (C) [1,3] (B) [1,11] (D) [?1,11]

(7)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 x ? [?3,?1) 时, f ( x) ? ?( x ? 2) 2 , 当 x ? [?1,3) 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? (A) 336 (C) 1676 (B) 355 (D) 2015
第 28 页 共 50 页

? f (2015) ?

(8) 为提高信息在传输中的抗干扰能力, 通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信息.设定原信息为 a0 a1a2 ,其中 ai ?{0,1} ( i ? 0,1, 2 ) ,传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 ,

h0 ? a0 ? a1 , h1 ? h0 ? a2 , ? 运 算 规 则 为 : 0 ? 0 ? 0 , 0 ? 1 ? 1 , 1 ? 0 ? 1 ,
1 ? 1 ? 0 .例如原信息为 111 ,则传输信息为 01111 .传播信息在传输过程中受到干扰
可能导致接收信息出错,则下列信息一定有误的是 (A) 11010 (C) 10111 (B) 01100 (D) 00011

第 29 页 共 50 页

第二部分(非选择题
二、 填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

共 110 分)

n (9)若 ( x ? ) 的二项展开式中各项的二项式系数的和是 64 ,则 n ?

1 x

,展开

式中的常数项为

. (用数字作答) .

(10)已知正数 x, y 满足 x ? y ? xy ,那么 x ? y 的最小值为 (11)若直线 ?

? x ? ?1 ? 2t, ? x ? 4 ? a cos ?, (t 为参数 ) 与曲线 ? (? 为参数, a ? 0 ) 有且只有 ? y ? 3 ? 2t ? y ? a sin ?


一个公共点,则 a ?

x2 y 2 ( 12 )若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 截抛物线 y 2 ? 4 x 的准线所得线段长为 b ,则 a b

a?

. .

(13) 已知非零向量 a , b 满足 | b |? 1 , 则 | a | 的取值范围是 a 与 b ? a 的夹角为120 ,

(14) 如图, 平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O , 对于平面上任意一点 M , 若 p, q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,则称有序非负实数对 ( p, q) 是点 M 的“距离坐标”. 给出下列四个命题:

l2

l1 M(p,q) O

① 若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0, 0) 的点有且仅有1 个. ② 若 pq ? 0 ,且 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且仅有 2 个. ③ 若 pq ? 0 ,则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且仅有 4 个. ④ 若 p ? q ,则点 M 的轨迹是一条过 O 点的直线. 其中所有正确命题的序号为 .

第 30 页 共 50 页

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x . sin x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域及其最大值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间.

(16) (本小题共 13 分) 某校高一年级开设 A , B , C , D , E 五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课 程,其中甲同学必选 A 课程,不选 B 课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名 同学从五门课程中随机任选三门课程. (Ⅰ)求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率; (Ⅱ)用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和,求 X 的分布列和数学期望.

(17) (本小题共 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? DEF 的侧面 BEFC 是边长为 1 的正方形,侧面 BEFC ? 侧面

ADEB , AB ? 4 , ?DEB ? 60 , G 是 DE 的中点.
(Ⅰ)求证: CE ∥平面 AGF ; (Ⅱ)求证: GB ? 平面 BEFC ; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 ,若存在,求 BP 的长; 若不存在,说明理由.
C F

B

E

G A D

第 31 页 共 50 页

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ? e? x . (Ⅰ)当 a ? e2 时,求 f ( x ) 在区间 [1,3] 上的最小值; (Ⅱ)求证:存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x0 ) ? a .

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 焦点的距离之和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 M ,与 y 轴交于点 N ,过原 点与 l 平行的直线与椭圆交于点 P .证明: | AM | ? | AN |? 2 | OP |2 .

3 ,且椭圆 C 上的点到两个 2

(20) (本小题共 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 a1 ? a(a ? 3) , 设 bn ? S n ? 3n , an?1 ? S n ? 3n ,

n ? N? .
(Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)若 an?1 ? an , n ? N ,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)当 a ? 4 时,给出一个新数列 {en } ,其中 en ? ?
?

?3 , n ? 1, 设这个新数列的前 n 项和 ?bn , n ? 2.

为 C n ,若 C n 可以写成 t p ( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 ) 的形式,则称 C n 为“指数型 和”.问 {Cn } 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不 存在,请说明理由.

北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)D (2)D (6)D (3)B (7)A
第 32 页 共 50 页

(4)B (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 6 (11) 2

15

(10) 4 (12)

2 5 5

(13) (0,

2 3 ] 3

(14) (1) (2) (3)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 ,得 x ? k ?? k ? Z ? . 所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k ?? k ? Z} . ???????2 分 因为 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x , sin x

? 2 cos x ? 2sin x
? ? 2 2 cos( x ? ) , 4
所以 f ( x ) 的最大值为 2 2 . ???????6 分 ???????7 分

(Ⅱ)函数 y ? cos x 的单调递增区间为 [2k ? ? ?? 2k ? ? ??? ( k ? Z ) 由 2k ? ? ? ? x ?

? ? 2k ? ? ?? , x ? k ?? k ? Z ? ,且 x ? (0, ?? , 4

所以 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间为 [ (16) (共 13 分)

3? , ?? . 4

??13 分

解: (Ⅰ)设事件 A 为“甲同学选中 C 课程” ,事件 B 为“乙同学选中 C 课程” . 则 P( A) ?

C1 C2 2 3 2 4 , ? P ( B ) ? ? . 2 3 C3 3 C5 5

因为事件 A 与 B 相互独立, 所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为

2 2 4 P( AB) ? P( A) P( B) ? P( A)[1 ? P( B)] ? ? ? . ???????4 分 3 5 15
(Ⅱ)设事件 C 为“丙同学选中 C 课程” . 则 P(C ) ?

C2 3 4 ? . 3 C5 5

X 的可能取值为: 0,1, 2,3 .
第 33 页 共 50 页

1 2 2 4 P( X ? 0) ? P( ABC ) ? ? ? ? . 3 5 5 75

P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

P( X ? 2) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75
P( X ? 3) ? P( ABC ) ?
X 为分布列为:

2 3 3 18 ? ? ? . 3 5 5 75

X
P

0
4 75

1

2

3
18 75

20 75

33 75

E( X ) ? 0 ?
(17) (共 14 分)

4 20 33 18 140 28 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? .???13 分 75 75 75 75 75 15

(Ⅰ)证明:连接 CD 与 AF 相交于 H ,则 H 为 CD 的中点,连接 HG . 因为 G 为 DE 的中点, 所以 HG ∥ CE . 因为 CE ? 平面 AGF , HG ? 平面 AGF , 所以 CE ∥平面 AGF . ???4 分

(Ⅱ)证明: BE ? 1 , GE ? 2 ,在△ GEB 中, ?GEB ? 60 , BG ? 3 .
2 2 2 因为 BG ? BE ? GE ,

所以 GB ? BE . 因为侧面 BEFC ? 侧面 ADEB , 侧面 BEFC 侧面 ADEB ? BE ,

GB ? 平面 ADEB ,
所以 GB ? 平面 BEFC . ???8 分
F

(Ⅲ)解: BG, BE , BC 两两互相垂直,建立空间直角坐标系 B ? xyz . z
C P H
第 34 页 共 50 页

B E G

y

A

x
D

假设在线段 BC 上存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 . 平面 BGE 的法向量 m ? (0,0,1) ,设 P(0, 0, ? ), ? ?[0,1] .

G( 3,0,0), E (0,1, 0) .
所以 GP ? (? 3,0, ? ) , GE ? (? 3,1,0) . 设平面 PGE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ?

? ?n ? GP ? 0, ? ?n ? GE ? 0.

所以 ?

? ?? 3x ? ? z ? 0, ? ?? 3x ? y ? 0.

令 z ? 1 ,得 y ? ? , x ?

?
3



所以 PGE 的法向量为 n ? ( 因为 m ? n ? 1 , 所以 1?

?
3

, ? ,1) .

?2
3

? ? 2 ?1 ?

2 3 3 . ? ? 0,1? ,故 BP ? ? 1 ,解得 ? ? 2 2 2

因此在线段 BC 上存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 , 且 BP ? (18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? e 时, f ( x) ? x ? e2? x , x ? [1,3] .
2

3 . 2

???14 分

因为 f '( x) ? 1 ? e 2? x , 由 f ?( x) ? 0 , x ? 2 . 则 x , f ?( x ) , f ( x ) 关系如下:

x
f ?( x )

(1,2)
?


2

(2,3)

0
极小值

?


f ( x)

第 35 页 共 50 页

所以当 x ? 2 时, f ( x ) 有最小值为 3 .

???5 分

(Ⅱ) “存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x) ? a ”等价于 f ( x ) 的最大值大于 a . 因为 f '( x) ? 1 ? ae ? x , 所以当 a ? 0 时, x ? [?3,3] , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?3,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 的最大值为 f (3) ? f (0) ? a . 所以当 a ? 0 时命题成立. 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a . 则 x ? R 时, x , f ?( x ) , f ( x ) 关系如下:

x
f ?( x )

(??, ln a)
?


ln a

(ln a,??)

0
极小值

?


f ( x)

(1)当 a ? e3 时 , ln a ? 3 , f ( x) 在 (?3,3) 上单调递减, 所以 f ( x ) 的最大值 f (?3) ? f (0) ? a . 所以当 a ? e 时命题成立.
3

(2)当 e

?3

? a ? e3 时, ? 3 ? ln a ? 3 ,

所以 f ( x) 在 (?3, ln a ) 上单调递减,在 (ln a,3) 上单调递增. 所以 f ( x ) 的最大值为 f (?3) 或 f (3) . 且 f (?3) ? f (0) ? a 与 f (3) ? f (0) ? a 必有一成立, 所以当 e
?3

? a ? e3 时命题成立.

?3 (3) 当 0 ? a ? e 时 , ln a ? ?3 ,

所以 f ( x) 在 (?3,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 的最大值为 f (3) ? f (0) ? a . 所以当 0 ? a ? e 时命题成立. 综上:对任意实数 a 都存在 x ? [?3,3] 使 f ( x) ? a 成立. ??13 分 (19) (共 13 分) 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为
?3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

第 36 页 共 50 页

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 3 ?c 由题意知 ? ? 解得 a ? 2 , b ? 1 . , 2 ?a ?2a ? 4, ?
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????5 分 4

(Ⅱ)设直线 AM 的方程为: y ? k ( x ? 2) ,则 N (0, 2k ) . 由 ?

? y ? k ( x ? 2),
2 2 ? x ? 4 y ? 4,

得 (1+4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 (*) .

设 A(?2, 0) , M ( x1 , y1 ) ,则 ?2 , x1 是方程(*)的两个根, 所以 x1 ? 所以 M (

2 ? 8k 2 . 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
16 ? 16k 2 4 1 ? k 2 2 ? 8k 2 ? 2 ? 8k 2 2 4k 2 ? ? . ) ? ( ) (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

| AM |? (

| AN |? 4 ? 4k 2 ? 2 1 ? k 2 .
| AM || AN |? 4 1 ? k 2 ? 2 1 ? k 2 8(1 ? k 2 ) . ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

设直线 OP 的方程为: y ? kx . 由 ?

? y ? kx, ? x ? 4 y ? 4,
2 2

得 (1 ? 4k ) x ? 4 ? 0 .
2 2

2 设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

4k 2 4 2 y ? , . 0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 | OP | ?
2

4 ? 4k 2 8 ? 8k 2 2 2 | OP | ? , . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

所以 | AM | ? | AN |? 2 | OP | . (20) (共 14 分) 解:(Ⅰ) 因为 bn?1 ? Sn?1 ? 3
n?1

?????13 分

? 2Sn ? 3n ? 3n?1 ? 2bn , n ? N? ,且 a ? 3 ,

所以 {bn } 是首项为 a ? 3 ,公比为 2 等比数列. 所以 bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 . (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1 ,
第 37 页 共 50 页

???4 分

an ? Sn ? Sn?1 , n ? 2, n ? N? .

a, n ?1 ? an ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2 , n ? 2
因为 an?1 ?a n , 所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 . 所以 a 的最小值为 ?9 . (Ⅲ)由(Ⅰ)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ???9 分

? 2n?1 ? 2 n ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1. 由t
p

? 2n ? 1 , t p ? 1 ? 2n , ( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.
p p

① 当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n ,
p p

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数,
p g p h

所以存在正整数 g , h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 , t 2 ? 1 ? 2 ,

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,
相应的 n ? 3 ,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”; ② 当 p 为奇数时, t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
p 2 p ?1

),

2 p ?1 由于 1 ? t ? t ? ? ? t 是 p 个奇数之和,仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数,

所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
2

p ?1

) ? 2 n 不成立,
???14 分

此时没有“指数型和”.

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试(理工类)
2015.5 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? x x 2 ? 1 ,集合 B ? ?x x( x ? 2) ? 0? , 则 A A. ?x 1 ? x ? 2? B.

?

?

B?

?x x ? 2?
第 38 页 共 50 页

C.

?x 0 ? x ? 2?

D.

?x x ? 1,或 x ? 2?

2. 执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值是 开始 S=1,n=1 n=n+3 S=S+n2 S>100?
是 否

输出 n 结束

A. 7

B. 10

C. 66

D. 166

3. 设 i 为虚数单位, m ? R , “复数 m(m - 1) + i 是纯虚数”是“ m = 1 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.已知平面上三点 A, B, C 满足 AB =6 , AC =8 , BC =10 , 则 AB 鬃 BC +BC CA+CA AB = A. 48 5.已知函数 f ( x) ? 2sin( B. - 48 C. 100 D. - 100

uu u r

uuu r

uuu r

uu u r uuu r uuu r uu r uu r uu u r

? ? x ? ) .若对任意的实数 x ,总有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ,则 2 5

x1 ? x2 的最小值是
A. 2 B. 4 C.

π

D. 2 π

x2 y 2 2 6.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 4 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲 a b

第 39 页 共 50 页

线的一个交点为 P .若 PF ?

5 ,则双曲线的渐近线方程为 2
C.

A. y ? ?

1 x 2

B. y ? ?2 x

y ? ? 3x

D. y ? ?

3 x 3

e x - e- x π 7.已知函数 f ( x) = ,x ? R , 若对任意 q ? (0, ] , 都有 f (m sin q) + f (1- m) > 0 2 2
成立,则实数 m 的取值范围是 A.

(0,1)

B.

(0, 2)

C. (-

,1)

D. (-

,1]

8. 如图,将一张边长为 1 的正方形纸 ABCD 折叠,使得点 B 始终落在边 AD 上,则折起的部 分的面积最小值为 A B1(B) D C1(C)

1 A. 4 2 C. 5

3 B. 8 1 D. 2

B

C

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. (1 -

1 4 ) 展开式中含 x- 3 项的系数是 3x

.

10.已知圆 C 的圆心在直线 x ? y ? 0 上, 且和两条直线 x ? y ? 0 和 x ? y ? 12 ? 0 都相切, 则 圆 C 的标准方程是 .

11. 如图,已知圆 B 的半径为 5 , AMN 与 ADC 为圆 B 的两条割线,且割线 AMN 过圆心 B .若 AM = 2 ,

C D A M B N

? CBD

60o ,则 AD =

.

第 40 页 共 50 页

12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为______.

3

3
正视图

3

1

1
侧视图

俯视图

13.已知点 A1 (a1 ,1) , A2 (a2 , 2) ,?, An (an , n) ( n ? N* )都在函数 y = log 1 x 的图象上.
3

则数列 {an }的通项公式为

;设 O 为坐标原点, 点 M n (an ,0) ( n ? N* ) ,则 D OA1M1 , .

D OA2 M 2 ,…, D OAn M n 中,面积的最大值是

14. 设集合 A = (m1 , m2 , m3 ) mi ? 集合 A 中满足条件“ 2 ? m1

{

{ 2, 0, 2}, i = 1, 2,3}, 集合 A 中所有元素的个数为
m2 + m3 5 ”的元素个数为
.



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在梯形 ABCD 中 , AB P CD , CD = 2 ,
D C

? ADC

120o , cos ? CAD

5 7 . 14
A B

(Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求梯形 ABCD 的高.

第 41 页 共 50 页

16. (本小题满分 13 分) 某学科测试中要求考生从 A, B, C 三道题中任选一题作答,考试结束后, 统计数据显示共有 600 名学生参加测试.选择 A, B, C 三题答卷数如下表: 题 答卷数

A
180

B
300

C
120

(Ⅰ)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从 600 份答卷中抽出若 干份答卷,其中从选择 A 题的答卷中抽出了 3 份,则应分别从选择 B, C 题的答卷中抽 出多少份? (Ⅱ)若在(Ⅰ)问中被抽出的答卷中, A, B, C 三题答卷得优的份数都是 2 . 从被抽出的

A, B, C 三题答卷中再各抽出 1 份,求这 3 份答卷恰有 1 份得优的概率;
(Ⅲ)测试后的统计数据显示, B 题的答卷得优的有 100 份,若以频率作为概率,在(Ⅰ) 问中被抽出的选择 B 题作答的答卷中,记其中得优的份数为 X ,求 X 的分布列及其 数学期望 EX .

17. (本小题满分 14 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中,

AB ∥ CD , ?DAB ? 90? , AD ? DC ? AB ? 1 .直

1 2

角梯形 ABEF 可以通过直角梯形 ABCD 以直线 AB 为轴旋转得到,且平面 ABEF ⊥平面

ABCD .
(Ⅰ)求证: FA ? BC ; (Ⅱ)求直线 BD 和平面 BCE 所成角的正弦值;

M ,N 分别为线段 FD, (Ⅲ) 设 H 为 BD 的中点,

F

E

AD 上 的 点 ( 都 不 与 点 D 重 合 ) . 若 直 线 FD ^ 平面 MNH ,求 MH 的长.
第 42 页 共 50 页

A M N D C H

B

18. (本小题满分 13 分) 已知点 M 为椭圆 C : 3x2 ? 4 y 2 ? 12 的右顶点,点 A, B 是椭圆 C 上不同的两点(均异于点

M) ,满足直线 MA 与直线 MB 斜率之积为 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率及焦点坐标; (Ⅱ)试判断直线 AB 是否过定点?若是,求出定点坐标;若否,说明理由.

1 4

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? a)e x , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若在区间 (1, 2) 上存在不相等的实数 m, n ,使 f (m) = f (n) 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,求证: f ( x1 ) f ( x2 ) ? 4e?2 .

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 An : a1 , a2 ,?, an (n 澄2, n

N* ) 是正整数 1,2,3,?, n 的一个全排列 . 若对每个

k ??2,3, , n? ,都有 ak ? ak ?1 ? 2 或 3 ,则称 An 为 H 数列.
(Ⅰ)写出满足 a5 ? 5 的所有 H 数列 A5 ; (Ⅱ)写出一个满足 a5k ? 5k (k ? 1,2,?,403 ) 的 H 数列 A2015 的通项公式; (Ⅲ)在 H 数列 A2015 中,记 bk ? a5k (k ? 1, 2, 证: d ? 5 或 ? 5 .
, 403) .若数列 {bk } 是公差为 d 的等差数列,求

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数学试卷答案(理工类)
2015.5
第 43 页 共 50 页

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 题号 答案 (1) A (2) B (3) B (4) D (5) A (6) C (7) D (8) B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 题号 (9) (10) (11) (12) (13) (14)
n

4 答 案 27

? x ? 3?

2

? ( y ? 3) ? 18
2

2 39
3

骣 1÷ an = ? ÷ ? ? 桫 3÷
;
1 6

27 ; 18

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在 D ACD 中, 因为 cos ? CAD 由正弦定理得,

5 7 ,所以 sin ? CAD 14

21 , 14

AC CD = , sin 行 ADC sin CAD

即 AC =

CD 仔 sin ADC = sin ?CAD

2?

3 2 = 2 7 . ??????????????6 分 21 14

(Ⅱ)在 D ACD 中, 由余弦定理得, AC 2 ? AD2 ? 4 ? 2 ? 2 ? AD cos120 , 整理得 AD2 ? 2 AD ? 24 ? 0 ,解得 AD ? 4 (舍负). 过点 D 作 DE ? AB 于 E ,则 DE 为梯形 ABCD 的高. 因为 AB P CD , ? ADC

120o ,所以 ? BAD
o

60o .

在直角 D ADE 中, DE = AD sin 60 = 2 3 . 即梯形 ABCD 的高为 2 3 . ????????????????????13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可得:

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题 答卷数 抽取的答卷数

A
180 3

B
300 5

C
120 2

应分别从 B, C 题的答卷中抽取 5 份,2 份.???????????????4 分

(Ⅱ)记事件 M :被抽取的 A, B, C 三种答卷中分别再各任取 1 份,这 3 份答卷恰有 1 份得 优,可知只能 C 题答卷为优.

1 3 1 ? ?1 ? .??????????????????8 分 3 5 5 1 (Ⅲ)由题意可知, B 题答卷得优的概率是 .显然被抽取的 B 题的答卷中得优的份数 X 3 1 的可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 ,且 X : B (5, ) . 3 1 2 32 80 1 1 1 2 4 P ( X ? 0) ? C50 ( ) 0 ( )5 ? ; P( X ? 1) ? C5 ( ) ( ) ? ; 3 3 243 3 3 243 1 2 80 40 3 1 3 2 2 P ( X ? 2) ? C52 ( ) 2 ( )3 ? ; P ( X ? 3) ? C5 ( ) ( ) ? ; 3 3 243 3 3 243
依题意 P( M ) ?

1 2 10 1 5 1 5 2 0 P( X ? 4) ? C54 ( ) 4 ( )1 ? ; P ( X ? 5) ? C5 ( ) ( ) ? . 3 3 243 3 3 243
随机变量 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

4

5

32 80 80 40 10 243 243 243 243 243 32 80 80 40 10 1 5 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? . 所以 EX ? 0 ? 243 243 243 243 243 243 3

1 243

??????????????????????13 分

(17) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)由已知得 ?FAB ? 90? ,

N F

E

第 45 页 共 50A页

B H C

M

D

所以 FA ? AB , 因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD , 且平面 ABEF 平面 ABCD ? AB , 所以 FA ? 平面 ABCD , 由于 BC ? 平面 ABCD , 所以 FA ? BC .???????????????????????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 FA ? 平面 ABCD , 所以 FA ? AB, FA ? AD , 由已知 DA ? AB , 所以 AD, AB, AF 两两垂直. 以 A 为原点建立空间直角坐标系 (如图) . z F

E

1 因为 AD ? DC ? AB ? 1 , 2
则 B(0, 2,0), C (1,1,0), D(1,0,0), E(0,1,1) , 所以 BC ? (1, ?1,0), BE ? (0, ?1,1) , 设平面 BCE 的一个法向量为 n = ( x, y,z ) . 所以 ? x

A M N D C H

B y

? ?n ? BC ? 0, ? ? n ? BE ? 0,

即?

? x ? y ? 0, ?? y ? z ? 0.

令 x ? 1 ,则 n = (1,1,1) . 设直线 BD 和平面 BCE 所成角为 ? , 因为 BD ? (1, ?2,0) ,

所以 sin ? ? cos? n, BD? ?

n ? BD n ? BD

?

1 15 ? . 3 ? 5 15
15 .????????????9 分 15

所以直线 BD 和平面 BCE 所成角的正弦值为 (Ⅲ)在 A 为原点的空间直角坐标系 A - xyz 中,

1 A(0, 0, 0) , D(1, 0, 0) , F (0, 0,1) , B(0, 2, 0) , H ( ,1, 0) . 2 DM = k (0 < k 1) , 设 DF
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即 DM = k DF .

uuu u r

uuu r

uuuu r DM = (- k , 0, k ) ,则 M (1- k ,0, k ) ,

uuu r uuur 1 MH = (k - ,1, - k ) , FD = (1,0, - 1) . 2 若 FD ^ 平面 MNH ,则 FD ^ MH . uuu r uuur 即 FD ?MH 0 .
k1 1 + k = 0 ,解得 k = . 2 4

则 MH = (-

uuur

1 1 uuur 3 2 ,1, - ) , MH = .???????????????????14 分 4 4 4

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程可化为 故离心率为
x2 y 2 ? ? 1 ,则 a ? 2 , b ? 3 , c ? 1 . 4 3

1 ,焦点坐标为 (?1, 0), (1, 0) . ??????????????4 分 2

(Ⅱ) 由题意, 直线 AB 斜率存在.可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m .
? y ? kx ? m, 由? 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 . 2 ?3x ? 4 y ? 12

判别式 D =64k 2 m2 - 4(3 + 4k 2 )(4m2 - 12) = 48(4k 2 - m2 + 3) > 0 .
?8km 4m2 ? 12 , 2 , x1 x2 ? 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 因为直线 MA 与直线 MB 斜率之积为 , 4 y1 y2 1 ? ? , 所以 x1 ? 2 x2 ? 2 4

所以 x1 ? x2 ?

所以 4(kx1 ? m)(kx2 ? m) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) . 化简得 (4k 2 ? 1) x1 x2 ? (4km ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4m2 ? 4 ? 0 ,
4m2 ? 12 (?8km) ? (4km ? 2) ? 4m2 ? 4 ? 0 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 化简得 m2 ? 2km ? 8k 2 ? 0 ,即 m ? 4k 或 m ? ?2k . 当 m ? 4k 时,直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 4) ,过定点 (?4,0) .

所以 (4k 2 ? 1)

m ? 4k 代入判别式大于零中,解得 -

1 1 < k< . 2 2

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当 m ? ?2k 时,直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 2) ,过定点 M (2, 0) ,不符合题意舍去. 故直线 AB 过定点 (?4,0) .?????????????????????13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x2e x , f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x) . 由 ex ( x2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 0 , x ? ?2 . 当 x ? (??, ?2) 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x ? (?2, 0) 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减; 当 x ? (0, ??) 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. 所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?2) , (0, ??) ,单调减区间为 (?2, 0) .????4 分 (Ⅱ)依题意即求使函数 f ( x) ? e x ( x2 ? a) 在 (1, 2) 上不为单调函数的 a 的取值范围.

f ?( x) ? ex ( x2 ? 2x ? a) .设 g ( x) ? x2 ? 2x ? a ,则 g (1) = 3 - a , g (2) = 8 - a .
因为函数 g ( x) 在 (1, 2) 上为增函数, 当? í

ì ? g (1) = 3 - a < 0 ,即当 3 < a < 8 时,函数 g ( x) 在 (1, 2) 上有且只有一个零点,设为 ? ? ? g (2) = 8 - a > 0

x0 .

( x) < 0 , f ( x) 为减函数; 当 x ? (1, x0 ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ? ( x) > 0 , f ( x) 为增函数,满足在 (1, 2) 上不为单调函 当 x ? ( x0 , 2) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?
数. 当 a ? 3 时, g (1) ? 0 , g (2) > 0 ,所以在 (1, 2) 上 g ( x) > 0 成立(因 g ( x) 在 (1, 2) 上 为增函数) ,所以在 (1, 2) 上 f ?( x) ? 0 成立,即 f ( x ) 在 (1, 2) 上为增函数,不合题意. 同理 a ? 8 时,可判断 f ( x ) 在 (1, 2) 上为减函数,不合题意. 综上 3 < a < 8 . (Ⅲ) f ?( x) ? e ( x ? 2 x ? a) .
x 2

??????????????????????9 分

( x) 有 两 个 不 同 的 零 点 , 即 方 程 因 为 函 数 f ( x) 有 两 个 不 同 的 极 值 点 , 即 f ?
x 2 + 2 x - a = 0 的判别式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? ?1 .
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由 x2 ? 2 x ? a ? 0 ,解得 x1 ? ?1 ? a ? 1, x2 ? ?1 ? a ? 1 . 此时 x1 ? x2 ? ?2 , x1 x2 ? ?a . 随着 x 变化时,

f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:
x1
0
极大值

x
f ?( x )
f ( x)

(?? , x1 )
+ ↗

( x1 , x2 )
- ↘

x2
0 极小值

( x2 , ??)
+ ↗

所以 x1 是函数

f ( x) 的极大值点, x2 是函数 f ( x) 的极小值点.

所以 f ( x1 ) 为极大值, f ( x2 ) 为极小值.
2 2 所以 f ( x1 ) f ( x2 ) ? ex1 ( x1 ? a) ? ex2 ( x2 ? a)
2 2 =e x1 ? x2 [ x12 x2 ? a( x12 ? x2 ) ? a2 ]

2 =e x1 ? x2 ? x12 x2 ? a[( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ] ? a 2 ?

=e?2 [a 2 ? a(4 ? 2a) ? a2 ] = ? 4ae?2 .
因为 a ? ?1 ,所以 ?4ae?2 ? 4e?2 . 所以 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 4e?2 .???????????????????????? 14 分 (20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)满足条件的数列有两个:3,1,4,2,5;与 2,4,1,3,5.?? 3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 A5 :2,4,1,3,5 满足 a5 ? 5 ,把其各项分别加 5 后,所得各数依 次排在后,因为 | a6 ? a5 |? 2 ,所得数列 A10 显然满足 ak ? ak ?1 ? 2 或 3 , k ??2,3,

,10? ,

即得 H 数列 A10 :2,4,1,3,5,7,9,6,8,10.其中 a5 ? 5, a10 ? 10 .如此下去,即

) 的 H 数列 A2015 为 可得一个满足 a5k ? 5k (k ? 1,2,?,403
?n ? 1, n ? 5k ? 4 ? ?n ? 2, n ? 5k ? 3 a n ? ?n ? 2, n ? 5k ? 2 , (其中 k ? 1,2,3,?,403 ) n ? 1 , n ? 5 k ? 1 ? ? ?n, n ? 5k

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?n ? 2, n ? 5k ? 4 ? ?n ? 1, n ? 5k ? 3 a ? )) (写出此通项也可以: n ?n ? 1, n ? 5k ? 2 (其中 k ? 1,2,3,?,403 ?n ? 2, n ? 5k ? 1 ? ?n, n ? 5k

?? 8 分 (Ⅲ)不妨设 d ? 0 . (1)若 d ? 6 ,则 a2015 ? b403 ? b1 ? 402d ? 1 ? 402 ? 6 ? 2413 ,与 a2015 ? 2015矛盾. (2)若 1 ? d ? 4 . (i)若 b1 ? 100,则 bk ? b1 ? (k ? 1)d ? 100 ? 402 ? 4 ? 1708 , k ? 1,2,? ? ?.403. 不妨设 a5l0 ?i ? 2015 ,其中 l0 ?{1,2, ???,403}, i ?{1,2,3,4} . 于是 | a5l0 ? a5l0 ?i |?| a5l0 ? a5l0 ?1 | ???? ? | a5l0 ?(i ?1) ? a5l0 ?i |? 3i ? 12. 即 | a5l0 ? 2015 |? 12 ,可得 bl0 ? a5l0 ? 2003,与 bl0 ? 1708矛盾. (ii)若 b1 ? 101,则 bk ? b1 ? 101, k ? 1,2,? ? ?,403. 不妨设 a5l0 ?i ? 1 ,其中 l0 ?{1,2, ???,403}, i ?{1,2,3,4} . 于是 | a5l0 ? a5l0 ?i |?| a5l0 ? a5l0 ?1 | ???? ? | a5l0 ?(i ?1) ? a5l0 ?i |? 3i ? 12 即 | a5l0 ? 1|? 12 ,可得 bl0 ? a5l0 ? 13 ,与 bl0 ? 101矛盾. 因为 d 为整数,所以综上可得 d ? 5 . 由(Ⅱ)可知存在使 bk ? a5k ? 5k (其中 k ? 1,2,? ? ?,403)的 H 数列 A2015 . 把上述 H 数列 A2015 倒序排列,即有 d ? ?5 .

所以 d ? 5 或 ? 5 .

?? 13 分

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