fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2011届广州市高三年级调研测试-数学(理科)(参考答案及评分标准)打印版


试卷类型:A

2011 年广州市高三年级调研测试 数学(理科)
本试卷共 4 页, 21 题, 共 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上,并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。 2B 铅 用 笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 用 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点, 再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
1 参考公式:锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

2011. 01

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数 g ? x ? ? x ? 3 的定义域为( A.? x x ? ?3 )

?

B.? x x ? ?3

?

C.? x x ? ?3 )

?

D.? x x ? ?3

?

2. 已知 i 为虚数单位, 则复数 i (1? i ) 的模等于( A .
1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

? y ? x, ? 3. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大 ? y ? ?1. ?

值为( A . ?3

) B.
? 3 2

C.

3 2

D. 3

1

4. 已知 p : x ? 2 , q : 0 ? x ? 2 ,则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件



B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 )

5. 如果执行图 1 的程序框图,若输入 n ? 6, m ? 4 ,那么输出的 p 等于 ( A. 720 B. 360 C. 240 D. 120

6. 已知随机变量 X 服从正态分布 N ( ? , ? 2 ) ,且 P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ,
P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,若 ? ? 4 , ? ? 1 , 则 P(5 ? X ? 6) ? (



A.0.1358

B.0.1359

C.0.2716

D.0.2718

7. 一空间几何体的三视图如图 2 所示, 该几何体的 体积为 12? ? A. 5
8 5 ,则正视图中 x 的值为( 3

3

3


x x

B. 4 D. 2
4 4 侧视图

C. 3

8.若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 4

正视图

沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函 数 y ? sin x 的图象,则 y ? f ? x ? 的解析式为( )
俯视图 图2

?? ? A. y ? sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
?? ?1 C. y ? sin ? x ? ? ? 1 4? ?2

?? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? ? 1 2? ?

?? ?1 D. y ? sin ? x ? ? ? 1 2? ?2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 某社区有 500 个家庭, 其中高收入家庭 125 户, 中等收入家庭 280 户, 低收入家 庭 95 户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取 1 个容量 为 若 干 户的样本 , 若高收入家庭抽取了 25 户, 则低收入家庭被抽取的户数 为 .
2

10. 已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,切点在第四象限,则 直线 l 的 方程为 . .

11. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2 ? 6, S4 ? 30 ,则 S 6 ?
x 2 12. ( ? 2 )9 展开式的常数项是 2 x

.(结果用数值作答) .
A N D

? 2 ? x , x ? ? ??,1? , ? 13. 设函数 f ? x ? ? ? 2 若 f ? x ? ? 4 ,则 x 的取值范围是 ? x , x ? ?1, ?? ? . ?
M B

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (几何证明选讲选做题)如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,

O C

BC 是直径, MN 与⊙ O 相切, 切点为 A , ?MAB ? 35? ,
则 ?D ? .
图3

? x ? 2t , 15. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线 l 的参数方程为: ? ( t 为参 ? y ? 1 ? 4t

数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 16、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 已知向量
A A? A A? ? ? m ? ? 2 cos , sin ? , n ? ? cos , ?2sin ? , m ? n ? ?1 . 2 2? 2 2? ? ?

(1) 求 cos A 的值; (2) 若 a ? 2 3 , b ? 2 , 求 c 的值.

3

17、 (本小题满分 12 分) 某商店储存的 50 个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占 60% , 乙 厂生产的灯泡占 40% , 甲厂生产的灯泡的一等品率是 90% , 乙厂生产的灯泡的一 等品率是 80% . (1) 若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则 它是甲厂生产的 一等品的概率是多少? (2) 若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这 两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为 ? , 求 E? 的值.

18、 (本小题满分 l4 分)如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,

PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 2 , AB ? 1, BM ? PD 于点 M .
(1) 求证: AM ? PD ; (2) 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值.
P

M

A

D

B

C

图4

4

19、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 1 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? . 直线 x ? t 2 a 3 2

?

?

( t ? 0 )与曲线 E 交于不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 C ,圆心为 C . (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABC 的面积的最大值.

20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ?

a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x . x

(1) 求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间; (2) 若关于 x 的方程 求 a 的值.
g ? x? x2 ? f ? x ? ? 2e (e 为自然对数的底数)只有一个实数根,

5

21、 (本小题满分 14 分) 如图 5,过曲线 C : y ? e x 上一点 P0 (0,1) 作曲线 C 的切线 l0 交 x 轴于点 Q1 ( x1 , 0) ,又 过 Q1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P ( x1 , y1 ) ,然后再过 P ( x1 , y1 ) 作曲线 C 的切线 l1 交 x 1 1 轴于点 Q2 ( x2 , 0) ,又过 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P2 ( x2 , y2 ) , ??,以此类推, 过点 Pn 的切线 ln 与 x 轴相交于点 Qn ?1 ( xn ?1 , 0) ,再过点 Qn ?1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 点 Pn ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) ( n?N * ) . (1) 求 x1 、 x2 及数列 { xn } 的通项公式; (2) 设曲线 C 与切线 ln 及直线 Pn ?1Qn ?1 所围成的图形面积为 S n ,求 S n 的表达式;
Tn ?1 xn ?1 ? (n ? N * ) . Tn xn y

(3) 在满足(2)的条件下, 若数列 {S n } 的前 n 项和为 Tn ,求证:

P0

P1 Pn+1 Pn l0

Qn+1

Q1

O

x

图5

6

2011 年广州市高三调研测试 数学(理科)试题 参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一 种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要 考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分 的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解 答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 B 7 C 8 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 19 14. 125? 10. y ? ?
3 x 3

11. 126

12. ?

21 2

13. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ?

15.相交

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 归与转化的数学思想方法和运算求解能力)
A A? A A? ? ? (1) 解: ∵ m ? ? 2 cos ,sin ? , n ? ? cos , ?2sin ? , m? ? ?1 , n 2 2? 2 2? ? ?

考查化

7

A A ? 2sin 2 ? ?1 . 2 2 1 ∴ cos A ? ? . 2 1 (2)解: 由(1)知 cos A ? ? ,且 0 ? A ? ? , 2 2? ∴ A? . 3

∴ 2cos 2

??2 分 ??4 分

??6 分

∵a ? 2 3 ,b ? 2 , 由正弦定理得
2 3 2 a b ,即 , ? ? 2? sin B sin A sin B sin 3

∴ sin B ?

1 . 2

??8 分

∵0 ? B ? ?,B ? A, ∴B?

?
6

.

??10 分

∴C ?? ? A? B ? ∴c ? b ? 2.

?
6

. ??12 分

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解法 1: 设事件 A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件 B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有 P ? A ? ? 0.6 , P ? B A ? ? 0.9 , 根据条件概率计算公式得 P ? AB ? ? P ? A ??P ? B A ? ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54 .??4 分 解法 2: 该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50 ? 60% ? 30 个, 乙厂生 产的灯泡有 50 ? 40% ? 20 个, 其中是甲厂生产的一等品有 30 ? 90% ? 27 个, 乙厂生 产的一等品有 20 ? 80% ? 16 个, 故从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是
P? 27 ? 0.54 . 50

考查或然与必然的数学思想方法,

??4 分 ??5 分

(2) 解: ? 的取值为 0,1, 2 ,

8

C2 253 P ?? ? 0 ? ? 23 ? , 2 C50 1225

1 1 2 C27 C23 C27 621 351 P ?? ? 1? ? ? , P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 1225 C50 C50 1225

??8 分 ∴ ? 的分布列为:

?
P

0
253 1225

1
621 1225

2
351 1225

∴ E? ? 0 ?

253 621 351 1323 ? 1? ? 2? ? ? 1.08 . 1225 1225 1225 1225

??12 分

18.(本小题满分 l4 分) (本小题主要考查空间线面关系、 直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数

学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AB . ∵ AB ? AD , AD ? PA ? A, AD ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , ∴ AB ? 平面 PAD . ∵ PD ? 平面 PAD ∴ AB ? PD , ??3 分
A P z

M

∵ BM ? PD , AB ? BM ? B , AB ? 平面 ABM , BM ? 平面 ABM , ∴ PD ? 平面 ABM . ∵ AM ? 平面 ABM , ∴ AM ? PD . ??6 分
B x C D y

(2)解法 1:由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD , 则 M 是 PD 的中点, 在 Rt△ PAD 中,得 AM ? 2 ,在 Rt△ CDM 中,得 MC ? MD 2 ? DC 2 ? 3 , ∴ S?ACM ?
1 6 AM ? MC ? . 2 2

设点 D 到平面 ACM 的距离为 h ,由 VD ? ACM ? VM ? ACD ,
9

??8 分

1 1 1 得 S?ACM ?h ? S?ACD ? PA . 3 3 2

解得 h ?

6 , 3

??10 分
h 6 , ? CD 3

设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ? ,则 sin ? ?
3 . 3

??12 分

∴ cos ? ?

∴ 直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为

3 . 3

??14 分

解法 2: 如图所示,以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , B ?1, 0, 0 ? , C ?1, 2, 0 ? , D ? 0, 2, 0 ? , M ? 0,1,1? .
???? ???? ? ??? ? ∴ AC ? ?1, 2, 0 ? , AM ? ? 0,1,1? , CD ? ? ?1, 0, 0 ? .

??8 分

? 设平面 ACM 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , ? ? ???? ? ???? ? x ? 2 y ? 0, 由 n ? AC , n ? AM 可得: ? ? y ? z ? 0.

令 z ? 1 ,得 x ? 2, y ? ?1 .
? ∴ n ? (2, ?1,1) .

??10 分

??? ? ? CD ? n 6 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? . ??12 分 ? 3 CD n

∴ cos ? ?

3 . 3 3 . 3

∴直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为

??14 分

10

19.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与

转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵椭圆 E :
x2 y 2 1 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? , 2 a 3 2

?

?

a2 ? 3 1 ? . ∴ a 2

?? 2 分

解得 a ? 2 . ∴ 椭圆 E 的方程为
x2 y 2 ? ? 1. 4 3

?? 4 分

(2)解法 1:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 ? t ? 2) .
? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 由 ? x2 y 2 得 y2 ? . 4 ? 1, ? ? 3 ?4

∴ 圆 C 的半径为 r ?

12 ? 3t 2 . 2

?? 6 分

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t , ∴ 0?t?
12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 ? t ? . 2 7
12 ? 3t 2 2 ? t ? 12 ? 7t 2 . 4

∴ 弦长 | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ∴ ?ABC 的面积 S ?
?

?? 8 分 ?? 9 分

1 ? t 12 ? 7t 2 2
1 2 7 ?

? 7t ?? 12 ? 7t
2

2

?
?

1 2 7

? 7t ? ?

? 12 ? 7t 2 2
?? 12 分
42 时,等号成立. 7

3 7 . 7

当且仅当 7t ? 12 ? 7t 2 ,即 t ?
11

∴ ?ABC 的面积的最大值为

3 7 . 7

?? 14 分

解法 2:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 ? t ? 2) .
? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 由 ? x2 y 2 得 y2 ? . 4 ? ? 1, ? 3 ?4
12 ? 3t 2 ∴ 圆 C 的半径为 r ? . 2

?? 6 分

∴ 圆 C 的方程为 ( x ? t )2 ? y 2 ?

12 ? 3t 2 . 4

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t , ∴ 0?t?
12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 ? t ? . 2 7 12 ? 7t 2 12 ? 3t 2 中,令 x ? 0 ,得 y ? ? , 2 4

在圆 C 的方程 ( x ? t )2 ? y 2 ?

∴ 弦长 | AB |? 12 ? 7t 2 . ∴ ?ABC 的面积 S ?
?

?? 8 分 ?? 9 分
2

1 ? t 12 ? 7t 2 2
1 2 7 ?

? 7t ?? 12 ? 7t
2

?
?

1 2 7

? 7t ? ?

? 12 ? 7t 2 2
??12 分
42 时,等号成立. 7

3 7 . 7

当且仅当 7t ? 12 ? 7t 2 ,即 t ?
3 7 . 7

∴ ?ABC 的面积的最大值为

?? 14 分

12

20.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数、 导数等知识, 考查函数与方程、 分类与整合的数学思想方

法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?
a 1 x2 ? x ? a ∴ F ? x? ? 1 ? 2 ? ? . x2 x x
'

a ? ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? . x

1 ① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 时, 得 x 2 ? x ? a ? 0 ,则 F ' ? x ? ? 0 . 4

∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.
1 ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 时, 令 F ' ? x ? ? 0, 4

??2 分 得 x2 ? x ? a ? 0 ,

解得 x1 ?

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a ? 0, x2 ? . 2 2

?1 ? 1 ? 4a 1 ?0. (ⅰ) 若 ? ? a ? 0 , 则 x2 ? 2 4

∵ x ? ? 0, ?? ? , ∴ F ' ? x ? ? 0 , ∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.
? ?1 ? 1 ? 4 a ? ' (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0, ? 时, F ? x ? ? 0 ; ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? x?? , ?? ? 时, F ' ? x ? ? 0 , ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? 上单调递 ∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递减, 在区间 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

?? 4 分

增.?? 6 分 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ;
? ?1 ? 1? 4 ? a 当 a ? 0 时 , 函 数 F ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 为 ? 0, ? , 单调递增区间为 ? ? 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? . ? ? ? 2 ? ?

?? 8 分

(2) 解: 由

g ? x? x
2

? f ? x ? ? 2e , 得

ln x a ln x ? x ? ? 2e , 化为 ? x 2 ? 2ex ? a . 2 x x x
13

令 h ? x? ?

ln x 1 ? ln x , 则 h' ? x ? ? . x x2

令 h' ? x ? ? 0 , 得 x ? e . 当 0 ? x ? e 时, h' ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h' ? x ? ? 0 . ∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增, 在区间 ? e, ?? ? 上单调递减.
1 ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ? . e

?? 10 分

而函数 m ? x ? ? x 2 ? 2ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e 2 ,
2

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e ? ? a ? e 2 . ∴ 当 a ? e2 ?

?? 12 分

g ? x? 1 1 , 即 a ? e2 ? 时, 方程 2 ? f ? x ? ? 2e 只有一个根. ? 14 分 x e e

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思

想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 由 y ? ? e x ,设直线 ln 的斜率为 k n ,则 kn ? e xn . ∴直线 l0 的方程为 y ? x ? 1 .令 y ? 0 ,得 x1 ? ?1 , ∴ y1 ? e x1 ? ∴ k1 ? e x1 ?
1 1 , ∴ P (?1, ) . 1 e e 1 . e
1 1 ? ( x ? 1) .令 y ? 0 ,得 x2 ? ?2 . e e

??2 分

∴直线 l1 的方程为 y ?

??4 分

一般地,直线 ln 的方程为 y ? e xn ? e xn ( x ? xn ) , 由于点 Qn ?1 ( xn ?1 , 0) 在直线 ln 上, ∴ xn ?1 ? xn ? ?1. ∴数列 ? xn ? 是首项为 ?1 ,公差为 ?1 的等差数列.
14

∴ xn ? ?n . (2)解: Sn ? ?
?n

??6 分
?n 1 1 1 e x dx ? ( xn ? xn?1 ) yn ? e x | ? yn ? (e? n ? e ? n?1 ) ? e? n ? ( n ?1) 2 2 2

? ( n ?1)

?

e?2 1 ? . 2e en

??8 分
1 1 [1 ? ( ) n ] e?2 1 ? e?2 e e ? ? ? (1 ? n ) . ?? 1 2e 2e(e ? 1) e ? 1? e

e?2 ? 1 1 1 (3)证明: Tn ? ?? 1 ? 2 ??? n 2e ? e e e

??10 分



n ?1 Tn ?1 en ?1 ? e ? 1 ? 1 ? e ? 1 , xn ?1 ? ?(n ? 1) ? 1 ? 1 . ? 1 xn ?n n Tn en ?1 ? e en ?1 ? e 1? n e

1?

1

要证明

Tn ?1 xn ?1 e ?1 1 ? ,只要证明 n ?1 ? ,即只要证明 en ?1 ? (e ? 1)n ? e . Tn xn e ?e n

??11 分 证法 1: (数学归纳法) ① 当 n ? 1 时,显然 (e ? 1)2 ? 0 ? e2 ? 2e ? 1 ? e2 ? (e ? 1) ? e 成立; ② 假设 n ? k 时, ek ?1 ? (e ? 1)k ? e 成立, 则当 n ? k ? 1 时, ek ? 2 ? e ? ek ?1 ? e[(e ? 1)k ? e] , 而 e[(e ? 1)k ? e] ? [(e ? 1)(k ? 1) ? e] ? (e ? 1)2 (k ? 1) ? 0 . ∴ e[(e ? 1)k ? e] ? (e ? 1)(k ? 1) ? e . ∴ ek ? 2 ? (e ? 1)(k ? 1) ? e . 这说明, n ? k ? 1 时,不等式也成立.
15

由①②知不等式

Tn ?1 xn ?1 对一切 n?N * 都成立. ? Tn xn

??14 分

0 1 n ?1 证法 2: en?1 ? [1 ? (e ? 1)]n?1 ? Cn?1 ? Cn?1 (e ? 1) ? ? ? Cn?1 (e ? 1)n?1

0 1 ? Cn?1 ? Cn?1 (e ? 1) ? 1 ? (n ? 1)(e ? 1) ? (e ? 1)n ? e .

∴不等式

Tn ?1 xn ?1 ? 对一切 n?N * 都成立. Tn xn

??14 分

证法 3:令 f ? x ? ? e x ?1 ? ? e ? 1? x ? e , 则 f ' ? x ? ? e x ?1 ? ? e ? 1? , 当 x ? 0 时, f ' ? x ? ? e x ?1 ? ? e ? 1? ? e ? ? e ? 1? ? 1 ? 0 , ∴函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 .

∵ n?N * , ∴ f ? n ? ? 0 , 即 en ?1 ? ? e ? 1? n ? e ? 0 . ∴ e n ?1 ? ? e ? 1? n ? e .

∴不等式

Tn ?1 xn ?1 ? 对一切 n?N * 都成立. Tn xn

??14 分

16


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图