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湖北省黄冈市浠水县实验高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


湖北省黄冈市浠水县实验高中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
一.选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)下列各数中,最小的数是() A.111111(2) B.105(8) C.200(6) D.75(10)

2. (5 分)对于任意点 P(a,b) ,要求 P 关于直线 y=x 的对称点 Q,则算法框图中的①处应 填入()

A.b=a

B.a=m

C.m=b

D.b=m

3. (5 分)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) , 则该样本的中位数、众数、极差分别是 ()

A.46,45,56

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

4. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 44 25 37 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A.61.5 万元 B.62.5 万元 C.63.5 万元 D.65.0 万元

5. (5 分)从 1,2,3,…,9 中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少 有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少 有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是() A.① B.②④ C. ③ D.①③

6. (5 分)若直线 l:y=kx﹣ 取值范围是() A. D.( ,π) B.

与直线 x+y﹣3=0 的交点位于第二象限,则直线 l 的倾斜角的 C.

7. (5 分)下列四个命题正确的是() ①线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱; ②残差平方和越小的模型,拟合的效果越好; ③用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小,说明模型的拟合效果越好; ④随机误差 e 是衡量预 报精确度的一个量,它的平均值为 0. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 8. (5 分)张三和李四打算期中考试完后去旅游,约定第二天 8 点到 9 点之间在某处见面,并 约定先到者等候后到者 20 分 钟或者时间到了 9 点整即可离去,则两人能够见面的概率是() A. B. C. D.
2 2

9. (5 分)某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们身体状况的某 项指标,按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样.已知在青年人中抽了 18 人,那么该单 位抽取的样本容量为() A.27 B.36 C.54 D.81 10. (5 分)已知 a≠b 且 a sinθ+acosθ﹣1=0、b sinθ+bcosθ﹣1=0,则连接(a,a ) 、 (b,b ) 2 2 两点的直线与单位圆 x +y =1 的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
2 2 2 2

二.填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)324 与 135 的最大公约数为. 12. (5 分)阅读下面的流程图,若输入 49、53、81,则输出的结果是.

13. (5 分)已知 f(x)=x ﹣2x +3x ﹣x+1,应用秦九韶算法计算 x=3 时的值时,v3 的值为. 14. (5 分)直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 的取值范围是. 15. (5 分)已知圆 C:x +y =12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为.
2 2 2 2

5

3

2

,则 k

三.解答题(共 6 小题,共 74 分) 16. (12 分)如图是某种算法的程序,回答下面的问题: (1)写出输出值 y 关于输入值 x 的函数关系式 f (x) ; (2)当输出的 y 值小于 时,求输入的 x 的取值范围.

17. (12 分) (1)用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x +3x +x +5x﹣4,当 x=2 时的函数值. (2)根据以下算法的程序,画出其相应的流程图 S=1 i=1 WHILE S<=10000 i=i+2 S=S﹡i WEND PRINT i END 18. (12 分)圆 M 的圆心在直线 y=﹣2x 上,且与直线 x+y=1 相切于点 A(2,﹣1) , (Ⅰ)试求圆 M 的方程; (Ⅱ)从点 P(3,1)发出的光线经直线 y=x 反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所在 直 线的斜率取值范围. 19. (12 分) 为了解学生身高情况, 某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行抽样检查, 测得身高情况的统计图如下:

4

3

2

(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ) 从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的概率. 20. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+4b ,a,b∈R. (Ⅰ)若 a 从集合{3,4,5}中任取一个元素,b 从集合{1,2,3}中任取一个元素,求方程 f (x)=0 有两个不相等实根的概率; (Ⅱ)若 a 从区间中任取一个数,b 从区间中任取一个数,求方程 f(x)=0 没有实根的概率. 21. (14 分)已知圆 C 的圆心 C 在 x 轴的正半轴上,半径为 5,圆 C 被直线 x﹣y+3=0 截得的 弦长为 . (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 ax﹣y+5=0 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得 A,B 关于过点 P(﹣2,4)的直线 l 对称? 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.
2 2

湖北省黄冈市浠水县实验高中 2014-2015 学年高二上学期 期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)下列各数中,最小的数是() A.111111(2) B.105(8) C.200(6) D.75(10)

考点: 排序问题与算法的多样性. 专题: 计算题. 分析: 将四个选择支中的数均转化为十进制,比较其大小,即可得到结论. 解答: 解:111111(2)=1×2 +1×2 +1×2 +1×2 +1×2 +1=63; 2 1 105(8)=1×8 +0×8 +5×1=77; 2 200(6)=2×6 =72 ∵63<72<75<77 ∴最小的数是 63,即 111111(2) , 故选 A. 点评: 本题考查的知识点是其它进制与十进制之间的转化,解答本题的关键是熟练掌握其 它进制与十进制之间的转化法则. 2. (5 分)对于任意点 P(a,b) ,要求 P 关于直线 y=x 的对称点 Q,则算法框图中的①处应 填入()
5 4 3 2 1

A.b=a

B.a=m

C.m=b

D.b=m

考点: 顺序结构. 专题: 计算题. 分析: 由题意按照框图,求出对称点的坐标,直接推出结果即可. 解答: 解:因为(a,b)与(b,a)关于 y=x 对称, 所以通过赋值,a 赋值到 m,b 赋值给 a,那么 m 赋值给 b,完成 a,b 的交换, 所以①处应该填写 b=m,

故选 D. 点评: 本题考查框图的应用,顺序结构赋值法的应用,考查计算能力. 3. (5 分)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) , 则该样本的中位数、众数、极差分别是 ()

A.46,45,56 考点: 专题: 分析: 解答:

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

茎叶图;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 计算题. 直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差,即可. 解:由题意可知茎叶图共有 30 个数值,所以中位数为第 15 和 16 个数的平均值:

=46. 众数是 45,极差为:68﹣12=56. 故选:A.

点评: 本题考查该样本的中位数、众数、极差,茎叶图的应用,考查计算能力. 4. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 44 25 37 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A.61.5 万元 B.62.5 万元 C.63.5 万元 D.65.0 万元

考点: 线性回归方程;简单随机抽样. 专题: 概率与统计. 分析: 根据回归方程的性质求出系数,即可得到结论. 解答: 解:样本中心为( , ) ,其中 = = , = =40,

即样本中心为(3.5,40) ,代入回归方程得 40=9.4×3.5+ ,解得 =7.1, 即 回归方程 = x+ =9.4x+7.1, 当 x=6 时,y=9.4×6+7.1=63.5,

故选:C 点评: 本题主要考查线性回归方程的应用,求出相应的系数是解决本题的关键. 5. (5 分)从 1,2,3,…,9 中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少 有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少 有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是() A.① B.②④ C. ③ D.①③ 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 阅读型. 分析: 根据题意,分析从 1,2,3,…,9 中任取两数,其中可能的情况即基本事件,进而 依次分析四个事件,看其中包含的事件是否对立,即可得答案. 解答: 解:根据题意,从 1,2,3,…,9 中任取两数,其中可能的情况有“两个奇数”,“两 个偶数”,“一个奇数与一个偶数”三种情况;依次分析所给的 4 个事件可得, ①、恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况,不是对立事件; ②、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,与两个都是奇数不 是对立事件; ③、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,和“两个都是偶数” 是对立事件; ④、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,至少有一个偶数包 括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,不是对立事件; 故选 C. 点评: 本题考查对立事件的定义,注意互斥事件与对立事件的联系与区别. 6. (5 分)若直线 l:y=kx﹣ 取值范围是() A. B. 与直线 x+y﹣3=0 的交点位于第二象限,则直线 l 的倾斜角的 C. D.( ,π )

考点: 其他不等式的解法;两条直线的交点坐标. 专题: 不等式的解 法及应用. 分析: 求出直线的交点坐标,利用交点位于第二象限,求解 k 的范围,然后求解直线 l 的倾 斜角的取值范围. 解答: 解:联立两直线方程得: ,

解得:x=

,y=

, , ) ,

所以两直线的交点坐标为(

因为两直线的交点在第二象限,所以得到



解得:k<﹣1, 设直线 l 的倾斜角为 θ,则 tanθ<﹣1,所以 θ∈ .

故选:B. 点评: 此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标,掌握象限点坐标的特点,掌握 直线倾斜角与直线斜率的关系,是一道综合题. 7. (5 分)下列四个命题正确的是() ①线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱; ②残差平方和越小的模型,拟合的效果越好; 2 2 ③用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小,说明模型的拟合效果越好; ④随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量,它的平均值为 0. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 考点: 相关系数. 专题: 常规题型;概率与统计. 分析: r|→1,两个变量的线性相关性越强,|r|→0,线性相关性越弱; 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好; 随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量,它的平均值为 0. 解答: 解:①|r|→1,两个变量的线性相关性越强,|r|→0,线性相关性越弱; 故线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱错误; ②残差平方和越小的模型,拟合的效果越好;正确; ③用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小,说明 模型的拟合效果越差,故错误; ④随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量,它的平均值为 0.正确. 故选 B. 点评: 本题考查了线性相关与拟合效果的判断,属于基础题. 8. (5 分)张三和李四打算期中考试完后去旅游,约定第二天 8 点到 9 点之间在某处见面,并 约定先到者等候后到者 20 分钟或者时间到了 9 点整即可离去,则两人能够见面的概率是() A. B. C. D.
2 2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个几何概型,试验包含的所有事件是 Ω={(x,y)|8<x<9,8<y <9},做出事件对应的集合表示的面积,写出满足条件的事件是 A={(x,y)|8<x<9,8<y <9,|x﹣y|< },算出事件对应的集合表示的面积,根据几何概型概率公式得到结果.

解答: 解:由题意知本题是一个几何概型,设事件 A 为“两人能会面”, 试验包含的所有事件是 Ω={(x,y)|8<x<9,8<y<9},并且事件对应的集合表示的面积是 s=1, 满足条件的事件是 A={(x,y)|8<x<9,8<y<9,|x﹣y|< }

所以事件对应的集合表示的图中阴影部分,其面积是 1﹣2× 根据几何概型概率公式得到 P= .

= ,

故选 B. 点评: 本题是一个几何概型,对于这样的问题,一般要通过把试验发生包含的事件同集合 结合起来,根据集合对应的图形做出面积,用面积的比值得到结果. 9. (5 分)某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们身体状况的某 项指标,按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样.已知在青年人中抽了 18 人,那么该单 位抽取的样本容量为() A.27 B.36 C.54 D.81 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 把三组数据相加得到这个单位的总数,看出青年占所有的一半,根据青年中要抽取 的人数,乘以 2 得 到整个单位要抽取的人数. 解答: 解:由题意知共有 27+54+81=162, ∴青年占总体的 ,

∵在青年人中抽了 18 人, ∴该单位抽取的样本容量是 18×2=36 故选 B. 点评: 本题是一个分层抽样问题,在解题过程中,利用的是抽样过程中每个个体被抽到的 概率都相等,这是解题的依据. 10. (5 分)已知 a≠b 且 a sinθ+acosθ﹣1=0、b sinθ+bcosθ﹣1=0,则连接(a,a ) 、 (b,b ) 2 2 两点的直线与单位圆 x +y =1 的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由 ,得
2 2 2 2 2 2

.过 M(a,a )与 N(b,b )的

2

2

直线方程为(a+b)x﹣y﹣ab=0.由此求出单位圆 x +y =1 的圆心(0,0)到直线 MN 的距离 2 2 2 2 d=1,从而连接(a,a ) 、 (b,b )两点的直线与单位圆 x +y =1 相切. 解答: 解:由 ,





过 M(a,a )与 N(b,b )的直线方程为

2

2

=



整理得(a+b)x﹣y﹣ab=0. 2 2 ∴单位圆 x +y = 1 的圆心(0,0)到直线 MN 的距离:

d=
2

=
2

=1.
2 2

∴连接(a,a ) 、 (b,b )两点的直线与单位圆 x +y =1 相切. 故选:B. 点评: 本题考查直线与单位圆的位置关系的判断,是中档题,解题时要注意点到直线的距 离公式的合理运用. 二.填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)324 与 135 的最大公约数为 27. 考点: 用辗转相除计算最大公约数. 专题: 计算题. 分析: 利用“辗转相除法”即可得出. 解答: 解:324=135×2+54,135=54×2+27,54=27×2. ∴324 与 135 的最大公约数为 27. 故答案为:27. 点评: 本题考查了“辗转相除法”,属于基础题. 12. (5 分)阅读下面的流程图,若输入 49、53、81,则输出的结果是 81.

考点: 选择结构.

专题: 计算题. 分析: 先对第一个判断框进行判断得出 max 是 a 与 b 中最大的数,再对第二个判断框进行 判断得到的是 c 与 max 的最大值,进而得到答案. 解答: 解:首先第一个判断框是比较 a 与 b 的大小,把 a 与 b 中较大的赋值给 max, 然后 c 与 a、b 中较大的再比较大小,把较大的赋值给 max, 最后输出最大值 max.输出 max 的含义是 a、b、c 中的最大值. 故答案为:81 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握顺序结构、条件结构与循环结构,属于基础题. 13. (5 分)已知 f(x)=x ﹣2x +3x ﹣x+1,应用秦九韶算法计算 x=3 时的值时,v3 的值为 24. 考点: 秦九韶算法. 专题: 算法和程序框图. 分析: 秦九韶算法可得 f(x)=( ( ( (x+0)x+2)x+3)x+1)x+1,进而得出. 5 3 2 解答: 解:由秦九韶算法可得 f(x)=x ﹣2x +3x ﹣x+1=( ( ( (x+0)x﹣2)x+3)x﹣1)x+1, ∴v0=1, v1=1×3+0=3, v2=3×3﹣2=7, v3=7×3+3=24. 故答案为:24. 点评: 本题考查了秦九韶算法,属于基础题. 14. (5 分)直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 的取值范围是.
2 2 5 3 2

,则 k

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标与半径 r, 利用点到直线的距离公式表示出圆心 到直线的距 离 d,利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|,列出关于 k 的不等式,求出不等式的解集即 可得到 k 的范围. 解答: 解:由圆的方程得:圆心(3,2) ,半径 r=2, ∵圆心到直线 y=kx+3 的距离 d= ,|MN|≥2 ,

∴2

=2

≥2



变形得:4﹣ 解得:﹣ ≤k≤0, 则 k 的取值范围是.

≥3,即 8k +6k≤0,

2

故答案为: 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,垂径定理,勾股定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键. 15. (5 分)已知圆 C:x +y =12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 5; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 .
2 2

考点: 直线与圆的位置关系;几何概型;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据所给的圆的标准方程,看出圆心,根据点到直线的距离公式,代入有关数 据做出点到直线的距离. (2)本题是一个几何概型,试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上 整 个圆周的弧长,根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是 60°,根据几何概型概率公式 得到结果. 解答: 解: (1)由题意知圆 x +y =12 的圆心是(0,0) , 圆心到直线的距离是 d= =5,
2 2

(2)圆心 C 到直线 l 的距离是 5,到直线 l′的距离是 3, 则劣弧 AB 所对应的弧上的点到直线 l 的距离都小于 2,优弧 AB 所对应的弧上的点到直线 l 的距离都大于 2, ∵AC=2 ,CD=3, ∴AD= ∴∠ACB=60°, 根据几何概型的概率公式得到 P= 故答案为:5; . = = ,AB=2 ,

点评: 本题考查点到直线的距离,考查直线与圆的位置关系,考查几何概型的概率公式, 本题是一个基础题,运算量不大. 三.解答题(共 6 小题,共 74 分) 16. (12 分)如图是某种算法的程序,回答下面的问题: (1)写出输出值 y 关于输入值 x 的函数关系式 f (x) ; (2)当输出的 y 值小于 时,求输入的 x 的取值范围.

考点: 条件语句. 专题: 图表型. 分析: (1)分析程序中各变量、各语句的作用,再根据图示的顺序,可知:该程序的作用 是计算分段函数 y= 的函数值,

(2)分段讨论,将 y< 代入后,即可得到对应自变量 x 的取值范围. 解答: 解: (1)分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算分段函数 y=f(x)= 的函数值,

∴输出值 y 关于输入值 x 的函数关系式 f (x)= (2)①当 x≤0 时, y=1﹣3
x





∴x>﹣1 此时﹣1<x≤0, ②当 x>0 时, y= ,

∴x



此时 0<x < , 故综上可知输入的 x 的取值范围为(﹣1, ) . 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.此 种题型的易忽略点是:不能准确理解伪代码的含义而导致错误. 17. (12 分) (1)用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x +3x +x +5x﹣4,当 x=2 时的函数值. (2)根据以下算法的程序,画出其相应的流程图 S=1 i=1 WHILE S<=10000 i=i+2 S=S﹡i WEND PRINT i END 考点: 循环语句;设计程序框图解决实际问题;算法思想的历程. 专题: 图表型. 分析: (1)利用秦九韶算法计算多项式的值,先将多项式转化为 f(x)=( ( (2x+3)x+1) x+5)x﹣4 的形式,然后逐步计算 v0 至 v4 的值,即可得到答案. (2) 由于本题要根据计算算法的程序, 故要采用选择结构来解决此问题, 由于要讨论 S 与 1000 的大小关系,本题选择框中条件为:“S≤10000”即可. 解答: 解: (1)f(x)=( ( (2x+3)x+1)x+5)x﹣4 当 x=2 时,V1=7,V2=15,V3=35,V4=66, ∴f(2)=66 解: (2)其相应的流程图为:
4 3 2

点评: 本题考查的知识点是秦九韶算法,流程图的概念,解答本题关键是掌握住本问题的 解决方法,根据问题的解决方案制订出符合要求的框图,熟练掌握框图语言,能正确用框图把 算法表示出来,这是设计流程图的基础. 18. (12 分)圆 M 的圆心在直线 y=﹣2x 上,且与直线 x+y=1 相切于点 A(2,﹣1) , (Ⅰ)试求圆 M 的方程; (Ⅱ)从点 P(3,1)发出的光线经直线 y=x 反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所在直 线的斜率取值范围. 考点: 关于点、直线对称的圆的方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)先确定出圆心坐标,进而求出圆的半径,根据圆心和半径写出圆的标准方程 即可; (Ⅱ)设发出光线所在直线的斜率为 k,求出发射光线所在直线的方程,再利用圆心到直线的 距离不大于半径,建立不等式,即可得出结论. 解答: 解: (I)由题意知:过 A(2,﹣1)且与直线 x+y=1 垂直的直线方程为:y=x﹣3 ∵圆心在直线:y=﹣2x 上, ∴由 ? 即 M(1,﹣2) ,且半径

, ∴所求圆的方程为: (x﹣1) +(y+2) =2. …(6 分) (得到圆心给 2 分) 2 2 (Ⅱ)圆 M 关于直线 y=x 对称的圆为(x+2) +(y﹣1) =2, 设发出光线为 y﹣1=k(x﹣3) 化简得 kx﹣y﹣3k+1=0,由 得 ,
2 2

所以发出光线所在直线的斜率取值范围为



…(12 分)

点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有两点间的距离公式,点到直线的距 离公式,圆的标准方程,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,常常利用此性 质列出方程来解决问题. 19. (12 分) 为了解学生身高情况, 某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行抽样检查, 测得身高情况的统计图如下:

(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ) 从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的概率. 考点: 频率分布直方图. 专题: 综合题. 分析: (1)由频率分步直方图知样本中男生人数为 2+5+13+14+2+4,全校以 10%的比例对 全校 700 名学生按性别进行抽样检查,知道每个个体被抽到的概率是 0. 1,得到分层抽样比例 为 10%估计全校男生人数. (2)由图可知样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1,样本容量为 70,得到 样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率.用样本的频率来估计总体中学生身高在 170~ 180cm 之间的概率. (3)由题意知本题是一个古典概型,通过列举法看出试验发生包含的所有事件数,再从这些 事件中找出满足条件的事件数,根据古典概型公式,得到结果. 解答: 解: (Ⅰ)样本中男生人数为 2+5+13+14+2+4=40, 由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 =400;

(Ⅱ)∵样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人, 样本容量为 70, ∴样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 ,

故可估计该校学生身高在 170~180cm 之间的概率 p=0.5; (Ⅲ)样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①,②,③,④, 样本中身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤,⑥, 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:

∴从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15, 求至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的可能结果数为 9, ∴所求概率 p2= .

点评: 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同,这是解决一部分抽样问题的依据,样本 容量、总体个数、每个个体被抽到的概率,这三者可以知二求一.这是一个统计综合题,可以 作为一个解答题出在文科的试卷中. 20. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+4b ,a,b∈R.
2 2

(Ⅰ)若 a 从集合{3,4,5}中任取一个元素,b 从集合{1,2,3}中任取一个元素,求方程 f (x)=0 有两个不相等实根的概率; (Ⅱ)若 a 从区间中任取一个数,b 从区间中任取一个数,求方程 f(x)=0 没有实根的概率. 考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 分析: (Ⅰ)因为 a,b∈Z,且 a∈A,b∈B,这是一个古典概型,设事件 E 为““方程 f (x) =0 有两个不相等的实根”为事件 A, 分别算出基本事件个数和事件 A 中包含的基本事件, 最后根据概率公式即可求得事件 E 的概率. (2)由已知化简集合 A 和 B,设事件“x∈A∩B”的概率为 P 1,这是一个几何概型,测度是长 度,代入几何概型的计算公式即可; 解答: 解:设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a>0,b>0 时,方程 f(x)=0 有两个不相等实根的充要条件为 a>2b. 当 a>2b 时,a,b 取值的情况有(3,1) , (4,1) , (5,1) , (5,2) , 即 A 包含的基本事件数为 4,而基本事件总数为 9. ∴方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率 P(A)= ;

(2)由已知 a∈A=x|0<x<2},b∈B=x|0<x<3}, (2 分) 设事件“方程 f(x)=0 没有实根”为事件 B, 当 a>0,b>0 时,方程 f(x)=0 没有实根的充要条件为 a<2b, 这是一个几何概型,则 P(B)= =

点评: 本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识.古典概型与几何概型的主要区别 在于:几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,简单 地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样 的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 21. (14 分)已知圆 C 的圆心 C 在 x 轴的正半轴上,半径为 5,圆 C 被直线 x﹣y+3=0 截得的 弦长为 . (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 ax﹣y+5=0 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得 A,B 关于过点 P(﹣2,4)的直线 l 对称? 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用;圆的标准方程. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1)设⊙C 的方程为(x﹣m) +y =25(m>0) ,由弦长公式求出 m,即得圆 C 的 方程. (2) 由圆心到直线的距离等于半径,求得实数 a 的取值范围.

(3)设存在实数 a,使得 A,B 关于 l 对称,则有

,解出实数 a 的值,得

出结论. 解答: 解: (1)设⊙C 的方程为(x﹣m) +y =25(m>0) ,由题意设 解得 m=1.故⊙C 的方程为(x﹣1) +y =25. (2)由题设知 ,故 12a ﹣5a>0,所以,a<0,或
2 2 2 2 2





故实数 a 的取值范围为

. ,

(3)设存在实数 a,使得 A,B 关于 l 对称.∴PC⊥AB,又 a<0,或



,∴



∴存在实数

,满足题设.

点评: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆相交的性质, 两直线垂直的性质, 由存在实数 a, 使得 A,B 关于 l 对称得到

是解题的关键和难点.


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