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导数习题分类精选


导数定义 例 1. y ? f ( x ) ? ?

?x 2 ?ax ? b

x ?1 x ?1

在 x ? 1 处可导,则 a ?

b?

例 2.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限: (1) lim

?h?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim ?h ?0 h 2h
n ?1

例 3.观察 ( x )? ? nx
n

, (sin x)? ? cos x , (cos x)? ? ? sin x ,是否可判断,可导的

奇函数的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。 已知函数 f ( x) 在定义域 R 上可导,设点 P 是函数 y ? f ( x) 的图象上距离原点 O 最近的点.

(1) 若点 P 的坐标为 (a, f (a)) , 求证: a ? f (a) f (a) ? 0 ;
'

(2) 若函数 y ? f ( x) 的图象不通过坐标原点 O , 证明直线 OP 与函数 y ? f ( x) 的图象上 点 P 处切线垂直. 利用导数证明不等式 例 6.求证下列不等式

x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x ? x ? (0 , ? ?) (相减) (1) x ? 2 2(1 ? x)
(2) sin x ?

2x

?

x ? (0 ,

?
2

) (相除)

(3) x ? sin x ? tan x ? x x ? (0 ,

?
2

)

(理做)设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1. (全国卷 22) (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数 f(x)的最大值;(ii)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g(
a?b )<(b-a)ln2. 2

.(I)解:函数 f(x)的定义域是(-1,∞),

f ' ( x) ?

1 ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x=0, 1? x

当-1<x<0时, f ' ( x) ? 0 ,当 x>0时, f ' ( x) ? 0 ,又 f(0)=0,故当且仅当 x=0时,f(x)取得 最大值,最大值是0
1

g (a) ? g (b) ? 2 g (

a?b ) ? (b ? a) ln 2 2
2

( 2009 全国卷Ⅱ理) ( 本小题满分 12 分 ) 设函数 f ? x? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点

x1、x2 ,且 x1 ? x2
(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ? 已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln(1 ? x) , h( x) ? (1)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x); (2)当 x ? 0 时,不等式 g ( x) ?

1 ? 2 In2 4

x . 1? x

kx (k ? 0) 恒成立,求实数 k 的取值范围; k?x

1 x ?1 1 ? ln ? ; x ?1 x x 1 1 1 1 1 (2)已知: n ? N且n ? 2 ,求证: ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 。 2 3 n 2 n ?1
(1)已知: x ? (0 ? ?) ,求证

利用导数求和 例 7.利用导数求和: (1) (2) 。



单调区间讨论 例.设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ?

x ? ln( x ? a)( x ? (0,??) 的单调区间.

(2009 安徽卷理) 已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

3.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处
2

2

的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ) 求 a , b 的值; (Ⅱ) 若函数 g ( x) ? 的单调性. (2009 山东卷文)已知函数 f ( x) ?

ex , 讨论 g ( x) f ( x)

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 (1)当 a , b 满足什么条 3

件时, f ( x) 取得极值?(2)已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取 值范围.

(2009 浙江文)已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函 数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 分离常数 已知函数 f ( x) ? x ln x .(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求 实数 a 的取值范围.
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[广东省海珠区 2009 届高三综合测试二理科数学第 21 题](本小题满分 14 分) 已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x ? ax ? x ? 2
3 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ?t , t ? 2??t ? 0? 上的最小值; (Ⅲ)对一切的 x ? ?0,?? ? , 2 f ?x ? ? g ?x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
'

18.(2009 全国卷Ⅰ理)本小题满分 12 分。设函数 f ? x ? ? x ? 3bx ? 3cx 在两个极值点
3 2

x1、x2 ,且 x1 ? [?1, 0], x2 ? [1, 2]. (I)求 b、c 满足的约束条件,并在
下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点 ? b, c ? 的区域; (II) 证明:

?10 ? f ? x2 ? ? ?

1 2
3

分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能

21.[浙江省富阳新中 2008(上)高三期中考试数学(理科)试卷第 22 题] (本小题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 ;
2

(Ⅰ)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 [1,3] 的最小值; (Ⅱ)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln 立.

n ? 1 n ?1 ? 3 恒成 n n

(天津文 21) 设函数 f ( x) ? ? x( x ? a)2 ( x ? R ) ,其中 a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值;
0? , (Ⅲ) 当 a ? 3 时, 证明存在 k ? ? ?1, 使得不等式 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos 2 x) 对

任意的 x ? R 恒成立.

求取值范围 (2009 江西卷文)设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6 x ? a . (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒 2

成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. . ( 2009 天津卷文)设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中m ? 0 (Ⅰ)当 3

m ? 1时, 1,f( 1 )) 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;
x1 , x 2 , (Ⅲ) 已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0, 且 x1 ? x 2 。 若对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] ,
f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x ? a .设 a ? 1 ,
3 2 2 3

4

求函数 f ? x ? 的极值;(2)若 a ? 取值范围. 已知函数 f(x)=

1 ' ,且当 x ? ?1, 4a ? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的 4

a ? x2 ? ln x x

1 ? ? ? a ? R , x ? [ , 2] ? 2 ? ?

1 (Ⅰ)当 a ?[?2, ) 时, 求 f ( x) 的最大值; 4
(Ⅱ) 设 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x 2 , k 是 g ( x) 图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数 a , 使得 k ? 1 恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

已知函数 f ( x) ? ln(e ? a)( a ? 0) .
x

(1)求函数 y= f(x)的反函数 y ? f

?1

( x)及f ( x) 的导数 f ?( x);
?1

(2)假设对任意 x ? [ln(3a), ln(4a)], 不等式 | m ? f 数 m 的取值范围.
w.w.w.

( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0 成立,求实

设函数 f ( x) ? e x ? e? x .

(Ⅰ)证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.

k.s.5.u.c.o.m

导数与数列

已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , 设 a1 ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) ,f '( x) 是 f(x)的导数;
an ?1 ? an ? f (an ) (n=1,2,……) f '(an )

(1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 an >a; (3)记 bn ? ln
an ? ? (n=1,2,……) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 an ? a

5

导数与解析几何 3.(2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 ,则曲线
2

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是
A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x C. y ? 3x ? 2
2

( D. y ? ?2 x ? 3

)

(2009 江西卷理)设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为

y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
A. 4 B. ?
2

(

)

1 4

C. 2

D. ?

1 2
.

若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 .(2009 陕西卷理)设曲线 y ? x
n ?1

(n ? N * ) 在点 (1, 1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,
.

令 an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为

19.(2009 浙江文)已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函 数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 零点 (07 广东) 已知 a 是实数, 函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,
2

求 a 的取值范围. 若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 有极值 ?
3

4 , 3

(1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.

(2009 福建卷理) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3

(1)

试 用 含 a 的 代 数 式 表 示 b, 并 求 f ( x) 的 单 调 区 间 ; ( 2 ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x) 在

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值, 记点 M ( x1 , f ( x1 ) ), N( x2 , f ( x2 ) ), P( m, f ( m) ),

x1 ? m ? x2 ,
6

请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题: (I) 若对任意的 m ? ( x1 , x 2 ), 线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点, 试确定 t 的最小值, 并证明你的结论; (II)若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点,请直接写出 m 的取值范围(不必给出求解过程)

已知函数 f ( x) ? x ? x . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程;
3

(2)设 a ? 0 ,如果过点 ( a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) .

、已知函数. f ( x) ? 2 x ? ax 与 g ( x) ? bx ? cx 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公
3 2

共切线. (1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程; (2)设 F ( x) ?

mg ( x) ? ln( x ? 1) ,其中 m ? 0 ,求 F(x)的单调区间. 8x

2.已知函数 f(x)=1n x,g(x)=

1 2 x ? a (a 为常数),若直线 l 与 y=f(x)和 y=g(x)的图象都相切,且 l 2

与 y=f(x)的图象相切于定点 P(1,f(1) ) . (1)求直线 l 的方程及 a 的值; (2)当 k∈R 时,讨论关于 x 的方程 f(x2+1)-g(x)=k 的实数解的个数.

1 1 3] 内各有一个极值点. , , (1, 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 在区间 [?11) 3 2

(I)求 a 2 ? 4b 的最大值; (II)当 a 2 ? 4b ? 8 时,设函数 y ? f ( x) 在点 A(1,f (1)) 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过函数 y ? f ( x) 的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A
7

时,从 l 的一侧进入另一侧) ,求函数 f ( x) 的表达式. 由 h(1) ? 0 知 x ? 1 是 h( x) 的一个极值点,则 h(1) ? 2 ?1 ? 1 ?
3a ? 0, 2

导数与不等式综合 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的导数为 f '( x ) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则 f (1) 的最小值为( C ) f '(0) A.3 B. 5
2

C.2

D. 3
2

设二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a , 方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 . (I)求实数 a 的取值范围; (II)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与
1 的大小.并说明理由. 16

本小题主要考查二次函数、 二次方程的基本性质及二次不等式的解法,考查推理 和运算能力.

已知函数 f ( x) ? ln x (Ⅰ)求函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x 的最大值; (Ⅱ)当 0 ? a ? b 时,求证: f (b) ? f (a) ?

2a(b ? a) a2 ? b2

(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处
x 2

的 切 线 与 x 轴 平 行 。 (1) 求 a 的 值 , 并 讨 论 f ( x ) 的 单 调 性 ; (2) 证 明 : 当

? ? ?[0, ]时, f( cos ? ) ? f(sin? ) ? 2
2

8

(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2

?x

(1)如

(1)若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; 单调减少,证明 ? ? ? <6.

(Ⅱ) f '( x) ? ?( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2

?x

? (3x 2 ? 6 x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a].
从 而






?x


3



f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, ? (a
3

f'

( ? x

) ?

e

[ ? x

6 ?x ) ?

4a

2

]

.

因为 f '(? ) ? f '(? ) ? 0, 所以 x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? )

? ( x ? 2)( x 2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将 右 边 展 开 , 与 左 边 比 较 系 数 得 , ? ? ? ?2 ? , ? a? ? 故 2 ?.

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 ( ? ? 2)(? ? 2) ? 0, 即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6. .已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R .
x

(Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ? N? ) . 解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .
x x

n

9

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1 , ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1,故 f ( x) 的单调递减区间是 ( ??, 1) . (Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) ,此时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上单调递增. 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意. ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 .当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 依题意, 又 k ?1 综合①, ②得, 实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . k ? k ln k ? 0 , , ? 1 ?k? e . (Ⅲ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e ,
x ?x

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 , ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F (2) F (n ? 1) ? e n ?1 ? 2 ,?? F (n) F (1) ? en ?1 ? 2.
由此得,[ F (1) F (2)? F (n)] ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F ( n) F (1)] ? (e
2 n ?1

? 2) n

故 F (1) F (2)? F (n) ? (e

n ?1

? 2) ,n ? N? .
f ( x) , x

n 2

设 f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) , f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且对任意正数 x 均有 f ?( x) ? (Ⅰ) 判断函数 F ( x) ?

f ( x) 在 (0, ? ?) 上的单调性; x

(Ⅱ) 设 x1 , x2 ? (0, ? ?) ,比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 f ( x1 ? x2 ) 的大小,并证明你的结论; ( Ⅲ ) 设 x1 , x2 , ? xn ? (0, ? ?) , 若 n ? 2 , 比 较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) 与

f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 的大小,并证明你的结论.
10

解:(Ⅰ)由于 f ?( x) ?

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) 得, ? 0 ,而 x ? 0 ,则 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , x x

xf ?( x) ? f ( x) f ( x) 在 (0, ? ?) 上是增函数. ? 0 ,因此 F ( x) ? 2 x x f ( x) (Ⅱ)由于 x1 , x2 ? (0, ? ?) ,则 0 ? x1 ? x1 ? x2 ,而 F ( x) ? 在 (0, ? ?) 上是增函 x
则 F ?( x) ? 数, 则 F ( x1 ) ? F ( x1 ? x2 ) , 即

fx () fx ( x ? ) 1 ? 1 2 x1 x1 x ?2

x2 ) fx () ? x( 1 x 2 ? ) , ∴ ( x1 ? 1 xf 1

(1) ,

同理 ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ? x2 ) (2) (1)+(2)得: ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? ( x1 ? x2 ) f ( x1 ? x2 ) ,而 x1 ? x2 ? 0 , 因此 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) . (Ⅲ)证法 1: 由于 x1 , x2 ? (0, ? ?) ,则 0 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,而 F ( x) ?

f ( x) 在 x

(0, ? ?) 上是增函数,则 F ( x1 ) ? F ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ,即
∴ ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) f ( x1 ) ? x1 f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 同理 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ……………

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? , x1 x1 ? x2 ? ? xn

( x1 ? x2 ? ? ? xn ) f ( xn ) ? xn f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )
以上 n 个不等式相加得:

( x1 ? x2 ? ? ? xn )[ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn )] ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )
而 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )
证法 2:数学归纳法 (1)当 n ? 2 时,由(Ⅱ)知,不等式成立; (2)当 n ? k ( n ? 2) 时,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 成立, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xk ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) 成立, 则当 n ? k ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) + f ( xk ?1 )

11

再由(Ⅱ)的结论, f ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) + f ( xk ?1 ) ? f [( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? xk ?1 ]

f ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) + f ( xk ?1 ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xk ? xk ?1 )
因此不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 对任意 n ? 2 的自然数均成 立. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 I, 导数 f ' ( x ) 满足 0 ? f ( x) ? 2 且 f '( x) ? 1 , 常数 c1 为方
'

.

程 f ( x) ? x ? 0 的实数根,常数 c2 为方程 f ( x) ? 2 x ? 0 的实数根。 (I)若对任意 ? a,b ? ? I ,存在 x0 ? ? a,b ? ,使等式

f (b ) ? f ( a ) ? (b ? a ) f ' ( x 0 ) 成立。求证:方程 f ( x) ? x ? 0 不存在异于 c1 的实数根;
(II)求证:当 x ? c2 时,总有 f ( x) ? 2 x 成立; (III)对任意 x1 、x 2 ,若满足, | x1 ? c1 |? 1,| x2 ? c2 |? 1, 求证: | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 证明: (I)假设方程 f ( x) ? x ? 0 有异于 c1 的实根 m,即 f (m) ? m 则有 m ? c1 ? f (m) ? f (c1 ) ? ? m ? c1 ? f '( x0 ) 成立 因为 m ? c1 ,所以必有 f '( x0 ) ? 1 ,但这与 f '( x) ? 1 矛盾,因此方程 f ( x) ? x ? 0 不 存在异于 c1 的实数根。………………4 分 (II)令 h( x) ?

f ( x) ? 2 x,∵h '( x) ? f '( x) ? 2 ? 0 ∴函数 h ( x ) 为减函数
, 即 f ( x) 0 ? 成 2x

又∵h(c2 ) ? f (c2 ) ? 2c2 ? 0 ∴ 当 x ? c2 时 , h( x ) ? 立………………8 分 (III)不妨设 x1 ? x 2 又∵f

∵f '( x) ? 0,∴f ( x) 为增函数,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

'( x) ? 2 ,∴函数 f ( x) ? 2 x 为减函数,即 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2

∴0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2( x2 ? x1 ) 即 | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 2 | x2 ? x1 | | x2 ? x1 |?| x2 ? c1 ? c1 ? x1 |?| x2 ? c1 | ? | c1 ? x1 |? 2
∴| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4
12

设函数 f ( x ) ? ? 1 ?

? ?

1? ? (n ? N , 且n ? 1, x ? N ) . n?
n

n

? 1? (Ⅰ)当 x=6 时,求 ?1 ? ? 的展开式中二项式系数最大的项; ? n?
(Ⅱ)对任意的实数 x,证明

f (2 x) ? f (2) > f ?( x)( f ?( x)是f ( x)的导函数); 2
? 1? ? ? 1 ? ? < (a ? 1)n 恒成立?若存在,试证明你的结论并求 k? k ?1 ?
n k

(Ⅲ)是否存在 a ? N ,使得 an<

出 a 的值;若不存在,请说明理由. 本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查 综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

? 1 ? 20 (Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,这项是 C 1 ? ? ? 3 n ?n?
3 5 6

3

(Ⅱ)证法一:因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? ?1 ? ? n? ? n?

2n

2

? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n? ? n?
n

2n

2

n

? 1? ? 1? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n?

n

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 f ' ? x ? ? n? ? 2? ? n? ? n?
证法二: 因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ?

n

? ?

1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? n ? ? ?1 ? n ? ? 2 ?1 ? ? n? ? ? ? ? ? n? ? n?
n

2n

2

2n

2

n

? 1? ? ?1 ? ? ? n?

? 1? ? 1? 而 2 f ? x ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? n? ? n?
'

故只需对 ? 1 ?

? ?

1? ? 1? ? 和 ln ?1 ? ? 进行比较。 n? ? n?

' 令 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,有 g ? x ? ? 1 ?



x ?1 ? 0 ,得 x ? 1 x

1 x ?1 ? x x

13

因为当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减;当 1 ? x ? ?? 时, g ? x ? ? 0 , g ? x ? 单
' '

调递增,所以在 x ? 1 处 g ? x ? 有极小值 1 故当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 1 , 从而有 x ? ln x ? 1,亦即 x ? ln x ? 1 ? ln x 故有 ? 1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? ln ?1 ? ? 恒成立。 n? ? n?
'

所以 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? 2 f

? x ? ,原不等式成立。

(Ⅲ)对 m ? N ,且 m ? 1

1? ? 0 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? k ? 1 ? m? 1 ? 有 ? 1 ? ? ? Cm ? C m ? ? ? ? C m ? ? ? ? ? C m ? ? ? ? ? C m ? ? ? m? ?m? ?m? ?m? ?m?
2 k

m

2

k

m

m ? m ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1?? ? m ? k ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1?? 2 ?1 ? 1 ? ? 1?1? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? 2! ? m ? k! m! ?m? ?m?

m

? 2?

1? 1? 1? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ?1 ? ???1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ?

? 2?
? 2?

1 1 1 1 ? ??? ??? 2! 3! k! m!
1 1 1 1 ? ??? ??? 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?

1? 1? ? 1? ? 1 1? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?

? 3?

1 ?3 m
k
m

1? ? ?1? 又因 C ? ? ? 0 ? k ? 2,3, 4,? , m ? ,故 2 ? ? 1 ? ? ? 3 ? m? ?m?
k m
n 1? ? ? 1? ∵ 2 ? ? 1 ? ? ? 3 ,从而有 2n ? ? ?1 ? ? ? 3n 成立, k? ? m? k ?1 ? m k

即存在 a ? 2 ,使得 2n ? 构造

? 1? ? ?1 ? ? ? 3n 恒成立。 k? k ?1 ?
n

k

14

1. 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b
3 2

(1) 若函数 y ? f ( x) 图象上任意不同两点连线的斜率都小于 1,则 ? 3 ? a ? 3 ; (2) 若 x ? [0, 1], 函数 y ? f ( x) 图象上任一点切线的斜率为 k , 求 k ? 1 时 a 的取值范围。 解答 (1) 设A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是函数图象上任意不同两点, 则

y1 ? y2 ? 1, 显然 x1 ? x2 , x1 ? x2

不妨设 x1 ? x2 ,则 y1 ? y2 ? x1 ? x2 ,即 y1 ? x1 ? y2 ? x2 ,构造函数 g ( x) ? f ( x) ? x ,则
2 2 则 g ?( x) ? ?3x ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立, 故 ? ? (2a) ? 12 ? 0 , g ( x) 在 R 上是减函数,

解之得 ? 3 ? a ? 3
2 ( 2 )当 x ? [0 , 1] 时, k ? f ?( x) ? ?3 x ? 2 ax,即对任意的 x ? [0 , 1] , k ? 1 ,即

? ? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 ? a ? 2 ?3 x ? 2ax ? 1在 x ? [0,1]成立,由于 f ?(0) ? 0 ? 1 ,则必需满足 ?0 ? ? 1 3 ? ? a a2 ? ?1 ?f ( )? 3 3 ?
? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 ? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 ? ? 或 ?a 或?a ,解得 1 ? a ? 3 ? 1 ? 0 ? ? ?3 ?3
导数与二项式定理

1 2 x + lnx. 2 (I)求函数 f (x )在[1,e]上的最大、最小值;
. 已知函数 f (x ) = (II)求证:在区间[1,+∞ ) 上,函数 f (x )的图象在函数 g (x ) = (III)求证:[ f ? (x )]n- f ? (xn)≥2n-2(n∈N*). 解: (I)易知 f (x )在[1,e]上是增函数. ∴ f (x )max = f (e ) = (II)设 F (x ) =

2 3 x 的图象的下方; 3

1 2 1 e + 1;f (x )min = f (1 ) = . 2 2

(1 ? x)(1 ? x ? 2 x 2 ) 1 2 2 1 x + lnx- x3,则 F ? (x ) = x + -2x2 = . x 2 3 x ∵ x>1,∴ F ? (x )<0,故 F (x )在(1,+∞)上是减函数, 1 又 F (1) =- <0,∴ 在(1,+∞)上,有 F (x )<0, 6 1 2 2 即 x2 + lnx< x3,故函数 f (x )的图象在函数 g (x ) = x3 的图象的下方. 2 3 3 (III)当 n = 1 时,不等式显然成立;
15

1 1 n ) -(xn + n ) x x 1 1 1 1 1 n-1 2 n-2 1 n-2 2 n-4 n ?1 n ?1 = Cn x · + Cn x · 2 + … + Cn x· n ?1 = C n x + Cn x + … + Cn x· n ? 2 x x x x 1 1 1 1 1 n-2 - - 2 n ?1 = [ Cn (x + n ? 2 ) + C n (xn 4 + n ? 4 ) + … + C n ( n ? 2 + xn 2)] 2 x x x 1 1 2 n ?1 ≥ (2 C n + 2 Cn + … + 2 Cn ) = 2n-2. 2 注:第二问可数学归纳法证
当 n≥2 时,有:[ f ? (x )]n- f ? (xn) = (x +

16


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