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新疆兵团第二师华山中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年新疆兵团第二师华山中学高一(上)期中数学试卷
一、单项选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)下列四个关系式中,正确的是() A.?∈a B.a?{a} C.{a}∈{a,b} 2. (5 分)已知函数 f(x)= A.[0,+∞) 的定义域为() C.(1,+∞) D.[0,1]

D.a∈{a,b}

B.[1,+∞)

3. (5 分)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了 一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了 终点…,用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合的是 ()

A.

B.

C.

D. 4. (5 分)设 a=log0.32,b=0.2 ,c=3 ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 5. (5 分)已知函数 f(x)=x ,且满足 f(9)=3,则 f(100)=() A.10 B.100 C.1000 D.10000 6. (5 分)函数 y= A..偶函数 + B.奇函数
2 a 0.3 0.2

是() C.即奇又偶函数 D.非奇非偶函数

7. (5 分)函数 f(x)=x +2x,x∈[﹣2,1]的值域是() A.[0,3] B.[﹣2,3] C.[﹣1,0] 8. (5 分)设 f(x﹣2)=2 ,则 f(3)的值为() A.64 B. 8 C.16
x

D.[﹣1,3]

D.32

9. (5 分)给定函数①y=

;②y=

(x+1) ;③y=2

x﹣1

;④y=x+ ;其中在区间(0,1)

上单调递减的函数的序号是() A.①② B.②③
x

C.③④

D.②④

10. (5 分)方程 2 =4﹣x 的解所在区间是() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2)

D.(2,3)

11. (5 分)已知 f(x)= =() A.499.5

,x∈R,求 f(

)+f(

)+f(

)+…+f(



B.500.5

C.500

D.499

12. (5 分)设 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上递增,若 f( )=0, 那么 x 的取值范围是() A.x>2 或 <x<1 B. <x<2 C. <x<1 D.x>2



二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知全集 U={x|﹣3≤x≤3},N={x|0≤x<2},那么集合?UN=.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f[f(0)]=.

15. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x.则 f(1)=. 16. (5 分)函数 f(x)=ax+1﹣a 在区间[0,2]上的函数值恒大于 0,则 a 的取值范围是.

2

三、解答题 17. (10 分)已知集合 A={x|﹣3<x≤5},集合 B={y|﹣2<y<7},求 A∩B、A∪B、 (?RA)∩B. 18. (12 分)求下列各式的值: (1) (2)lg 5+lg5?lg40+lg 2+lg2.
2 2



19. (12 分)设函数 f(x)=2|x+1|+2. (1)作出 f(x)的图象; (2)求方程 f(x)﹣4=0 根的个数及相应的根. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x + , (x≠0,a∈R) (1)讨论 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)已知 a=16,用定义法证明 f(x)在[2,+∞)是单调递增的. 21. (12 分)已知 f(x)=kx +(3+k)x+3,其中 k 为常数,且 k≠0,f(2)=3. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)设函数 g(x)=f(x)﹣mx,若 g(x)在区间[﹣2,+∞)上是单调递减的,求 m 的取 值范围; (3)定义:“若对于任意函数,有 x∈[a,b]时,h(x)∈[a,b],则称 h(x)的保值区间,” 本题中,求 f(x)的保值区间. 22. (12 分)已知定义在(﹣1,0)∪(0,1)上的偶函数 f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x) = .
2 2

(1)求 f(x)的解析式; (2)若 x∈(﹣1,0)时,f(x)<t 恒成立,求实数 t 的取值范围; (3)若常数 S∈(2, ) ,解关于 x 的不等式 Sf(x)﹣1<0.

2014-2015 学年新疆兵团第二师华山中学高一(上)期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、单项选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)下列四个关系式中,正确的是() A.?∈a B.a?{a} C.{a}∈{a,b}

D.a∈{a,b}

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 证明题. 分析: 根据元素与集合的关系是“∈”和“?”关系进行判断,即集合中有此元素则是“∈”关系, 否则是“?”关系. 解答: 解:A、应该是 a??,故 A 不对;B、应是 a∈{a},故 B 不对; C、元素与集合的关系,应是{a}?{a,b},故 C 不对;

D、因集合{a,b}中有元素 a,故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题的考点是元素与集合的关系的判定,主要根据集合中是否有此元素进行判断, 注意特殊情况即空集:不含任何元素. 2. (5 分)已知函数 f(x)= A.[0,+∞) 的定义域为() C.(1,+∞) D.[0,1]

B.[1,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 要使函数有意义,则需 x﹣1≥0 且 x﹣1≠0,解得即可得到定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则需 x﹣1≥0 且 x﹣1≠0, 解得,x>1, 则定义域为(1,+∞) . 故选 C. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方式非负,分式分母不为 0,属于 基础题. 3. (5 分)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了 一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了 终点…,用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合的是 ()

A.

B.

C.

D. 考点: 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系;确定直线位置的几何要素. 专题: 压轴题. 分析: 分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率的变化.问题 便可解答. 解答: 解:对于乌龟,其运动过程可分为两段: 从起点到终点乌龟没有停歇,其路程不断增加; 到终点后等待兔子这段时间路程不变,此时图象为水平线段. 对于兔子,其运动过程可分为三段:

开始跑得快,所以路程增加快; 中间睡觉时路程不变; 醒来时追赶乌龟路程增加快. 分析图象可知,选项 B 正确. 故选 B. 点评: 本题考查直线斜率的意义,即导数的意义. 4. (5 分)设 a=log0.32,b=0.2 ,c=3 ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 0.3 0.2 解答: 解:∵a=log0.32<0,0<b=0.2 ,<1,c=3 >1. ∴a<b<c. 故选:A. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 5. (5 分)已知函数 f(x)=x ,且满足 f(9)=3,则 f(100)=() A.10 B.100 C.1000 D.10000 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的解析式,求出 a 的值,再计算 f(100)即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=x ,且满足 f(9)=3, a ∴9 =3, 解得 a= ; ∴f(x)= ∴f(100)= (x≥0) , = =10.
a a 0.3 0.2

故选:A. 点评: 本题考查了求函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的问题,是基础题. 6. (5 分)函数 y= A..偶函数 + B.奇函数 是() C.即奇又偶函数 D.非奇非偶函数

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数的定义域,然后判断函数的奇偶性.

解答: 解:函数 y=

+

的定义域是{1},定义域不关于原点对称,所以函数是非

奇非偶函数. 故选:D. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断与应用,注意函数的定义域的应用,基本知识的考查. 7. (5 分)函数 f(x)=x +2x,x∈[﹣2,1]的值域是() A.[0,3] B.[﹣2,3] C.[﹣1,0] 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)=(x+1) ﹣1,再利用二次函数的性质求得函数的值域. 2 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1,∴当 x=﹣1 时,函数取得最小值为﹣1; 当 x=1 时,函数取得最大值为 3,故函数的值域为[﹣1,3], 故选:D. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,属基础题. 8. (5 分)设 f(x﹣2)=2 ,则 f(3)的值为() A.64 B. 8 C.16
x 2 2

D.[﹣1,3]

D.32

考点: 函数的值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据题意令 x﹣2=3,求出对应的函数的自变量的值,再代入函数解析式求解. x 解答: 解:∵f(x﹣2)=2 , 令 x﹣2=3 解得 x=5, ∴f(3)=2 =32, 故选 D. 点评: 本题主要考查了指数的运算和求函数的值,同时考查了运算求解的能力,属于基础 题.
5

9. (5 分)给定函数①y=

;②y=

(x+1) ;③y=2

x﹣1

;④y=x+ ;其中在区间(0,1)

上单调递减的函数的序号是() A.①② B.②③

C.③④

D.②④

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 阅读型;函数的性质及应用. 分析: 对于命题①②③,直接利用幂函数,对数函数和指数函数的单调性加以判断,命题 ④可利用函数单调性的方法加以证明. 解答: 解:因为幂函数 y=x (α>0)在第一象限为增函数,所以 调递增;
α

在区间(0,1)上单

函数 y=

(x+1) 的定义域为 (﹣1, +∞) , 且内层函数 t=x+1 为增函数, 外层函数 (x+1)在区间(0,1)上是单调递减的函数;

为减函数,所以函数 y= 函数 y=2
x﹣1

=

是实数集上的增函数;

对于函数 y=x+ ,取 x1,x2∈(0,1) ,且 x1<x2,



=

= 当 x1,x2∈(0,1) ,且 x1<x2 时,x1<x2,x1x2﹣1<0, 所以



,所以 f(x1)>f(x2) .

所以 y=x+ 在区间(0,1)上是单调递减的函数. 所以在区间(0,1)上单调递减的函数是②④. 故选 D. 点评: 本题考查了函数单调性的判断与证明,考查了基本初等函数的单调性,训练了函数 单调性的证明方法,属中档题. 10. (5 分)方程 2 =4﹣x 的解所在区间是() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 f(x)=2 +x﹣4,由于 f(1)<0,f(2)>0,根据函数零点的判定定理,得到 f (x)的零点所在的区间,即为所求. x 解答: 解:令 f(x)=2 +x﹣4,由于 f(1)=﹣1<0,f(2)=2>0, 故有 f(1)?f(2)<0,故函数 f(x)的零点所在的区间为( 1,2 ) , 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义,函数的零点与方程的根的关系,函数零点的判定 定理的应用,属于基础题.
x x

D.(2,3)

11. (5 分)已知 f(x)= =() A.499.5

,x∈R,求 f(

)+f(

)+f(

)+…+f(



B.500.5

C.500

D.499

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出 f(1﹣x) ,判定出 f(1﹣x)+f(x)=1,求出代数式的值. 解答: 解: ∴f(x)+f(1﹣x)=1 f( )+f( )+f( )+…+f( )=500 ,

故选 C. 点评: 本题考查函数的求值问题,关键是先找出关系式 f(1﹣x)+f(x)=1,属于一道基 础题.

12. (5 分)设 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上递增,若 f( )=0, 那么 x 的取值范围是() A.x>2 或 <x<1 B. <x<2 C. <x<1 D.x>2



考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得: ,结合题中的条件可得

,即 数函数的单调性即可求出 x 的范围. 解答: 解:∵函数 f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(x)=f(﹣x)=f(|x|) , 所以 .

,再利用函数 f(x)的单调性与对

因为 f( )=0,



所以有

,即



又因为函数 f(x)在[0,+∞)上递增, 所以 故选 B. ,解得: <x<2.

点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握函数的奇偶性与函数的单调性及其综合应用,以及 熟练掌握对数函数的单调性与特殊点, 此题综合性较强属于中档题, 考查学生知识的综合应用 的能力. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知全集 U={x|﹣3≤x≤3},N={x|0≤x<2},那么集合?UN={x|﹣3≤x<0 或 2≤x≤3}. 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算. 函数的性质及应用. 本题直接利用集合的补集定义,求出集合 N 的补集,得到本题结论. 解:∵全集 U={x|﹣3≤x≤3},N={x|0≤x<2},

∴集合?UN={x|﹣3≤x<0 或 2≤x≤3}. 故答案为:{x|﹣3≤x<0 或 2≤x≤3}. 点评: 本题考查了集合的补集运算,本题难度不大,属于基础题.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f[f(0)]=0.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式求得 f(0)的值,进而求得 f[f(0)]的值. 解答: 解:∵函数 ,则 f(0)=3 =1,
0

∴f[f(0)]=f(1)=log21=0, 故答案为 0. 点评: 本题主要考查利用分段函数求函数的值,属于基础题. 15. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x.则 f(1)=﹣3. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 将 x≤0 的解析式中的 x 用﹣1 代替,求出 f(﹣1) ;利用奇函数的定义得到 f(﹣1) 与 f(1)的关系,求出 f(1) . 解答: 解:∵f(﹣1)=2+1=3 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数 ∴f(﹣1)=﹣f(1) ∴f(1)=﹣3 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查奇函数的定义:对任意的 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x) . 16. (5 分)函数 f(x)=ax+1﹣a 在区间[0,2]上的函数值恒大于 0,则 a 的取值范围是(﹣1, 1) .
2

考点: 一次函数的性质与图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题考察一次函数的性质,属于含参讨论问题,因为参数 a 为一次项系数,所以可分 a=0,a>0 和 a<0 三种情况讨论. 解答: 解:①当 a>0 时,f(x)=ax+1﹣a 在区间[0,2]上是增函数,要使函数值恒大于 0, 则 f(0)>0,得 1﹣a>0,解得 a<1 则此时 0<a<1; ②当 a=0 时,f(x)=1,值恒大于 0; ③当 a<0 时,f(x)=ax+1﹣a 在区间[0,2]上是减函数,要使函数值恒大于 0,则 f(2) >0,得 2a+1﹣a>0 解得 a>﹣1 则此时﹣1<a<0 综上所述,a 的取值范围:﹣1<a<1. 故答案为: (﹣1,1) . 点评: 解题的关键为对一次函数单调性的理解,在斜截式方程下,斜率大于 0,单调递增; 斜率小于 0,单调递减;容易忽略的是等于 0 时,为常函数,不单调. 三、解答题 17. (10 分)已知集合 A={x|﹣3<x≤5},集合 B={y|﹣2<y<7},求 A∩B、A∪B、 (?RA)∩B. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 利用集合的交并补的定义求集合 A∩B、A∪B,在求解(?RA)∩B 时,可以先求?RA. 解答: 解:集合 A={x|﹣3<x≤5},集合 B={y|﹣2<y<7}, 则 A∩B={x|﹣3<x≤5}∩{y|﹣2<y<7}=(﹣2,5], A∪B={x|﹣3<x≤5}∪{y|﹣2<y<7}=(﹣3,7) , ∵?RA=(﹣∞,3]∪(5,+∞) , ∴(?RA)∩B=(﹣∞,﹣3]∪(5,+∞)∩(﹣2,7)=(5,7) . 点评: 本题集合的混合运算,属于基础题目,较简单,要熟练集合的交并补定义. 18. (12 分)求下列各式的值: (1) (2)lg 5+lg5?lg40+lg 2+lg2. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则、lg2+lg5=1 即可得出. 解答: 解: (1)原式= ﹣7 +
2 2 2



﹣ +1

=

+1

=19. 2 2 (2)原式=lg 5+lg5(2lg2+1)+lg 2+lg2 2 =(lg5+lg2) +lg5+lg2 =1+1=2. 点评: 本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则、lg2+lg5=1,属于基础题. 19. (12 分)设函数 f(x)=2|x+1|+2. (1)作出 f(x)的图象; (2)求方程 f(x)﹣4=0 根的个数及相应的根. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用零点分段法,可得 f(x)= ,根据一次函数图象和性质及

分段函数图象的画法,可得函数 f(x)图象; (2)方程 f(x)﹣4=0 可化为:|x+1|=1,解得:x=0,或 x=﹣2. 解答: 解: (1)∵f(x)=2|x+1|+2= 画出函数 f(x)图象如下图所示: ,

(2)方程 f(x)﹣4=0, 也即:2|x+1|+2﹣4=0 化简可得:|x+1|=1, 解得:x=0,或 x=﹣2, 所以方程 f(x)﹣4=0 有两个根,分别为 0 和﹣2. 点评: 本题考查的知识点是分段函数的图象和性质,绝对值方程,难度不大,属于基础题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x + , (x≠0,a∈R) (1)讨论 f(x)的奇偶性,并说明理由;
2

(2)已知 a=16,用定义法证明 f(x)在[2,+∞)是单调递增的. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)讨论当 a=0 时,当 a≠0 时,运用函数的奇偶性的定义,即可判断; (2)运用函数的单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤. 解答: (1)解:当 a=0 时,f(x)=x ,此时 f(x)为偶函数; 当 a≠0 时,f(﹣x)=(﹣x) +
2 2

=x ﹣

2

f(﹣x)≠f(x) ,且 f(﹣x)≠﹣f(x) , 则 f(x)不为奇函数也不是偶函数; (2)证明:由 a=16,得 f(x)=x +
2


2

取任意的 m,n∈[2,+∞) ,且 m<n,f(m)﹣f(n)=m =(m﹣n) (m+n)+ =(m﹣n)[(m+n)﹣

﹣n ﹣ ], >0,

2

由于 2≤m<n,则 m﹣n<0,m+n>4,mn>4,则

<4,m+n﹣

故 f(m)﹣f(n)<0,也即 f(m)<f(n) , 所以 f(x)在[2,+∞)上是单调递增的. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力, 属于中档题. 21. (12 分)已知 f(x)=kx +(3+k)x+3,其中 k 为常数,且 k≠0,f(2)=3. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)设函数 g(x)=f(x)﹣mx,若 g(x)在区间[﹣2,+∞)上是单调递减的,求 m 的取 值范围; (3)定义:“若对于任意函数,有 x∈[a,b]时,h(x)∈[a,b],则称 h(x)的保值区间,” 本题中,求 f(x)的保值区间. 考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)运用代入法,求出 k,即可得到解析式; (2)由对称轴和区间的关系,即可得到 m 的范围; (3)令 f(x)=x,结合函数的单调性,即可得到保值区间. 2 解答: 解: (1)f(x)=kx +(3+k)x+3, 代入 f(2)=3 得 4k+2(3+k)+3=3,即 k=﹣1, 2 则 f(x)=﹣x +2x+3; 2 (2)g(x)=f(x)﹣mx=﹣x +(2﹣m)x+3, 已知 g(x)在区间[﹣2,+∞)单调递减, 则 g(x)的对称轴 x=﹣ 解得,m≥6; ≤﹣2,
2

(3)由 f(x)=x 也即﹣x +2x+3=x, 解得 x1= ,x2= ,

2

由 f(x)的单调性可知, f(x)的保值区间为(﹣ ]和[ ) .

点评: 本题考查二次函数的解析式和单调性及运用,考查新定义以及运用,考查运算能力, 属于中档题. 22. (12 分)已知定义在(﹣1,0)∪(0,1)上的偶函数 f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x) = .

(1)求 f(x)的解析式; (2)若 x∈(﹣1,0)时,f(x)<t 恒成立,求实数 t 的取值范围; (3)若常数 S∈(2, ) ,解关于 x 的不等式 Sf(x)﹣1<0.

考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)转化为 x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1)利用已知求解. (2)求解 f(x)的最 大值即可,求出 t 的范围. (3)结合函数的性质,利用均值不等式求解出答案. 解答: 解: (1)当 x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1) f(﹣x)= = ,

∴x∈(﹣1,0)∪(0,1)时,f(x)=



(2)当 x∈(﹣1,0)时,f(x)= 令 m=3 ,m∈( ,1) ,f(m)= m∈( ,1) , ∴f(m)= = ∈( ∈(2, , ) ,
x

, ) ,

由 x∈(﹣1,0)时,f(x)<t 恒成立, ∴t ,

(3)当 x∈(0,1)时,S?f(x)﹣1<0,

>S,

令 3 =t,则 t∈(1,3) , 可得 W=t >S,t =S,t ﹣St+1=0,
2

x

所以 W=t

>0,t∈(

,3) ,

x∈(log3 ∵f(x)为偶函数, ∴x∈(log3

,1)

,1)∪(﹣1,﹣log3



点评: 本题考查了函数的性质,不等式的运用,属于综合题,难度较大.


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