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7.2空间立体几何体的表面积和体积


第二节 空间几何体的表面积和体积

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.多以选择题或填空题的形式考查,有时也以解答题形式考查.

了解球体、柱体、 锥体、 台体的表面积和 体积的计算公式(不要 求记忆公式).

2.常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积,如 2012 年安徽 T12,广东 T6,浙江 T11 等.也可以给出几何体的棱、面满足的条 件来计算表面积或体积,如 2012 年江苏 T7,山东 T13.解答题(其中 的一问)一般给出相关条件来判断几何体形状特征(特别是几何体的 高)并计算体积或表面积,如 2012 年湖南 T18(2),湖北 T19(2)等.

[归纳· 知识整合] 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积公式

S 圆柱侧=2πrl

S 圆锥侧=πrl

S 圆台侧=π(r+r′)l

2.空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 表面积 S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 体积 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ 3 S上S下) h 球 S=4πR2 4 V= πR3 3

台体(棱台和圆台)

S 表面积=S 侧+S 上+S 下

[探究] 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系? 提示:

2.如何求不规则几何体的体积? 提示:常用方法:分割法、补体法、转化法.通过计算转化得到基本几何体的体积来实 现. [自测· 牛刀小试] 1.棱长为 2 的正四面体的表面积是( A. 3 C.4 3 ) B.4 D.16 3 2 ×2 =4 3. 4

解析:选 C 正四面体的各面为全等的正三角形,故其表面积 S=4×

2.(2012· 上海高考)一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2π,该圆柱的表面积为________. 解析:由已知条件得圆柱的底面半径为 1,所以 S 表=S 侧+2S 底=cl+2πr2=2π×2+2π =6π. 答案:6π 3.(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的 3 倍,则表面积扩大为原来的______倍; 体积扩大为原来的______倍. 解析:设原球的半径为 1,则半径扩大后半径为 3, S2 4 则 S1=4π,S2=4π×32=36π,即 =9,所以表面积扩大为原来的 9 倍.由 V1= π,V2 S1 3 4 V2 = π×33=12π,即 =27,所以体积扩大为原来的 27 倍. 3 V1 答案:9 27

4.(2012· 辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

解析:由三视图可知该组合体的上方是一个高为 1,底面直径为 2 的圆柱, 下方是一个长、宽、高分别为 4、3、1 的长方体,如图所示,它的体积 V=1×π +4×3×1=12+π. 答案:12+π 5.(教材习题改编)如图,用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒 的容积是________.

解析:由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长,若设圆锥底面圆半径为 r,则得 2π 1 =2πr, 解得 r=1, 又圆锥的母线长为 2, 所以高为 3, 所以这个圆锥筒的容积为 π×12× 3 3 = 3 π. 3 答案: 3 π 3

几何体的表面积

[例 1] (2012· 北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

)

A.28+6 5 C.56+12 5

B.30+6 5 D.60+12 5

[自主解答] 该三棱锥的直观图如图所示. 据俯视图知, 顶点 P 在底面上的投影 D 在棱 AB 上,且∠ABC=90° , 据正视图知,AD=2,BD=3,PD=4, 据侧视图知,BC=4. 综上所述,BC⊥平面 PAB,PB= PD2+BD2=5,

PC= BC2+PB2= 16+25= 41, AC= AB2+BC2= 41, PA= PD2+AD2=2 5. ∵PC=AC= 41,∴△PAC 的边 AP 上的高为 h= AP?2 PC2-? ? 2 ? =6.

1 1 ∴S△PAB= AB· PD=10,S△ABC= AB· BC=10, 2 2 1 1 S△PBC= PB· BC=10,S△APC= AP· h=6 5. 2 2 故三棱锥的表面积为 S△PAB+S△ABC+S△PBC+S△APC=30+6 5. [答案] B ————— —————————————— 由三视图求几何体表面积的方法步骤 根据三视图 确定几何体 利用有关 ― → ― → 画出直观图 的结构特征 公式计算

1.(2013· 马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为(

)

A.4π C.5π

15π B. 4 17π D. 4

1 解析:选 D 由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了 部分得到的几何体,故 8 7 1 17 表面积为 ·4π·12+3··π·12= π. 8 4 4

几何体的体积

[例 2] (1)(2012· 湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为(

)

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π

(2)(2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是________.

[自主解答] (1)由三视图可知,该组合体上端为一圆柱的一半,下端为圆柱.其体积 V 1 =π×12×2+ ×π×12×2=3π. 2 (2)据三视图可知, 该几何体是一个直四棱柱, 其底面是直角梯形(两底边长分别为 2、 5, 2+5 直腰长为 4,即梯形的高为 4),高为 4.∴该几何体的体积为 V= ×4×4=56. 2 [答案] (1)B ————— (2)56 —————————————— 由三视图求解几何体体积的解题策略 以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构 成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.

2.(2012· 新课标全国卷)如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几 何体的三视图,则此几何体的体积为( )

A.6 C.12

B.9 D.18

解析: 选 B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形高为 3 的三棱 1 1 锥,其体积为 × ×6×3×3=9. 3 2 3.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 2π D. 3

解析:选 A 圆锥的底面半径为 1,高为 2,该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积, 1 2 即 V=23- ×π×12×2=8- π. 3 3

与球有关的切、接问题

[例 3] (2012· 新课标全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. C. 2 6 2 3 B. D. 3 6 2 2 )

[自主解答] △ABC 的外接圆的半径 r=

3 ,点 O 到平面 ABC 的距离 d= R2-r2= 3

6 2 6 1 .SC 为球 O 的直径, 故点 S 到平面 ABC 的距离为 2d= , 故棱锥的体积为 V= S△ABC×2d 3 3 3

1 3 2 6 2 = × × = . 3 4 3 6 [答案] A ————— —————————————— 与球有关的切、接问题的解题策略 解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和 数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以 及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.

4.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2,则这个四棱锥的外接球的表面积为 ( ) A.12π C.72π 解析:选 B B.36π D.108π 依 题意 得, 该 正 四棱 锥的 底 面对角 线 的 长为 3 2 × 2 = 6 , 高为

1 ?3 2?2-? ×6?2=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该四棱锥的外接球的 2 球心即为底面正方形的中心, 其外接球的半径为 3, 所以其外接球的表面积等于 4π×32=36π.

? 3 个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤

? 3 种方法——求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易, 或是求出一些体积比等. (3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算 体积的几何体. ? 1 种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法 计算旋转体的侧面积时, 一般采用转化的方法来进行, 即将侧面展开化为平面图形, “化 曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

创新交汇——空间几何体中体积的最值问题

1.求空间几何体的体积一直是高考考查的重点,几乎每年都考查,既可以与三视图结 合考查,又可以单独考查.而求空间几何体体积的最值问题,又常与函数、导数、不等式等 知识交汇考查. 2.求解空间几何体最值问题,可分为二步:第一步引入变量,建立关于体积的表达式; 第二步以导数或基本不等式为工具求最值. [典例] (2012· 湖北高考(节选))如图 1,∠ACB=45° ,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂 足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90° (如图 2 所 示).当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大?

[解] 如图 1 所示的△ABC 中,设 BD=x(0<x<3),则 CD=3-x. 由 AD⊥BC,∠ACB=45° 知△ADC 为等腰直角三角形,所以 AD=CD=3-x. 由折起前 AD⊥BC 知,折起后(如图 2),AD⊥DC,AD⊥DC,且 BD∩DC=D,所以 AD ⊥平面 BDC, 1 1 ∠BDC=90° ,所以 S△BCD= BD· CD= x(3-x). 2 2 1 1 1 于是 VA-BCD= AD· S△BCD= (3-x)·x(3-x). 3 3 2 1 法一:VA-BCD= (x3-6x2+9x). 6 1 令 f(x)= (x3-6x2+9x). 6 1 由 f′(x)= (x-1)(x-3)=0,且 0<x<3,解得 x=1. 2 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,3)时,f′(x)<0, 所以当 x=1 时,f(x)取得最大值,即 BD=1 时, 三棱锥 A-BCD 的体积最大. 法二:VA-BCD= 1 1 ?2x+?3-x?+?3-x??3 2 · 2x(3-x)(3-x)≤ · 12 12 ? 3 ? =3,

当且仅当 2x=3-x,即 x=1 时,取“=”. 故当 BD=1 时,三棱锥 A-BCD 的体积最大. [名师点评]

解答此题的关键是恰当引入变量 x,即令 BD=x,结合位置关系列出体积的表达式,将 求体积的最值问题转化为求函数的最值问题. [变式训练] 如图,动点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M,N.设 BP=x, MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

解析:选 B 显然,只有当 P 移动到中心 O 时,MN 有唯一的最大值,淘汏选项 A、C; P 点移动时,取 AA1 的中点 E,CC1 的中点 Q,平面 D1EBQ 垂直于平面 BB1D1D,且 M、N 两点在菱形 D1EBQ 的边界上运动,故 x 与 y 的关系应该是线性的,淘汰选项 D,选 B.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π, 则圆台较小底面的半径为( A.7 C.5 解析:选 A 设圆台较小底面半径为 r, 则另一底面半径为 3r. 由 S=π(r+3r)· 3=84π,解得 r=7. 2.(2013· 长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图 是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( 3 A. π 2 C.3π B.2π D.4π ) ) B.6 D.3

1 解析:选 A 依题意知,该几何体是一个底面半径为 、高为 1 的圆柱,则其全面积为 2

1?2 1 3 2π×? ?2? +2π×2×1=2π. 3.(2012· 广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A.72π C.30π

B.48π D.24π

1 4 1 解析:选 C 此几何体由半个球体与一个圆锥组成,其体积 V= × π×33+ 2 3 3 π×32× 52-32=30π. S1 4.(2013· 广州模拟)设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则 的值 S2 等于( 2 A. π π C. 6 ) 6 B. π π D. 2

3 2 3 解析:选 D 设球的半径为 R,其内接正方体的棱长为 a,则易知 R2= a2,即 a= 4 3 S1 R,则 = S2 4πR2 π = . 2 3 ?2 2 6×? ? 3 R? )

5.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

解析: 选 C 由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧 面贴在地面上),直观图如图,底面是等腰梯形,其上底长为 2,下底

长为 4,高为 4, 1 ∴两底面积和为 2× ×(2+4)×4=24, 2 四个侧面的面积为 4×(4+2+2 17)=24+8 17, ∴几何体的表面积为 48+8 17. 6.已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起, 使平面 ABC⊥平面 ACD,得到如图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边 的中点,M,N 分别为线段 DC,BO 上的动点(不包括端点),且 BN=CM. 设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数图象大致是( )

解析:选 B 由平面 ABC⊥平面 ACD,且 O 为 AC 的中点可知,BO⊥平面 ACD,易知 1 BO=2,故三棱锥 N-AMC 的高为 ON=2-x,S△AMC= MC· AD= 2x,故三棱锥 N-AMC 2 1 1 的体积为 y=f(x)= · (2-x)· 2x= (- 2x2+2 2x)(0<x<2),函数 f(x)的图象为开口向下的抛 3 3 物线的一部分. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.

解析:由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,其表面积 S=(4+2+5+ 1 5)×4+2× ×(2+5)×4=92. 2 答案:92 8.(2012· 江苏高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm, 则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________cm3.

解析:由题意,四边形 ABCD 为正方形,连接 AC,交 BD 于 O,则 AC⊥BD.由面面垂 直的性质定理,可证 AO⊥平面 BB1D1D.四棱锥底面 BB1D1D 的面积为 3 2×2=6 2,从而 1 VA-BB1D1D= ×OA×S 长方形 BB1D1D=6. 3 答案:6 9.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积为________.

解析:该棱锥的直观图如图,取 CD 的中点 E,BD 的中点 F,由三视 图知,AE⊥平面 BCD,AF=5,AE= 52-32=4,∠CBD=90° .设 O 为该 棱锥外接球的球心,半径为 R,由题知 BO2=BE2+EO2,即 R2=(3 2)2+ 17?2 289π 17 (R-4)2,解得 R= ,故球的表面积为 S=4×π×? ?4? = 4 . 4 289π 答案: 4 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)

10.(2013· 杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90° ,∠ADC =135° ,AB=5,CD=2 2,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成 几何体的表面积及体积. 解:由已知得:CE=2,DE=2,CB=5, S 表面=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2 2=(60+4 2)π,V=V 圆台 1 1 148 52π2)×4- π×22×2= π. -V 圆锥= (π·22+π·52+ 22· 3 3 3 11.(2013· 郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行四 边形,侧视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S. 解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底 面是边长为 1 的正方形,高为 3. 所以 V=1×1× 3= 3. (2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平 面 BCC1B1,所以 AA1=2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, 所以 S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3. 12.如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 ADD1A1 中,点 B、C 在线段 AD 上,且 AB=3, BC=4,作 BB1∥AA1 分别交 A1D1、AD1 于点 B1、P,作 CC1∥AA1 分别交 A1D1、AD1 于点 C1、 Q, 将该正方形沿 BB1、 CC1 折叠, 使得 DD1 与 AA1 重合, 构成如图 2 所示的三棱柱 ABC -A1B1C1.

(1)求证:AB⊥平面 BCC1B1; (2)求多面体 A1B1C1-APQ 的体积. 解:(1)由题知,在图 2 中,AB=3,BC=4,CA=5, ∴AB2+BC2=CA2,∴AB⊥BC. 又∵AB⊥BB1,BC∩BB1=B,∴AB⊥平面 BCC1B1. 1 (2)由题易知三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 ×3×4×12=72. 2 ∵在图 1 中,△ABP 和△ACQ 都是等腰直角三角形, ∴AB=BP=3,AC=CQ=7, 1 1 1 ∴VA-CQPB= ×S 四边形 CQPB×AB= × ×(3+7)×4×3=20. 3 3 2 ∴多面体 A1B1C1-APQ 的体积 V=VABC-A1B1C1-VA-CQPB=72-20=52.

1.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,且正视图、侧视图都是矩形,则该 几何体的体积是( )

A.24 C.8

B.12 D.4

解析:选 B 依题意知,该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的部分,因 1 此其体积等于 2×3×4- ×2×3×4=12. 2 2.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A.32 C.48

B.16+16 2 D.16+32 2

解析:选 B 该空间几何体是底面边长为 4、高为 2 的正四棱锥,这个四棱锥的斜高为 1 2 2,故其表面积是 4×4+4× ×4×2 2=16+16 2. 2 3.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形 和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是________. 解析:由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜高 为 3 2 1 2 2 ,连接顶点和底面中心即为高,可求得高为 ,所以体积 V= ×1×1× = . 2 2 3 2 6 答案: 2 6

4.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发,沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________cm.

解析:根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如

图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为 52+122=13 (cm).

答案:13


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