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【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章 §3.1.1方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1


3.1.1
【学习要求】

方程的根与函数的零点

1.了解函数零点的概念, 领会方程的根与函数零点之间的关系; 2.掌握函数零点存在性判定定理; 3.能结合图象求解零点问题. 【学法指导】 通过函数零点概念的建立,感知函数与方程的密切联系,进一 步加深对函数方程思想的理解,同时体验数学中的转化思想的 意义和价值.

1.函数的零点 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的 零点 . 2.方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)=0有实数根?函数 y=f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数 y=f(x) 有零点 .

3.函数零点的存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 f(b)<0 ,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b) 曲线,并且有 f(a)· 内有零点 ,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就 是方程 f(x)=0 的根.

问题情境:下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化 模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有 一段被墨水污染了, 有人想了解一下当天 7 时到 11 时之间有 无可能出现温度是 0 摄氏度,你能帮助他做出正确判断吗?

探究点一 问题 1

函数零点的定义

考察下列一元二次方程与对应的二次函数:

(1)方程 x2-2x-3=0 与函数 y=x2-2x-3; (2)方程 x2-2x+1=0 与函数 y=x2-2x+1; (3)方程 x2-2x+3=0 与函数 y=x2-2x+3. 你能列表表示出方程的根,函数的图象及图象与 x 轴交点 的坐标吗?


方程 函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象与 x 轴的交点 (-1,0)、(3,0) (1,0) x1=x2=1 无实数根 无交点 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3

问题 2 从你所列的表中你能得出什么结论? 答 方程根的个数与对应函数与 x 轴交点的个数相同,方
程的根是函数与 x 轴交点的横坐标. 问题 3 问题 2 得出的结论对一元二次函数 y=ax2 +bx+c

(a≠0)和相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)也成立吗? 你能根据判别式的不同情况也用列表的形式加以说明吗?
答 问题 2 中得出的结论在一般一元二次函数与一元二次 方程间仍然成立,如下表所示:

判别式 Δ=b -4ac
2 2

Δ>0 有两个不

Δ=0 有两个相等 的实数根 x1=x2

Δ<0

方程 ax +bx+c=0 相等的实 (a≠0)的根 函数 y=ax2 +bx+c (a>0)的 图象 函数的图象 与 x 轴的交点 (x1,0), (x2,0) 数根 x1、x2

没有实数根

(x1,0)

没有交点

所以一元二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是相应一 元二次方程的实数根.
问题 4 我们把使函数 f(x)=x2-2x-3 的值等于零的实数 -1,3 叫做函数 f(x)=x2-2x-3 的零点.那么你能给函数 y=f(x)的零点下个定义吗?
答 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点.

问题 5 函数 y=f(x)有零点可等价于哪些说法?
答 函数 y=f(x)有零点?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点? 方程 f(x)=0 有实数根.

问题 6

你能说出函数①y=lg x;②y=lg(x+1); ③y=2x;

④y=2x-2 的零点吗?

答 ①y=lg x 的零点是 x=1;
②y=lg(x+1)的零点是 x=0;

③y=2x 没有零点;

④y=2x-2 的零点是 x=1.

例1

已知函数 y=ax2+bx+c, ac<0, 若 则函数 f(x)的零点 ( C ) B.1 C.2 D.不确定

个数是 A.0

解析 因 ac<0,所以 Δ=b2-4ac>0,

所以函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,即函 数 f(x)的零点个数为 2.
小结 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也 就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,所以函数的 零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的 一定是一个数字,而不是一个坐标.

跟踪训练 1 若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为 2, 那么 函数 g(x)=bx2-ax 的零点是 1 A.0,- 2 C.0,2
解析 ∵a≠0,2a+b=0,

( A ) 1 B.0, 2 1 D.2,- 2

1 a ∴b≠0,b=-2.
1 a 令 bx -ax=0,得 x=0 或 x=b=-2.
2

探究点二 问题 1

函数零点存在性定理

观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图

象,发现这个二次函数在区间[-2,1]上有 零点 x=-1,而 f(-2)>0,f(1)<0,即 f(-2)· f(1)<0.二次函数在区间[2,4]上有零 点 x=3,而 f(2)<0,f(4)>0,即 f(2)· f(4)<0. 由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?

答 函数零点存在性定理:如果函数 y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那 么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b), 使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.

问题 2


如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是间断的, 上
不一定成立,由右图可知.

述定理成立吗?

问题 3 反过来,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线, 函数 y=f(x)在区间(a, b)上存在零点, f(a)· f(b)<0 是否一定成立?
答 不一定成立,由右图可知.

问题 4

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断

的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,满足了上述两个条件后, 函数的零点是唯一的吗? 还要添加什么条件可以保证函 数有唯一零点?
答 函数零点不一定唯一,由下图可知,还需添加函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调.

小结

函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,但不一定有

f(a)· f(b)<0.也就是说上述定理不可逆.

例2

x
f(x)

求函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点的个数.
用计算器或计算机作出 x、 f(x)的对应值表和图象如下:
1 2 3
1.098 6

4
3.386 3

5
5.609 4

6
7.791 8

7
9.945 9

8
12.079 4

9
14.197 2

-4 -1.306 9

由上表和图象可知 f(2)<0,f(3)>0,
即 f(2)· f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点.
由于函数 f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有 一个零点.

小结 方法一

本题不用计算列表、画图象也可得到结论: 寻找函数值符号的变化规律,如 f(2),f(3)的符号,

由 f(2)=ln 2-2=ln 2-ln e2<0,f(3)=ln 3+0>0,所以 f(2)· f(3)<0. 方法二 通过作出函数 y=ln x,y=-2x+6 的图象,观察两 图象的交点个数得出结论.也就是将函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点个数转化为函数 y=ln x 与 y=-2x+6 的图象交点的 个数.

跟踪训练 2

根据表格中的数据,可以断定方程 ex-(x+2) ( C ) 2 4 C.(1,2) 3 5 D.(2,3) -1 0 1 2

=0(e≈2.72)的一个根所在的区间是 x ex x+2 A.(-1,0) 1 3

0.37 1 2.72 7.40 20.12

B.(0,1)

解析 令 f(x)=ex-(x+2),
则 f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0, f(2)=7.40-4=3.40>0.

由于 f(1)· f(2)<0,
∴方程 ex-(x+2)=0 的一个根在(1,2)内.

例3

求函数 f(x)=2x+lg(x+1)-2 的零点个数.

解 方法一 ∵f(0)=1+0-2=-1<0, f(1)=2+lg 2-2>0,

∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.
又显然 f(x)=2x+lg (x+1)-2 在(0,+∞)上为增函数.

故 f(x)有且只有一个零点.

方法二 在同一坐标系下作出 h(x)=2-2x 和 g(x)=lg (x+1) 的草图.
由图象知 g(x)=lg (x+1)的图象和 h(x) =2-2x 的图象有且只有一个交点,

即 f(x)=2x+lg (x+1)-2 有且只有一个 零点.

小结

判断函数零点的个数的方法主要有:(1)可以利用零点

存在性定理来确定零点的存在性,然后借助于函数的单调性 判断零点的个数.(2)利用函数图象判定函数零点的个数.

跟踪训练 3 已知 a∈R, 讨论关于 x 的方程|x2-6x + 8|=a 的实数解的个数.
解 令 f(x)=|x2-6x + 8|, g(x)=a, 在同一坐标系中画出 f(x) 的图象,如图所示,

f(x)=|(x-3)2-1|,
下面对 a 进行分类讨论,由图象得,
当 a<0 时,原方程无实数解;
当 a=1 时,原方程实数解的个数为 3;
当 0<a<1 时,原方程实数解的个数为 4;

当 a>1 或 a = 0 时,原方程实数解的个数为 2.

1.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则 实数 m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) ( C )

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 Δ=m2-4>0,m>2 或 m<-2,应选 C.

2.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点 A.至少有一个 C.有且只有一个 B.至多有一个 D.可能有无数个

( B )

解析 由于函数 y=f(x)在 R 上递增,
所以函数的图象最多与 x 轴有一个交点,即函数 y=f(x)的 零点至多有一个.

3.函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) C.(0,1)
解析 ∵f(x)=ex+x-2, f(0)=e0-2=-1<0, f(1)=e1+1-2=e-1>0,

( C )

B.(-1,0) D.(1,2)

∴f(0)· f(1)<0,

∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.

1.方程 f(x)=g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标, 也是函数 y=f(x)-g(x)的图象与 x 轴交点的横坐标. 2.在函数零点存在性定理中,要注意三点:(1)函数是连续的; (2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点. 3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种: (1)用定理; (2)解方程;(3)用图象. 4.函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函 数问题求解,同样,函数问题有时化为方程问题,这正是 函数与方程思想的基础.


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