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(新课标人教A版)数学必修二第三章整合复习ppt课件


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要点归纳 1.详析直线的倾斜角与斜率 (1) 倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜 程度,但倾斜角 α 是角度(α∈[0° ,180° )),是倾斜度的直接体 现; 斜率 k 是实数(k∈(-∞, +∞)), 是倾斜程度的间接反映. 在 解题的过程中,用斜率往往比用倾斜角更方便.

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(2)倾斜角与斜率的对应关系: 当 α=90° 时, 直线的斜率不存在; 当 α≠90° 时, 斜率 k=tan α, 且经过两点 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1≠x2) y2-y1 的直线的斜率 kAB= . x2-x1 (3)当 α 由 0° →90° →180° (不含 180° )变化时, k 由 0(含 0)逐渐增 大到+∞(不存在),然后由-∞(不存在)逐渐增大到 0(不含 0).

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2.直线的五种方程及比较 名称 方程 常数的几何意义 (x0,y0)是直线上 点斜式 y-y0=k(x-x0) 的一个定点,k是 直线不垂直于x轴 斜率 斜截式 y=kx+b k是斜率,b是直 线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 适用条件

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两点 式

y-y1 = y2-y1 x-x1 x2-x1 x y a+b=1

(x1,y1),(x2, y2)是直线上的 直线不垂直于 x 轴和 y 轴 两个定点 a,b 分别是直 线在 x 轴,y 轴 上的非零截距 直线不垂直于 x 轴和 y 轴, 且不过原点

截距 式

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一般式

Ax+By+C=0 A, B 不同时为 0

A,B,C 为系数

任何情况 斜率不存 在 斜率 k=0

特殊 直线

x=a(y 轴: x=0) 垂直于 x 轴且过点(a,0) 垂直于 y 轴且过点(0, b)

y=b(x 轴: y=0)

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解题时要根据题目条件灵活选择,注意其适用条件:点斜式和 斜截式不能表示斜率不存在的直线,两点式不能表示与坐标轴 垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线, 一般式虽然可以表示任何直线,但要注意 A2+B2≠0,必要时 要对特殊情况进行讨论.

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3.深入理解两直线的平行与垂直 直线 l1:y=k1x+b1, l1:A1x+B1y+C1=0,

方程
平行的等价条件

l2:y=k2x+b2
l1∥l2?k1=k2且 b1≠b2

l2:A2x+B2y+C2=0
l1∥l1?A1B2-A2B1=0, 且B1C2-B2C1≠0 l1⊥l2?A1A2+B2B1=0

垂直的等价条件 l1⊥l2?k1·k2=-1

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由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时,要注意条件 的限制;同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的 系数关系时,要根据题目条件设出合理的直线方程.

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4.直击距离问题
类型 两点间 的距离 点到直线 的距离 两条平行直 线间的距离 已知条件 A(x1,y1),B(x2,y2) P(x0, y0) l:Ax+By+C =0 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0(A, B 不同时为 0) |C2-C1| d= 2 A +B2 公式 d= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 |Ax0+By0+C| d= A2+B2

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学习时要注意特殊情况下的距离公式,并注意利用它的几何意 义,解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.

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5.妙用直线系方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一,它把具有 某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程,然后根据直 线所满足的其他条件确定出参数的值,进而求出直线方程.直 线系方程的常见类型有:

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(1)过定点 P(x0,y0)的直线系方程是:y-y0=k(x-x0)(k 是参数, 直线系中未包括直线 x=x0),也就是平常所提到的直线的点斜 式方程; (2)平行于已知直线 Ax+By+C=0 的直线系方程是: Ax+By+λ =0(λ 是参数,λ≠C); (3)垂直于已知直线 Ax+By+C=0 的直线系方程是: Bx-Ay+λ =0(λ 是参数);

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(4)过两条已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2= 0 的交点的直线系方程是: A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ 是参数,当 λ=0 时,方程变为 A1x+B1y+C1=0,恰好表示直 线 l1;当 λ≠0 时,方程表示过直线 l1 和 l2 的交点,但不含直线 l1 和 l2 的任一条直线).

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6.“对称”问题的解题策略 对称问题主要有两大类:一类是中心对称,一类是轴对称. (1)中心对称 ①两点关于点对称,设 P1(x1,y1),P(a,b),则 P1(x1,y1)关于 P(a,b)对称的点为 P2(2a-x1,2b-y1),即 P 为线段 P1P2 的中 点.特别地,P(x,y)关于原点对称的点为 P′(-x,-y). ②两直线关于点对称,设直线 l1,l2 关于点 P 对称,这时其中 一条直线上任一点关于点 P 对称的点在另一条直线上,并且 l1 ∥l2,P 到 l1,l2 的距离相等.
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(2)轴对称 ①两点关于直线对称,设 P1,P2 关于直线 l 对称,则直线 P1P2 与 l 垂直, 且线段 P1P2 的中点在 l 上, 这类问题的关键是由“垂 直”和“平分”列方程. ②两直线关于直线对称,设 l1,l2 关于直线 l 对称. 当三条直线 l1, l2, l 共点时, l 上任意一点到 l1, l2 的距离相等, 并且 l1, l2 中一条直线上任意一点关于 l 对称的点在另外一条直 线上; 当 l1∥l2∥l 时,l1 与 l 间的距离等于 l2 与 l 间的距离.

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专题一

直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角 α 的范围是 0° ≤α<180° ,任何一条直线都有唯 一的倾斜角,它决定着直线的倾斜方向.斜率 k 是由倾斜角 α 定义的,即 k=tan α,所以当 α=90° 时,直线的斜率不存在, 当 α>90° 时,k<0;当 0° <α<90° 时,k>0;当 α=0° 时,k= 0.直线的斜率还可以由直线上的两点的坐标求得:即经过两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的直线的斜率,当 x1=x2 时,斜率不存在; y2-y1 y1-y2 当 x1≠x2 时,k= = . x2-x1 x1-x2
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【例 1】 求经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾 斜角 α 的取值范围. 解 当 m=1 时,直线斜率不存在,此时直线的倾斜角 α=90° . 当 m≠1 时, 3- 2 1 由斜率公式可得,k= = , m-1 m-1 1 ①当 m>1 时,k= >0, m-1 所以直线的倾斜角的取值范围是:0° <α<90° ; 1 ②当 m<1 时,k= <0, m-1 所以直线的倾斜角的取值范围是:90° <α<180° .
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专题二 直线的方程及其应用 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式在表示直线时都 有各自的限制条件.只有直线方程的一般式则可以表示所有直 线.在解题的时候,如果没有特别说明,最后的结果都要化成 一般式.确定直线的方程有两种方法:(1)待定系数法,在设点 的时候, 要注意对斜率不存在的直线的讨论; (2)用轨迹的定义, 从直线的几何性质出发,建立方程.

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【例 2】 过点 P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线, 使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,求这两条直线方程. 解 (1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为 x

=-1,x=0,它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,符合题意; (2)当直线的斜率存在时,设其斜率为 k,则两条直线的方程分 别为 y=k(x+1),y=kx+2.令 y=0, 2 分别得 x=-1,x=- k.

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? 2? 由题意?-1+k?=1,即 ? ?

k=1.

∴直线的方程为 y=x+1,y=x+2, 即 x-y+1=0,x-y+2=0. 综上可知,所求的直线方程为 x=-1,x=0, 或 x-y+1=0,x-y+2=0.

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专题三

直线的位置关系

两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种,主要考查两条 直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直 线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在,用一般式方 程来判断,可以避免讨论斜率不存在的情况.

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【例 3】 已知两条直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b =0,求分别满足下列条件的 a、b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与直线 l2 垂直. (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1、l2 的距离相等.

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(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)· 1=0

即 a2-a-b=0① 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0.② 由①②解得 a=2,b=2.

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(2)∵l1∥l2 且 l2 的斜率为 1-a, a a ∴l1 的斜率也存在, =1-a,b= . b 1-a 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为 4?a-1? l1:(a-1)x+y+ =0, a a l2:(a-1)x+y+ =0. 1-a ∵原点到 l1 与 l2 的距离相等,
?a-1? ? a ? ? ? ? ∴4? = ? a ? ?1-a?,a=2 ? ? ? ? ? ?a=2 因此? ? ?b=-2

2 或 a= . 3

2 ? ?a= 或? 3 . ? ?b=2
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专题四

交点、距离问题

求直线的交点坐标,计算点与点、点与线之间的距离,多数不 单独命题,通常与直线方程、直线的位置关系一起考查,要做 到熟记公式,准确计算.交点、距离问题中以直线过定点问题 和对称问题最有代表性.

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【例 4】 (2012· 长春高一检测)已知正方形的中心为直线 x-y +1=0 和 2x+y+2=0 的交点,正方形一边所在直线方程为 x +3y-2=0,求其它三边方程.

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? ?x-y+1=0, 由? ? ?2x+y+2=0,

? ?x=-1, 得? ? ?y=0,

∴中心坐标为(-1,0). |-1-2| 3 ∴中心到已知边的距离为 2 , 2= 10 1 +3 设正方形相邻两边方程为 x+3y+m=0 和 3x-y+n=0. ∵正方形中心到各边距离相等, |-1+m| |-3+n| 3 3 ∴ = 和 = , 10 10 10 10 ∴m=4 或 m=-2(舍),或 n=6 或 n=0. ∴其他三边方程为 x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.
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专题五 对称问题 对称问题的常见类型为: (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点 P(x,y)关 于 Q(a,b)的对称点为 P′(2a-x,2b-y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求. 设 l 的方程为 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点 P(x0,y0),求 l 关 于 P 点的对称直线方程. 设 P′(x′,y′)是对称直线 l′上任意一点,它关于 P(x0,y0) 的对称点(2x0-x′,2y0-y′)在直线 l 上,代入得 A(2x0-x′) +B(2y0-y′)+C=0.
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(3)点关于直线的对称点,要抓住“垂直”和“平分”. 设 P(x0,y0),l:Ax+By+C=0(AB≠0),若 P 关于 l 的对称点 Q 的坐标为(x,y),则 l 是 PQ 的垂直平分线,即①PQ⊥l;② PQ 的中点在 l 上.解方程组
? A? ? ?y-y0· ?- ?=-1, ?x-x0 ? B? ? y+y0 ? x+x0 A· 2 +B· 2 +C=0, ? ?

可得 Q 点的坐标. (4) 求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线对 称.
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【例 5】 已知直线 l:y=3x+3,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点坐标; (2)直线 y=x-2 关于 l 的对称直线的方程; (3)直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线的方程.

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解 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x′,y′), 则线段 PP′的中点 M 在直线 l 上,且直线 PP′垂直于直线 l, ? ?y′+5=3×x′+4+3, 2 ? 2 即? ?y′-5 ×3=-1, ? ?x′-4 ∴P′点坐标为(-2,7).
? ?x′=-2, 解得? ? ?y′=7.

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5 ? ? ?x=-2, ?y=3x+3, (2)解方程组? 得? ? ?y=x-2, ?y=-9, 2 ?
? 5 9? 则点?-2,-2?在所求直线上. ? ?

在直线 y=x-2 上任取一点 M(2,0),设点 M 关于直线 l 的对称 点为 M′(x0,y0), ? ?y0=3×x0+2+3, 2 ?2 则? ? y0 ×3=-1, ? ?x0-2

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17 ? ?x0=- 5 , 解得? ?y0=9. 5 ?



? 17 9? M′?- 5 ,5?也在所求直线上. ? ?

9 5 y+2 x+2 由两点式得直线方程为9 9= 17 5, 5+2 - 5 +2 化简得 7x+y+22=0,即为所求直线方程.

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(3)在直线 l 上取两点 E(0,3),F(-1,0), 则 E,F 关于点 A(3,2)的对称点为 E′(6,1),F′(7,4). 因为点 E′,F′在所求直线上, y-1 x-6 所以由两点式得所求直线方程为 = , 4-1 7-6 即 3x-y-17=0.

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命题趋势 从近几年的考情来看,直线的方程和两条直线的位置关系是高 考考查的热点.其中求直线的方程时需要充分利用平面几何知 识,主要求解方法有数形结合法、待定系数法、轨迹法等,在 求解时,一定要注意直线方程的各种形式的局限性.平行与垂 直是平面内两条直线特殊的位置关系.高考一般考查平行或垂 直的判断、平行或垂直条件的应用.

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高考真题 1.(2011· 安徽,4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线 方程是( ). B.x-2y+1=0

A.x-2y-1=0

C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 解析 ∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行,∴所求直线斜率 1 k=2,排除 C、D.又直线过点(1,0),排除 B,故选 A. 答案 A

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2.(2009· 安徽,7)直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂 直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 ). B.3x+2y+7=0

C.2x+3y+5=0 D.2x-3y+8=0 解析 由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜率 3 3 是-2,由点斜式可得直线 l 的方程为 y-2=-2(x+1),即 3x +2y-1=0. 答案 A
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3.(2009· 上海,15)已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2: 2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( A.1 或 3 C.3 或 5 B.1 或 5 D.1 或 2 ).

解析 ∵l1∥l2,∴-2×(k-3)-2(k-3)(4-k)=0,(k-3)(k- 5)=0,∴k=3 或 5. 答案 C

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4.(2008· 四川,4)将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右 平移 1 个单位,所得到的直线为( 1 1 A.y=- x+ 3 3 1 B.y=- x+1 3 ).

1 C.y=3x-3 D.y=3x+1 解析 1 将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 得到直线 y=-3x,

1 再向右平移 1 个单位,所得到的直线为 y=-3(x-1), 1 1 即 y=-3x+3,故选 A 答案 A
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5.(2009· 全国Ⅰ,16)若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以 是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)

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解析

设直线 m 与 l1、l2 分别交于 A、B 两点,过 A 作 AC⊥l2

|3-1| 于 C,则|AC|= = 2. 2 又|AB|=2 2,∴∠ABC=30° . 又直线 l1 的倾斜角为 45° . ∴直线 m 的倾斜角为 45° +30° =75° 或 45° -30° =15° . 答案 ①⑤

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6.(2011· 浙江卷)若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互 相垂直,则实数 m=________. 解析 ∵直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直, ∴

1×2+(-2)m=0,∴m=1. 答案 1

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7.(2008· 江苏,9)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C(c,0);点 P(0,p)为线段 AO 上的一点(异于端点),这里 a,b,c,p 为非零常数.设直 线 BP、CP 分别与边 AC、AB 交于点 E、F.某同学已正确求得 直线 OE
?1 1? ? 1 1? 的方程:?b-c ?x+?p-a?y=0,请你完成直线 ? ? ? ?

OF 的方

?1 1? 程:(________)x+?p-a?y=0. ? ?

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解析

1 1 取等边△ABC 的中点为 P,由对称性可猜想填 c - . b

x y x y 由截距式可得直线 AB: + =1,直线 CP: + =1, b a c p
?1 1? ?1 1? 两式相减得? c-b?x+?p-a?y=0, ? ? ? ?

显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程, 又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 OF 的方程. 1 1 答案 c-b

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