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2012届广东省六校高三第二次联考试题(数学文)


广东省六校 2012 届高三第二次联考试题(数学文) (2011.11)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:答卷时,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室、座 位号填写在答题卡上。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 前 8 项的和为( A.128 B.80 C.64 2.“ ? 为锐角”是“ sin ?>0 ”的( ) A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 D.56 )

B.必要非充分条件 D.充要条件 )

3.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是( .. A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 B.所有能被 2 整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数

4.设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c C. c ? a ? b 5. 函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ? B. b ? a ? c D. b ? c ? a

2 5

2

2 5

3

3 5

2



?
2

5? ) 的图像的一条对轴方程是( 2
B. x ? ?

) D. x ? ) D. (1, 2) )

?

4

C. x ?

?

8

5? 4

6. 函数 f ( x) ? ex ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( A. (?2, ?1) B. (?1, 0) C. (0,1)

7.曲线 f ( x) ? x ln x ? x 在点 x ? 1 处的切线方程为( A. y ? x ? 1 C. y ? 2 x ? 1 B. y ? x ? 1 D. y ? 2 x ? 1

8. 如果向量 a ? (k ,1) 与 b ? (2, k ? 1) 共线且方向相反,那么 k 的值为( A.-1 B.2 C.1 D. -2 ) y

?

?



9. 函数 y ? ? x ? b 与 y ? b ? x (b ? 0且b ? 1) 的图像可能是( y y y

0 A

x

0 B

x

0 C

x

0 D )

x

10.设偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? 2x ? 4( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} =( A. {x | x ? ?2或x ? 4} C. {x | x ? 0或x ? 6} B. {x | x ? 0或x ? 4} D. {x | x ? ?2或x ? 2}

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.计算 (lg
1 ? 1 ? lg 25) ? 100 2 =____________ 4

12 . 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x? 2 ) ? ? f ( x , 且 当 x ? ( 2 , 4 时 , f ( x) ? x 3, 则 ) ) ? =_______ f ( 2 0 1 1)

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 13.若变量 x, y 满足 ? 则 z ? x ? y 的最大值是 x ? 0, ? ?y ? 0 ?

, 14.已知 a,b,c 分别是 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a ? 1 b ? 3, B 是 且
A 与 C 的等差中项,则 sin A =

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log3 (? x2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A ,g ( x) ? x2 ? 2 x ? 2, x ? R 的值域 为集合 B , U ? [?6, ??) . (1)求 A 和 B ; (2)求 A ? B 、 CU ( A ? B) .

16.(本小题满分 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方 米的楼房. 经测算, 如果将楼房建为 x( x ≥10) 层, 则每平方米的平均建筑费用为 560 ? 48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用 ? 平均建筑费用 ? 平均购地费用,平均购地费用 ?

购地总费用 建筑总面积



17. (本小题满分 14 分)

( 1 - (, 的夹角为 已知向量 m ? sin B, cos B) 且与向量 n ? 1 0) ,
的内角. (1)求角 B 的大小;

??

?

? , 其中 A, B, C 是 ?ABC 3

(2)求 sin A ? sin C 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分) 已知 S n 是数列 ?an ?的前 n 项和,且 a1 ? 2 , 当n ? 2 时有 S n ? 3S n?1 ? 2 . (1)求证 {S n ? 1} 是等比数列; (2)求数列 ?an ?的通项公式.

19.(本小题满分 14 分) 若函数 f ( x ) ? x ?

a ? ln x , x

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)函数 f (x) 是否存在极值.

20. (本小题满分 14 分) 设奇函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ?

1 k n?k )(k ? 0,1, 2, …, n) 的值; (1) 求 f ( ) 和 f ( ) ? f ( 2 n n 1 2 n ?1 1 ) ? f (1) ? f ( ) ,数列 (2) 数列 ?an ?满足: an = f (0) + f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( n n n 2

1 . 2

?an ?是等差数列吗?请给予证明;
(3) 设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, ?an ?是满足(2)中条件的数列,
证明:

?|
n ?1

s

(m ? 1)nan?1 ? (kn ? n ? k ? 1)an |? (

s ?1 2 ) | m ? k | (s ? 1, 2,…) . 2

2011-2012 学年度高三六校联考模拟考试试题(2011.11)

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 4 道题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. -20 12.6 13.2 14.

1 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log3 (? x2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A ,g ( x) ? x2 ? 2 x ? 2, x ? R 的值域 为集合 B , U ? [?6, ??) . (1)求 A 和 B ; (2)求 A ? B 、 CU ( A ? B) .

2 解:(1) 解 ? x ? x ? 2 ? 0 得, ?1 ? x ? 2

? A ? {x | ?1 ? x ? 2}

??????????????3 分

? y ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ?1)2 ? 1 ? 1 ? B ? {y | y ? x2 ? 2x ? 2, x ? R} ? { y | y ? 1}
???????????6 分

(2) 由(1)得, A ? B ? -1, 2) [1, ??)=[1, 2) ???????????8 分 ( ?

A ? B ? -1, 2) [1, ??)? (?1, ??) ???????????10 分 ( ?
所以, CU ( A ? B) ? [?6, ?1] ???????????12 分 16.(本小题满分 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方 米的楼房. 经测算, 如果将楼房建为 x( x ≥10) 层, 则每平方米的平均建筑费用为 560 ? 48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用 ? 平均建筑费用 ? 平均购地费用,平均购地费用 ? 解法一:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x ) 元,则

购地总费用 建筑总面积



???????????2 分

f ( x) ? ? 560 ? 48 x ? ?


2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ( x ≥10,x ? Z ? ) ?????5 2000 x x

? 48 x ?

10800 10800 ? 2 48 x ? ? 1440 ?????????7 分 x x
10800 ,即 x ? 15 时取等号?????????9 分 x

当且仅当 48x ?

因此,当 x ? 15 时, f ( x ) 取最小值 560 ? 1440 ? 2000 ?????????11 分 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层.?????????12 分 解法二:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x ) 元,则 ???????????2 分

f ( x) ? ? 560 ? 48 x ? ?


2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ( x ≥10,x ? Z ? ) ?????5 2000 x x
?????????7 分

f ?( x) ? 48 ?

10800 x2

令 f ?( x) ? 0 得 x ? 15 当 x ? 15 时, f ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, f ?( x) ? 0 ?????????9 分 因此当 x ? 15 时, f ( x ) 取最小值 f (15) ? 2000 ?????????11 分 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层.?????????12 分 17. (本小题满分 14 分)

( 1 - (, 的夹角为 已知向量 m ? sin B, cos B) 且与向量 n ? 1 0) ,
内角. (1)求角 B 的大小;

??

?

? , 其中 A, B, C 是 ?ABC 的 3

(2)求 sin A ? sin C 的取值范围. ?? ? ? 解:(1)∵ m ? (sin B,1 ? cos B) , 且与向量 n ? (1,0) 所成角为 , 3 ?? ? ?? ? m?n sin B 1 ∴ cos ? m, n ?? ?? ? ? ? , ????????2 分 | m || n | 2 ? 2cos B 2 ∴ 2sin B ? 1 ? cos B ,∴ 2cos B ? cos B ? 1 ? 0
2 2

1 ?????????5 分 2 2 ? 又0 ? ? ?? , ∴ B ? ?,A? C ? ????????????7 分 3 3 ?? ? ? ( 1? 第一问:另解: ∵ m ? sin B, cos B) , 且与向量 n ? (1 0) 所成角为 , , 3 1 ? cos B ? ? tan ? 3, ∴ sin B 3
∴ cos B ? 1或 cos B ? ?
王新敞
奎屯 新疆

? tan

B B ? 2 ? ? 3又0 ? ? ? ? ? ? , 即B ? ? , A ? C ? , 2 2 3 3 3

(2)由(1)可得 sin A ? sin C ? sin A ? sin(

?

3

? A)

1 3 ? ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) ???????????9 分 2 2 3
∵0? A?

?
3



?
3

? A?

?
3

?

2? 3

???????????11 分

∴ sin( A ?

?

? 3 ? )?? , 1? , ???????????13 分 3 ? 2 ? ?

? 3 ? ???????????14 分 ? sin A ? sin C ? ? ? 2 , 1? ? ?
18. (本小题满分 14 分) 已知 S n 是数列 ?an ?的前 n 项和,且 a1 ? 2 , 当n ? 2 时有 S n ? 3S n?1 ? 2 , (1)求证 {S n ? 1} 是等比数列; (2)求数列 ?an ?的通项公式. 解:(1)? S n ? 3S n?1 ? 2

? Sn ? 1 ? 3Sn?1 ? 2 ? 1 ?

Sn ? 1 ?3 S n?1 ? 1

??????4 分

又? S1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 3

? 数列?Sn ? 1? 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列. ??????6 分
(2)由(1)得?Sn ? 1 ? 3 ? 3
n?1

? 3n ,?Sn ? 3n ? 1 ??????8 分

?当n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 ??????10 分
又当 n ? 1 时, a1 ? 2 也满足上式,??????12 分 所以,数列 ?an ?的通项公式为: an ? 2 ? 3
n?1

??????14 分

19.(本小题满分 14 分) 若函数 f ( x ) ? x ?

a ? ln x , x

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)函数 f (x) 是否存在极值. 解:(1)由题意,函数 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ??????2 分

2 1 x2 ? x ? 2 2 ' 当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? ? ln x ,? f ( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x x2
令 f ' ( x) ? 0 ,即

??3 分

x2 ? x ? 2 ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 1 ??????5 分 x2
??????6 分

又因为 x ? 0 ,所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (1, ??) (2) f ?( x) ? 1 ?

a 1 x2 ? x ? a ? ? ( x ? 0) x2 x x2

?????7 分

解法一:令 g ( x) ? x 2 ? x ? a ,因为 g (x) 对称轴 x ? ?

1 ? 0 ,所以只需考虑 g (0) 的正负, 2

当 g (0) ? 0 即 a ? 0 时,在(0,+∞)上 g ( x) ? 0 , 即 f (x ) 在(0,+∞)单调递增, f ( x ) 无极值 ??????10 分

当 g (0) ? 0 即 a ? 0 时, g ( x) ? 0 在(0,+∞)有解,所以函数 f (x ) 存在极值.?12 分 综上所述:当 a ? 0 时,函数 f (x ) 存在极值;当 a ? 0 时,函数 f (x ) 不存在极值.?14 分
2 解法二:令 f ?( x) ? 0 即 x ? x ? a ? 0 ,记 ? ? 1 ? 4a

当 ? ? 0即 a ? ?

1 时, f ?( x) ? 0 , f (x ) 在(0,+∞)单调递增,无极值 ???9 分 4 1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 2 ? 0 或 x2 ? 时, x ? x ? a ? 0 得:x1 ? 解 4 2 2

当 ? ? 0即 a ? ?

若 a ? 0 则 x2 ? 0 ,列表如下:

x
f ?(x)

(0, x2 ) —

x2
0

( x2 ,+∞) +

f (x)



极小值



由上表知: x ? x2 时函数 f (x ) 取到极小值,即 a ? 0 函数 f (x ) 存在极小值。???11 分 若?

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , f (x) 在(0,+∞)单调递减,不存在极值。??13 分 4

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f (x ) 存在极值,当 a ? 0 时。函数 f (x ) 不存在极值??14 分 20. (本小题满分 14 分) 设奇函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ?

1 k n?k )(k ? 0,1, 2, ?, n) 的值. (1) 求 f ( ) 和 f ( ) ? f ( 2 n n 1 2 n ?1 1 ) ? f (1) ? f ( ) ,数列 (2) 数列 ?an ?满足: an = f (0) + f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( n n n 2

1 . 2

?an ?是等差数列吗?请给予证明;
(3) 设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, ?an ?是满足(2)中条件的数列,
证明:

?|
n ?1

s

(m ? 1)nan?1 ? (kn ? n ? k ? 1)an |? (

s ?1 2 ) | m ? k | (s ? 1, 2,…) 2

1 ,且 f (x) 是奇函数 2 1 1 1 1 1 1 1 ? f ( ) ? f ( ? 1) ? ? f (? ) ? ? ? f ( ) ? 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 f ( ) ? ,故 f ( ) ? ????????2 分 2 2 2 4 1 1 1 因为 f ( x) ? f ( x ? 1) ? ? ? f (1 ? x) ? , 所以 f ( x) ? f (1 ? x) ? . 2 2 2 k k k 1 k n?k 1 ) ? .?????4 分 令 x ? ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? ,即 f ( ) ? f ( n n n 2 n n 2 1 n ?1 ) ? f (1) (2)设 sn ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n ?1 1 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) 又 sn ? f (1) ? f ( n n
解:(1)? f ( x ) ? f ( x ? 1) ? 两式相加

1 n ?1 n ?1 2sn ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? . n n 2 n ?1 , ??????6 分 所以 sn ? 4 1 n ?1 1 n ? ? , n ? N * ??????7 分 故 an ? sn ? f ( ) ? 2 4 4 4 n ?1 n 1 ? ? .故数列 {an } 是等差数列.??????8 分 又 an ?1 ? an ? 4 4 4

(3)

?|
n ?1

s

(m ? 1)nan?1 ? (kn ? n ? k ? 1)an |

? ? | (m ? 1)n
n ?1

s

(n ? 1) n ? (k ? 1)(n ? 1) | 4 4

?

s 1 | m ? 1 ? k ? 1 | ? n(n ? 1) 2 n ?1
s

要证:

?|
n ?1

(m ? 1)nan?1 ? (kn ? n ? k ? 1)an |? (

s ?1 2 ) | m ? k | (s ? 1, 2,…) 2

s 1 s ?1 2 | m ? 1 ? k ? 1 | ? n(n ? 1) ? ( ) | m ? k | ??????10 分 2 2 n ?1 n ? n ? 1 2n ? 1 ∵ n ? (n ? 1) ? ? 2 2 s(3 ? 2s ? 1) 3 5 2s ? 1 s 2 ? 2s (s ? 1)2 2 ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ... ? s ? ( s ? 1) ? ? ? ... ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2





?
n ?1

s

n(n ? 1) ?

( s ? 1)2 1 s s ?1 2 ,从而 ? n(n ? 1) ? ( ) ??????12 分 2 n?1 2 2

又? m ? 1 ? k ?1 |?| m ? k | 恒成立, | 所以有
s 1 s ?1 2 | m ? 1 ? k ? 1 | ? n(n ? 1) ? ( ) | m ? k | 恒成立 2 2 n ?1



?|
n ?1

s

(m ? 1)nan?1 ? (kn ? n ? k ? 1)an |? (

s ?1 2 ) | m ? k | (s ? 1, 2,…) ?14 分 2


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