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必修1、必修4期末复习试卷1


必修 1、必修 4 期末复习试卷(一)

B.函数 f ? x ? 在区间 ?0,

高一数学
考试范围:必修 1 和必修 4;考试时间:120 分钟; 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U ? R ,设函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域为集合 A ,函数 y ? x ? 2 的值域为集合 B ,则
2

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

C.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 0 对称 D.函数 f ? x ? 是奇函数 8.函数 y ?

x ln x x

的图像可能是( )

A ? (CU B ) =(
A.[1,2]

) C.(1,2] D.(1,2) ) D. (??,? ) )

B.[1,2)

2.函数 f ( x ) ? A. (? ,??)

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是(
1 3
C. ( ? , )
x

1 3

B. (? ,1)

1 1 3 3

1 3

9.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为( A.2 B. 3 C. 2

) D.1

3.在下列区间中,函数 f ? x ?=e +4x-3 的零点所在的区间为(

A.(-

1 ,0) 4

B.(0,

1 ) 4

C.(

1 1 , ) 4 2

D.(

1 3 , ) 2 4

10.已知 tan(? ? ? ) ? A.

4.设 a ? log3 6 , b ? log 5 10 , c ? log 7 14 ,则( ) A. c>b>a 5.函数 f ? x ? ? A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 B.b>c>a C.a>c>b ) D. a>b>c

1 4

B.

1 2

1 sin ? ? cos ? ,则 =( ) 2 2sin ? ? cos ? 1 1 C. ? D. ? 4 2
2 (sin 2 x ? cos 2 x) 的图象( 2


11.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可以把函数 y ?

4x ? 1 的图象( 2x

B.关于直线 y ? x 对称 D.关于 y 轴对称

6.已知向量 a ? (1, x) , b ? (8, 4) ,且 a ? b ,则 x ? ( A.

?

?

?

?

? 个单位 8 ? C.向左平移 个单位 4
A.向左平移 ) D. ?2 12. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? 只要将 y ? 2sin x 的图象上所有的点 (

? 个单位 8 ? D.向右平移 个单位 4
B.向右平移

?
2

?? ?
)

?
2

) 的部分图象如图所示, 为了得到这个函数的图象,

1 2
? ?

B.2

C. ?2

7.已知函数 f ? x ? ? sin ? x ?

??

? ? x ? R ? ,下面结论错误的是( 2?



A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 2?

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(Ⅱ) A.向右平移

sin ?? ? 2? ? ? cos ?? ? ? ? ?? ? 1 ? sin ? ? 2? ? ?2 ?

.

1 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3

B.向右平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3
1 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6

C.向右平移

D.向右平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
?? ? ? 3? ? ? x ? ? 3 sin 2 ? ? x? ?2 ? ? 2 ?

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知 a, b ? R ,若 4a ? 23?2b ,则 a ? b =________.
x ?1 ? ?3e , x<2, 则f ( f (2))的值为 14.设 f ( x ) ? ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.

18.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x ? sin? . (1)若 tan x ?

1 , 求 f ( x) 的值; 2

1 4 ?? ?? ? ?? ?? ? 16.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 | 2e1 ? e2 | =__________.
三、解答题(第 17 题 10 分,第 18-22 题每题 12 分,共 70 分) 17.求值化简: (Ⅰ)

15.若幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (3, 3) ,则 f ( ) ? __________.

(2)求函数 f ( x) 最小正周期及单调递减区间.

?

3

2? 3

?

6

?

?

2 2

? ? lg 500 ? lg 0.5
4 3



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? ? a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) . 19.已知

20.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,并且满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 1,当 x ? 0 时,

? ?? ?
(1)若

7? ? ? 6 ,求 a ? b 的值;

f ( x) ? 0
(1) .求 f (0) 的值; (3 分) (2) .判断函数 f ( x) 的奇偶性; (3 分) (3) .如果 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 ,求 x 的取值范围. (6 分)

? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,0 ? a ? b ? ,? ? ? 2 ? ,求 tan(? ? ? ) 的值. 5 8 ,且 (2)若

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22.已知函数 f ( x) ? 3cos 2 21 . 某 商 品 在 近 30 天 内 每 件 的 销 售 价 格 P ( 元 ) 与 时 间 t ( 天 ) 的 函 数 关 系 是

?x
2

?

3 3 sin ? x ? (? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,点 A 为图象 2 2
3 ?. 4

?t ? 25 t, ?N ?t ? 2 0 , 0 P?? 该商品的日销售量 Q(件) 与时间 t(天) 的函数关系是 Q ? ?t ? 40 5t ? 3t 0? ,N ??t ?1 0 0 , 2 ?

的最高点, B, C 为图象与 x 轴的交点,且三角形 ABC 的面积为 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

(0 ? t ? 30, t ? N ) ,设商品的日销售额为 F (t ) (销售量与价格之积)
(1)求商品的日销售额 F (t ) 的解析式; (2)求商品的日销售额 F (t ) 的最大值.

4 ? ? ? 3, x0 ? ( , ) ,求 f ( x0 ? ) 的值. 5 12 3 6

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析: 由 y ? lg( x ? 1) 的定义域知 A ? {x | x ? 1} ,y ? x ? 2 的值域知 B ? { y | y ? 2} ,
2

所以 A ? (CU B) ? (1, 2) ,故选 D. 考点:1.函数定义域和值域的求解;2.集合的交集与补集的运算. 2.B 【解析】 试题分析:为使 f ( x ) ?

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 有意义,

须?

? 1? x ? 0 1 , 解得 ? ? x ? 1, , 3 ?3 x ? 1 ? 0

故选 B. 考点:函数的定义域 3.C 【解析】 试题分析:f ? x ?=e +4x-3 是单调增函数, 根据函数零点存在定理,f ? x ?=e +4x-3 的
x x












1 4








1 2






1









1 1 ?1 ? f ? =? 4+ e ? - 4 4 ?4 ?

? 3

?1 ? = ? e= ? +2? ?2 ?

- 0

? ,

1 f 2

2 ?e ,故选 C.

? 4

3

=

e

考点:函数零点存在定理 4.D 【解析】 试题分析: a ? log3 6 ? 1 ? log3 2 , b ? log5 10 ? 1 ? log5 2 , c ? log 7 14 ? 1 ? log 7 2 ,又

0 ? lg 3 ? lg 5 ? lg 7 ? 1 , log3 2 ?
l o3 g ? 2 l? o g

lg 2 lg 2 lg 2 , log 5 2 ? , log 7 2 ? , 所 以 lg 3 lg 5 lg 7

5

2 l oag ? b2 ? c. 7,所以

考点:对数与对数运算 5.D 【解析】

4 x ? 1 22 x ? 1 ? ? 2 x ? 2? x 试 题 分 析 : ? f ? x? ? x x 2 2
f ? ? x ? ? 2? x ? 2
?? ? x ?

, 定 义 域 为

R ,

? 2? x ? 2 x ? f ? x ? ,故函数 f ? x ? 为偶函数,其图象关于 y 轴对称,

答案第 1 页,总 8 页

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选 D. 考点:函数的奇偶性 6.C 【解析】 试题分析: a ? b ,所以 8 ? 4 x ? 0, x ? ?2 .选 C. 考点:向量的坐标运算及垂直关系. 7.D 【解析】 试题分析:? f ? x ? ? sin ? x ?

?

?

? ?

??

? ? ? cos x ,故函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? ,且函数 2?

? ?? f ? x ? 在区间 ?0, ? 上是增函数,函数 f ? x ? 是偶函数,它的图象关于直线 x ? 0 对称,故 ? 2?
选 D. 考点:1.诱导公式;2.三角函数的基本性质 8.B 【解析】 试题分析:因为函数 f ? ? x ? ?

? x ln ? x ?x

??

x ln x x

? ? f ? x ? ,所以函数 y ?

x ln x x

是奇函

数,排除选项 A 和选项 C.当 x ? 0 时, y ?

x ln x x

? ln x 在区间 ? 0, ?? ? 是增函数,所以选

B. 考点:1.分段函数的图像与性质;2.函数奇偶性的判断;3.对数函数的图像与性质 9.C 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? sin x ? cos x ?

x?

3? ? 2k? (k ? Z ) 时,f(x)的最大值为 2 .故选 C. 4

2 sin( x ? ) ,所以当 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 即 4 4 2

?

?

?

考点:1.三角函数的化一公式.2.三角函数的最值问题. 10.C 【解析】 试 题 分 析 :

tan(? ? ? ) ?

1 2







t a ?? n

1 2

.

sin ? ? cos ? 2sin ? ? cos ?

1 ?1 tan ? ? 1 1 ? ? 2 ?? . 2 tan ? ? 1 2 ? 1 ? 1 4 2
考点:同角三角函数基本关系式. 11.A
答案第 2 页,总 8 页

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【解析】 试题分析: y ?

2 ? ? ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) ? sin 2( x ? ) ,向左平移 个单位即 4 8 2 8

可. 考点:三角函数图象的变换. 12.A 【解析】

? ? ?? ?? ? 0 ? ? ? ? 6 x? ) 试题分析:由 ? 得: ? ? 2, ? ? ? . 所以 f ( x) ? 2 sin(2 ,故将 5 ? ? 3 3 ?? ? ?? ? ? 12 2 ?
y ? 2sin x 的图象上所有的点向右平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来 3



? 1 倍,纵坐标不变便可得 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 的图象. 3 2
3 2 3 . 2

考点:三角函数的图象及其变换. 13.

【解析】 试题分析: 22a ? 23?2b ? 2a ? 3 ? 2b ? a ? b ? 考点:指数方程的解法. 14.3 【解析】 试题分析: f (2) ? log3 (4 ? 1) ? 1 , f ( f (2)) ? f (1) ? 3e ? 3 .
0

考点:分段函数,指数与对数的运算. 15.

1 2
1

【解析】
a 试题分析:由幂函数的定义设 f ( x) ? x , 由 图 像 ( 3, 3 ) 过 , 则 3a ? 3 ? 32

1 ? 1?2 1 1 所以 a ? , 所 以 f ( ) ? ? ? ? 4 ?4? 2 2
考点:幂函数的性质,待定系数法求解析式. 16. 3 【解析】

1

答案第 3 页,总 8 页

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试题分析: | 2e1 ? e2 |2 ? (2e1 ? e2 ) 2 ? 4 ? 1 ? 4e1 e2 ? 5 ? 4 ? 考点:1.向量模长的求解. 17.(Ⅰ) 113 ;(Ⅱ) ? sin ? . 【解析】
r 试题分析:(Ⅰ)利用指数的运算公式: a ? a , a

?? ?? ?

?? ?? ?

???? ?

?? ?? ? 1 ? 3 ,所以 | 2e1 ? e2 |? 3 2

n

m

m n

? ?

s

? a r ?s ? a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ? ,
的 运 算 公 式 :

? ab ?

r

? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?











lg M ? lg N ? lg

M ? M ? 0, N ? 0 ? 进 行 计 算 ; ( Ⅱ ) 利 用 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 : N

?? ? sin ?? ? 2? ? ? sin 2? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? ,sin ? ? 2? ? ? cos 2? ,以及二倍角公式 ?2 ?
1 ? cos 2? ? 2cos2 ? 进行计算.
试题解析:(Ⅰ)
6

?

3

2? 3
4

?

6

?

?

2 2

? ? lg 500 ? lg 0.5
4 3

? 1 1 ? ? 3 ?3 500 ? ? 2 3 ? 3 2 ? ? ? 2 4 ? ? lg 0.5 ? ? ? ?

? ? 22 ? 33 ? ? 2 ? lg1000
? 108 ? 2 ? 3 ? 113 ;
(Ⅱ) 6分

sin ?? ? 2? ? ? cos ?? ? ? ? ?? ? 1 ? sin ? ? 2? ? ?2 ?

?

sin 2? ? ? ? cos ? ? 1 ? cos 2? ?2sin ? cos 2 ? 2 cos 2 ?

?

12 分 考点:1.指数与指数幂的运算;2.对数运算;3.三角函数的诱导公式;4.二倍角公式 18. (1)

? ? sin ?

17 ? 5? ; (2) T = ? ,单调递减区间为 [ ? k? , ? k? ], k ? Z . 5 8 8

【解析】 试 题 分 析 : (1) 通 过 应 用 诱 导 公 式 及 “ 1 ” 的 代 换 技 巧 , 将 原 式 化 为

sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 x ,分子分母同除以 cos2 x ,将其用已知表示出来.本题较为 2 2 sin x ? cos x
答案第 4 页,总 8 页

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典型. (2)应用诱导公式及“和差倍半公式” ,将原式化为 f ( x) = 2 sin(2 x ? 最小正周期即单调区间. 试题解析:

?
4

) ? 2 ,不难确定

(1) f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x ? cos x ? 3 cos2 x

?

sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x sin 2 x ? cos2 x
4分

2分

=

tan 2 x ? 2 tan x ? 3 tan 2 x ? 1
17 5
2

=

6分
2

(2) f ( x) ? sin x ? 2 sin x ? cos x ? 3 cos x = 2 sin(2 x ?

?
4

)?2 2? ?? 2

8分 10 分

f ( x) 的最小正周期为 T =


?
2

?

4 5? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 8 8

? 2k? ? 2 x ?

?

?

3? ? 2k? ,解得 2
12 分

所以 f ( x) 的单调递减区间为 [

?
8

? k? ,

5? ? k? ], k ? Z 8

13 分

考点:三角函数的诱导公式、和差倍半公式,三角函数的图象和性质. 19. (1) ? 【解析】 试题分析: (1)利用向量数量积的坐标表示, a ? b 可转化为三角函数,然后利用利用三角函

3 ; (2)7. 2

? ?

a ? b 可转化为角 ? ? ? 数的相关公式对其变形, 则可求解; (2) 利用向量数量积的坐标表示,
的三角函数,然后利用角之间的关系,使用两角和与差的三角函数相关公式可求解. 试题解析: (1)解: (1)∵ a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ) ∴ a ? b ? cos?? ? ? ? ? cos

? ?

? ?

7? 3 ?? 6 2

(2)∵ a ? b ?

4 3 3 4 ∴ cos?? ? ? ? ? , sin?? ? ? ? ? ? , tan?? ? ? ? ? ? 5 5 4 5
答案第 5 页,总 8 页

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? ? ? ? ? 2? ? (? ? ? ) ?

?
4

? (? ? ? )

3 ? 1 ? tan(? ? ? ) 4 =7 = ? tan(? ? ? ) ? tan[ ? (? ? ? )] ? 3 1 ? tan(? ? ? ) 4 1? 4 1?
考点:平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式. 20. (1)0; (2)函数 f ( x) 是奇函数; (3) {x | x ? 1} . 【解析】 试题分析: (1)令 x ? y ? 0 即可求出 f (0) 的值;

( ) 0? , x) ??f (? x) (2) 由 (1) 知 f0 又有 f (0 ? x) ? f (0) ? f ( x) , 得 f(
所以函数 f ( x) 是奇函数;

, 又因为 f (0) ? 0 ,

(3)利用函数单调性的定义,结合 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,可得函数 f ( x) 的单调性,进 而将抽象不等式转化为具体的不等式,即可求解. 试题解析: (1)令 x ? y ? 0 ,则 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ,? f (0) ? 0 ; (2)? f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

? f (0 ? x) ? f (0) ? f ( x)
由(1)值 f (0) ? 0 ,? f ( x) ? ? f (? x)

? f (0) ? 0 ?函数 f ( x) 是奇函数
(3)设 ?x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

?当 x ? 0 时, f ( x) ? 0
? f ( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 )

?函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数

? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y )
答案第 6 页,总 8 页

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? f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? 2 ? 1 ? 1 ? f (2) ? f (2) ? f (2) ? f (4 ? 2) ? f (4) ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? f (4) ? f ( x ? 2) ? f (4) ? f ( x) ? f (4 ? x)
?函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数

?x ? 2 ? 4 ? x ?x ?1
?不等式? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 的解集为 {x | x ? 1}
考点:1.抽象函数及其应用;2.函数的奇偶性的判断;3.函数单调性的性质.

Q?? 21. (1) f (t ) ? P ?

2 ? ? ?t ? 20t ? 800, 0 ? t ? 25, t ? N 2 ? ?t ? 140t ? 4000, 25 ? t ? 30, t ? N

(2)日销售金额的最大值为 1125 元 【解析】 试题分析: 日销售金额为 F (t ) 元, 根据 F (t ) ? P? Q 写出函数 F (t ) 的解析式,再分类讨论: 当 0 ? t ? 25, t ? N 时,和当 25 ? t ? 30, t ? N 时,分别求出各段上函数的最大值,最后综 合得出这种商品日销售额的最大值即可. 试题解析: (1)由题意知 F (t ) ? P? Q 1分

? ?t 2 ? 20t ? 800, 0 ? t ? 25, t ? N ? f (t ) ? P ? Q?? 2 ? ?t ? 140t ? 4000, 25 ? t ? 30, t ? N ? ?(t ? 10) 2 ? 900, 0 ? t ? 25, t ? N ? ?? 2 ? ?(t ? 70) ? 900, 25 ? t ? 30, t ? N
(2)Ⅰ当 0 ? t ? 25, t ? N , t ? 10 时, ymax ? 900 (元) Ⅱ当 25 ? t ? 30, t ? N , t ? 25 时, y max ? 1125 (元) . 由 1125 ? 900 ,知 F (t ) 最大值为 1125 (元) ,当 t ? 25 时取得 7分

5分

9分 11 分 13 分

答:日销售金额的最大值为 1125 元. 14 分 考点:建立函数关系、分段函数等基础知识,解决实际问题的步骤,求分段函数的最值.

答案第 7 页,总 8 页

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22. (Ⅰ) ? ? 2 , [? 3, 3] ; (Ⅱ) 【解析】

4 3 ?9 . 10

试题分析: (Ⅰ)首先化简函数 f ( x) ? 3cos 2

?x
2

?

3 3 sin ? x ? (? ? 0) 的解析式,求得 2 2

最大值 3 ,根据三角形的面积求得线段 BC 的长度,然后根据图像分析可知线段 BC 的长 度为函数周期的一半, 据此可求得函数的周期 T , 然后根据周期公式 T ?

2?

值,然后将 ? 的值代入到解析式中求得值域; (Ⅱ)首先分析出角 2 x0 ?

? ?
3

从而求出 ? 的 的范围,根据

f ( x0 ) ?

4 ? ? ?? 4 ? 3, x0 ? ( , ) 求得 s in? 2 x0 ? ? ? ,利用同角三角函数的平方关系可得 3? 5 5 12 3 ?

?? 3 ? ? cos? 2 x0 ? ? ? ? ,然后通过和角的正弦公式展开可求得 f ( x0 ? ) 的值. 3? 5 6 ?
试题解析:(Ⅰ) f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ), 3 又 S ?ABC ? 1 3 | BC |? 3 ? , | BC |?
2 4

?
2

?

? ?

,则 ? ? 2 ; 7分

则 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ? ), 值域是 [? 3, 3] 3 (Ⅱ)由 f ( x0 ) ? 4 3 得 sin(2 x0 ? ? ) ? 4 , 5 3 5
?

?
12

? x0 ?

?
3

,?

?
2

? 2 x0 ?

?
3

? 3 ? ? , 得 cos(2 x0 ? ) ? ? , 则 3 5

? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 4 3 ?9 ? ? f ? x0 ? ? ? 3 sin ?2? x0 ? ? ? ? ? 3 ?sin? 2 x0 ? ? cos ? cos? 2 x0 ? ? sin ? ? 6? 6 ? 3? 3? 3 3? 3? 10 ? ? ? ? ? ?
14 分 考点:1.三角函数的图像;2.和角的正弦公式.

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