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3.2 第2课时


第 2 课时 题型一 用导数求解函数极值问题 导数与函数的极值、最值 命题点 1 根据函数图象判断极值 典例设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则 下列结论中一定成立的是( ) A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 由题图可知,当 x<-2 时,f′(x)>0; 当-2<x<1 时,f′(x)<0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0. 由此可以得到函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值, 在 x=2 处取得极小值. 命题点 2 求函数的极值 典例 (2018· 深圳调研)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x2-x), 其中 a∈R.讨论函数 f(x)极值点的个数, 并说明理由. 1 解 f′(x)= +a(2x-1) x+1 = 2ax2+ax-a+1 (x>-1). x+1 令 g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞). ①当 a=0 时,g(x)=1, 此时 f′(x)>0,函数 f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值点. ②当 a>0 时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8). 8 a.当 0<a≤ 时,Δ≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0, 9 函数 f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值点. 8 b.当 a> 时,Δ>0, 9 设方程 2ax2+ax-a+1=0 的两根为 x1,x2(x1<x2), 1 1 1 因为 x1+x2=- ,所以 x1<- ,x2>- . 2 4 4 1 由 g(-1)=1>0,可得-1<x1<- . 4 所以当 x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 因此函数有两个极值点. ③当 a<0 时,Δ>0,由 g(-1)=1>0, 可得 x1<-1<x2. 当 x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 所以函数有一个极值点. 综上所述,当 a<0 时,函数 f(x)有一个极值点; 8 当 0≤a≤ 时,函数 f(x)无极值点; 9 8 当 a> 时,函数 f(x)有两个极值点. 9 命题点 3 根据极值求参数 典例 (1)(2017· 沧州模拟 ) 若函数 f(x) = x3 - 2cx2 + x 有极值点,则实数 c 的取值范围为 ________________. 3 3 答案 ?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? 解析 f′(x)=3x2-4cx+1, 由 f′(x)=0 有两个不同的根, 可得 Δ=(-4c)2-12>0, ∴c> 3 3 或 c<- . 2 2 ) 1 ? x3 a 2 (2)若函数 f(x)= - x +x+1 在区间? ?2,3?上有极值点,则实数 a 的取值范围是( 3 2 5? A.? ?2,2? 5? B.? ?2,2? 10? C.? ?2, 3 ? 答案 C 10? D.? ?2, 3 ?

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