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雅礼中学高一年级数学必修2模块结业考试


雅礼中学高一年级数学必修 2 模块结业考试 试 题 卷
时量:120 分钟 满 分:100 分(必考试卷Ⅰ) 50 分(必考试卷Ⅱ) 命题人:高一备课组

必考试卷Ⅰ
一、 选择题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,满分 35 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图,得到下列结论,其中正确的是( A.正三角形的直观图仍然是正三角形. B.平行四边形的直观图一定是平行四边形. C.正方形的直观图是正方形. D.圆的直观图是圆 2.已知直线的倾斜角为 45°,在 y 轴上的截距为 2,则此直线方程为( A. y ? x ? 2 . C. y ? ? x ? 2 B. y ? x ? 2 D. y ? ? x ? 2 ) ) )

3.已知直线 l1 : (m ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0, l2 : mx ? y ? 3 ? 0, 若 l1 ? l2 ,则 m 的值为( A. 2 . C. 2或 ? 1 B. ?1 D.

1 3


4.已知一个棱长为 3 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积等于( ( A. 4? C. 8? ) B. 6? D. 9?

5.已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 相交,则圆 C1 与圆

C2 的公共弦所在的直线的方程为(
A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0

) B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

6.若 a、b 表示两条不同直线,α、β 表示两个不同平面,则下列命题正确的是( A. a∥? , b ? ? ? a ? b C. a∥? , b ? ? ? a∥b B. a∥? , b∥? ? a∥b D. ? ? ? , a ? ? ? a ? ?



7.已知圆锥的底面半径为 1,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为( A.



3 ? 3

B.

3?

C.

5 ? 3

D.

5?

BACDB AA 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横 线上. 8. 若球的表面积为 36? ,则该球的体积等于 答案: 36? 。

9.如图,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是边长为1的正 方形,侧棱长 AA1 ? 等于___________. 答案: 60? 10. 与 圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 关 于 y 轴 对 称 的 圆 的 方 程 为
2 2

D1

2 ,则异面直线 A1 B1 与 BD1 的夹角大小

C1 B1

A1

D ______________. 答案: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

C B



11. 已知点 A, B 到平面 ? 的距离分别为 4cm 和 6cm ,当线段AB与平面 ? 相交时,线段 AB 的中点 M 到 ? 平面的距离等于_________________. 答案:1 12. 无论 m 为何值,直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 恒过一定点 P ,则点 P 的坐标 为_________. 答案:(3,1) 13. 直线 y ? kx ?1 与以 A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点, 则 k 的取值范围是_________. 答案: [ , 1] 三、解答题:本大题共 3 小题,共 35 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 14. (本小题满分 11 分) 如图示,给出的是某几何体的三视图,其中正视图与侧视图都 ·

1 3

正视图

侧视图

俯视图

是边长为 2 的正三角形,俯视图为半径等于 1 的圆.试求这个几何体的侧面积与体积.

解析:根据几何体的三视图知, 原几何体是以半径为 1 的圆为底面且体高为 3 的圆锥.………………3 分 由于该圆锥的母线长为 2, 则它的侧面积 S侧 ? ? rl ? 2? ,……………7 分

1 3 体积 V ? ? r 2 h ? ? .……………11 分 3 3

15. (本小题满分 12 分) 已知直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l2 : x ? (a ? 2) y ? a ? 0 . (1)若 l1 ? l2 ,求实数 a 的值; (2)当 l1 / / l2 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离. 解析: (1)由 l1 ? l2 知 a ? 3(a ? 2) ? 0 ,…………4 分 解得 a ?

3 ;……………6 分 2

(2)当 l1 / / l2 时,有 ?

?a (a ? 2) ? 3 ? 0 ,…………8 分 ?3a ? (a ? 2) ? 0

解得 a ? 3 ,…………9 分 此时, l1 的方程为: 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,

l2 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 即 3 x ? 3 y ? 9 ? 0 ,
则它们之间的距离为 d ?

9 ?1 3 ?3
2 2

?

4 2 .…………12 分 3

16. (本小题满分 12 分) 如图示,AB 是圆柱的母线,BD 是圆柱底面圆的直径,C 是底面 圆周上一点,E 是 AC 中点,且 AB ? BC ? 2, ?CBD ? 45? . (1)求证: CD ? 面ABC ; E (2)求直线 BD 与面 ACD所成角的大小. B C D A

解析: (1)证明:∵BD 是底面圆直径, ∴ CD ? BC ,……2分 又 AB ? 面 BCD , CD ? 面 BCD , ∴ AB ? CD ,……4分 从而, CD ? 面 ABC ;…………5 分 (2)连接DE,由(1)知 BE ? CD , 又 E 是 AC 中点, AB ? AC ? 2 , ?ABC ? 90? 则 BE ? AC ,所以, BE ? 面 ACD .………7分 于是,直线 BD 与面 ACD所成角为 ?BDE ,………9分 而 BE ? 面 ACD ,则 BE ? ED ,即 ?BED 为直角三角形. 又 AB ? BC ? 2, ?CBD ? 45? ,则 BD ? 2 2 而 BE ?

A

E

B C

D

2 ,所以 ?BDE ? 30? 。…………12 分

必考试卷Ⅱ
一、选择题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,满分 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? 4) ? y ? 4 所截得的弦长为(
2 2



A. 2 B. 2 2 C. 4 2 D. 4 答案:B 二、填空题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,共 5 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线

上. 2、若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形,则它的体积等于 答案:

.

16

?

三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 3、 (本小题满分 13 分) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 , ?ACB ? 90? , C1 E A1 C B1

AC ? BC ? CC1 ? a ,E 是 A1C1 的中点,F 是 AB 中点.
(1)求证: EF ∥面 BB1C1C ; (2)求直线 EF 与直线 CC1 所成角的正切值; (3)设二面角 E ? AB ? C 的平面角为 ? ,求 tan ? 的值. 解析: (1)证明:取 AC 中点 G,连 EG、FG, ∵ EG / / C1C , FG / / BC ,∴面 EFG / / 面 C1 BC 而 EF ? 面 C1 BC ,则 EF ∥面 C1CB , 即 EF ∥面 BB1C1C ;…………4 分 (2).∵ EG / / CC1 ,所以直线 EF 与直线 CC1 所成角为 A1 A

F

B

C1 E B1 C

?FEG ,…………6 分 又 ?EFG 是直角三角形,且 ?FGE ? 90? , G A 1 H F a FG 2 1 则 tan ?FEG ? ? ? ;…………8 分 EG a 2 (3)取 H 为 AF 中点,连接 HG 、 HE , ∵ F 是 AB 中点,G 是 AC 中点,∴ HG / / FC , 又 AC ? BC ,则 FC ? AB ,于是 HG ? AB , 而 EG ? 面 ABC ,则 EG ? AB ,从而 AB ? 面 HEG ,故 AB ? HE , 则 ?EHG 是二面角 E ? AB ? C 的平面角,所以, ?EHG ? ? ,…………11 分
又 ?EHG 是直角三角形,且 ?HGE ? 90? , HG ?

B

1 2 FC ? a , EG ? CC1 ? a , 2 4

则 tan ? ?

EG ? HG

a ? 2 2 。…………13 分 2 a 4

4、 (本小题满分 13 分) 已知⊙C 经过点 A(2, 4) 、 B (3,5) 两点,且圆心 C 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上.

(1)求⊙C 的方程; (2)若直线 y ? kx ? 3 与⊙C 总有公共点,求实数 k 的取值范围. 解析: (1)解法 1:设圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2 2

? 2 ?2 ? 42 ? 2 D ? 4 E ? F ? 0 ? D ? ?6 ? ? 则 ?32 ? 52 ? 3D ? 5 E ? F ? 0 ? ? E ? ?8 ,…………5 分 ? ? F ? 24 D E ? ?2(? ) ? (? ) ? 2 ? 0 ? 2 2
所以⊙C 方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 24 ? 0 .………6 分
2 2

解法 2:由于 AB 的中点为 D ( , ) , k AB ? 1 , 则线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? ? x ? 7 , 而圆心 C 必为直线 y ? ? x ? 7 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点,

5 9 2 2

由?

? y ? ?x ? 7 ?x ? 3 2 2 解得 ? ,即圆心 C (3, 4) ,又半径为 CA ? (2 ? 3) ? (4 ? 4) ? 1 , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 4
2 2

故⊙C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 . (2)解法 1:因为直线 y ? kx ? 3 与⊙C 总有公共点, 则圆心 C (3, 4) 到直线 y ? kx ? 3 的距离不超过圆的半径,即 将其变形得 4k 2 ? 3k ? 0 , 解得 0 ? k ?

3k ? 4 ? 3 1? k 2

? 1 ,………11 分

3 .………………13 分 4

?( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? (6 ? 2k ) x ? 9 ? 0 , 解法 2:由 ? ? y ? kx ? 3
因为直线 y ? kx ? 3 与⊙C 总有公共点,则 ? ? (6 ? 2k ) ? 36(1 ? k ) ? 0 ,
2 2

解得 0 ? k ?

3 . 4

注:如有学生按这里提供的解法 2 答题,请酌情记分。

5、(本小题满分 14 分) 如图所示,在一个特定时段内,以点 E 为中心的 10 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正 北 40 3海里处有一个雷达观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 30°且与点 A 相距 100 海里的位置 B,经过 2 小时又测得该船已行驶到点 A 北偏东 60°且与 点 A 相距 20 3海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断 它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解析: (1)如图建立平面直角坐标系:设一个单位为 10 海里 则坐标平面中 AB = 10,AC = 2 3 A(0,0),E(0, -4 3) 再由方位角可求得:B(5,5 3),C(3, 3) ………………4 分 所以|BC| = (5-3)2 +(5 3- 3)2 = 2 13 西 北 B A C A

A



E

……………6 分 所以 BC 两地的距离为 20 13海里 所以该船行驶的速度为 10 13海里/小时 ………………7 分 5 3- 3 (2)直线 BC 的斜率为 =2 3 5-3 所以直线 BC 的方程为:y- 3 = 2 3(x-3) 即 2 3x-y-5 3 =0………10 分 |4 3-5 3| 所以 E 点到直线 BC 的距离为 = 13 3 < 1………12 分 13 南

所以直线 BC 会与以 E 为圆心,以一个单位长为半径的圆相交, 所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。……………14 分 答:该船行驶的速度为 10 13海里/小时,若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。


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