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2014届高三二轮专题突破-集合与常用逻辑用语


1.集合与常用逻辑用语

1. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素 的互异性. [问题 1] 集合 A={a,b,c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度,那么这 个三角形一定不是 A.等腰三角形 C.直角三角形 答案 A 2. 描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x|y=lg x}——函数的定义域;{y|y=lg x}——函数的值域;{(x,y)|y=lg x}——函数图象上的 点集. [问题 2] 集合 A={x|x+y=1},B={(x,y)|x-y=1},则 A∩B=________. 答案 ? 3. 遇到 A∩B=?时,你是否注意到“极端”情况:A=?或 B=?;同样在应用条件 A∪B =B?A∩B=A?A?B 时,不要忽略 A=?的情况. [问题 3] ________. 1 答案 0,1, 2 4. 对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依 次为 2n,2n-1,2n-1,2n-2. [问题 4] 满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合 M 有________个. 答案 7 5. 注重数形结合在集合问题中的应用,列举法常借助 Venn 图解题,描述法常借助数轴来 运算,求解时要特别注意端点值. [问题 5] 已知全集 I=R,集合 A={x|y= 1-x},集合 B={x|0≤x≤2},则(?IA)∪B 等于 ( ) 集合 A={x|ax -1=0},B={x|x2-3x+ 2=0},且 A∪B=B,则实数 a= B.锐角三角形 D.钝角三角形 ( )

A.[1,+∞) C.[0,+∞) 答案 C

B.(1,+∞) D.(0,+∞)

6. “否命题”是对原命题“若 p, 则 q”既否定其条件, 又否定其结论; 而“命题 p 的否定” 即:非 p,只是否定命题 p 的结论. [问题 6] 已知实数 a、b,若|a|+|b|=0,则 a=b.该命题的否命题和命题的否定分别是 ________________. 答案 否命题:已知实数 a、b,若|a|+|b|≠0,则 a≠b; 命题的否定:已知实数 a、b,若|a|+|b|=0,则 a≠b 7. 在否定条件或结论时,应把“且”改成“或”、“或”改成“且”. [问题 7] 若“x2-3x-4>0,则 x>4 或 x<-1”的否命题是________. 答案 若 x2-3x-4≤0,则-1≤x≤4 8. 要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B;而 “A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A. [问题 8] 设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的________条件. 答案 充分不必要 9. 要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题),特称命题(存在性命题)的否定是全称 命题.如对“a,b 都是偶数”的否定应该是“a,b 不都是偶数”,而不应该是“a,b 都是奇数”.求参数范围时,常与补集思想联合应用,即体现了正难则反思想. [问题 9] 若存在 a∈[1,3],使得不等式 ax2+(a-2)x-2>0 成立,则实数 x 的取值范围 是________________. 答案 2 ? (-∞,-1)∪? ?3,+∞?

解析 不等式即(x2+x)a-2x-2>0,设 f(a)=(x2+x)a-2x-2.研究“任意 a∈[1,3],恒 有 f(a)≤0”.
?f?1?≤0, ? 则? ? ?f?3?≤0,

2? 解得 x∈? ?-1,3?. 2 ? 则实数 x 的取值范围是(-∞,-1)∪? ?3,+∞?. 10.复合命题真假的判断.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题” 的真假特点是“一假即假,要真全真”;“非命题”的真假特点是“真假相反”. [问题 10] 在下列说法中: (1)“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件;

(2)“p 且 q 为假”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件; (3)“p 或 q 为真”是“非 p 为假”的必要不充分条件; (4)“非 p 为真”是“p 且 q 为假”的必要不充分条件. 其中正确的是________. 答案 (1)(3)

易错点 1 忽视空集致误 例 1 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 A∪B=A.求实数 m

的取值范围. 错解 ∵x2-3x-10≤0,∴-2≤x≤5,

∴A={x|-2≤x≤5}. 由 A∪B=A 知 B?A,
? ?-2≤m+1 ∴? ,即-3≤m≤3, ?2m-1≤5 ?

∴m 的取值范围是-3≤m≤3. 找准失分点 B?A,B 可以为非空集合,B 也可以是空集.漏掉对 B=?的讨论,是本

题的一个失分点. 正解 ∵A∪B=A, ∴B?A. ∵A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}. ①若 B=?,则 m+1>2m-1, 即 m<2,故 m<2 时,A∪B=A; ②若 B≠?,如图所示, 则 m+1≤2m-1,即 m≥2.
? ?-2≤m+1, 由 B?A 得? ?2m-1≤5. ?

解得-3≤m≤3. 又∵m≥2,∴2≤m≤3. 由①②知,当 m≤3 时,A∪B=A. 易错点 2 对命题的否定不当致误 例2 ax+10 已知 M 是不等式 ≤0 的解集且 5D∈/M,则 a 的取值范围是________. ax-25 错解 (-∞,-2)∪(5,+∞)

找准失分点

5D∈/M,把 x=5 代入不等式,原不等式不成立,

5a+10 有两种情况:① >0;②5a-25=0,答案中漏掉了第②种情况. 5a-25 5a+10 正解 方法一 ∵5 M,∴ >0 或 5a-25=0, 5a-25 ∴a<-2 或 a>5 或 a=5,故填 a≥5 或 a<-2. 5a+10 方法二 若 5∈M,则 ≤0, 5a-25 ∴(a+2)(a-5)≤0 且 a≠5,∴-2≤a<5, ∴5 M 时,a<-2 或 a≥5. 答案 (-∞,-2)∪[5,+∞) 易错点 3 充要条件判断不准 例3 “x2=x+2”是“x x+2=x2”的________条件. 错解 1 由 x2=x+2?x= x+2?x2=x x+2

得出“x2=x+2”是“x x+2=x2”的充分条件. 错解 2 由 x x+2=x2? x+2=x?x+2=x2

得出“x2=x+2”是“x x+2=x2”的必要条件. 找准失分点 错解 1 中,事实上 x2=x+2D?/x= x+2;

错解 2 中,x x+2=x2D?/ x+2=x. 正解 方程 x2=x+2 的解集为{-1,2}, x x+2=x2 的解集为{0,2}, 但是{-1,2}?{0,2}, 且{0,2} {-1,2},

所以“x2=x+2”是“x x+2=x2”的既不充分也不必要条件. 答案 既不充分也不必要

1. 设集合 A={x|0≤x≤3},B={x|x2-3x+2≤0,x∈Z},则 A∩B 等于 A.(-1,3) 答案 D 解析 B={1,2},A∩B={1,2}. π 1 2. “α= ”是“cos 2α= ”的 6 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.[1,2] C.{0,1,2} D.{1,2}

(

)

(

)

π π 1 1 π 解析 当 α= ,则 cos 2α=cos = 成立,但是 cos 2α= 得到 α=± +kπ,k∈Z 不一 6 3 2 2 6 π π 1 定可以推出 α= ,因此“α= ”是“cos 2α= ”的充分不必要条件. 6 6 2 3. 命题“?x∈R,x2-2x+1<0”的否定是 A.?x∈R,x2-2x+1≥0 B.?x∈R,x2-2x+1>0 C.?x∈R,x2-2x+1≥0 D.?x∈R,x2-2x+1<0 答案 C 解析 特称命题的否定为全称命题. 4. 已知 p:关于 x 的函数 y=x2-3ax+4 在[1,+∞)上是增函数,q:y=(2a-1)x 为减函 数,若 p 且 q 为真命题,则 a 的取值范围是 2 A.a≤ 3 1 2 C. <a≤ 2 3 答案 C 2? ?1 ? 解析 p?a∈? ?-∞,3?,q?a∈?2,1?, 1 2? ∴a∈? ?2,3?. 5. 如果全集 U=R,A={x|x2-2x>0},B={x|y=ln(x-1)},则图中的阴影部分表示的集合 是 ( ) 1 B.0<a< 2 1 D. <a<1 2 ( ) ( )

A.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,2) 答案 D

B.(-∞,0]∪(1,2) D.(-∞,0)∪(1,2]

解析 由题意得 A=(-∞,0)∪(2,+∞),B=(1,+∞), 图中的阴影部分表示的集合是 [A∩ ( ? UB)]∪[( ? UA)∩B] ,而 A∩(? UB)= (-∞, 0), ( ?
UA)∩B=(1,2],故阴影部分表示的集合是(-∞,0)∪(1,2].

6. 已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 C.a≥2 答案 C B.a<1 D.a>2

)

解析 借助数轴求解. ∵B={x|1<x<2},∴?RB={x|x≤1,或 x≥2}, 又∵A={x|x<a},且 A∪(?RB)=R, 利用数轴易知应有 a≥2,故选 C.
2 ? 2 y ? 7. 已知集合 U=R, A=?x|x + 4 =1?, B={y|y=x+1, x∈A}, 则(?UA)∩(?UB)=___________. ? ?

答案 解析

(-∞,-1)∪(2,+∞) A = {x|- 1≤x≤1} = [ - 1,1] , B = {y|y = x + 1 , x∈A} = [0,2] , ( ? UA)∩( ? UB) = ?

U(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞).

8. 设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5}, Q={1,2,6},则 P+Q 中的元素有________个. 答案 8 9. 设 U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么 点 P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是________. 答案 m>-1,n<5 10.已知条件 p:x2+2x-3>0,条件 q:x>a,且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,则 a 的取 值范围为__________. 答案 [1,+∞)

解析 由 x2+2x-3>0 可得 x>1 或 x<-3, “綈 p 是綈 q 的充分不必要条件”等价于“q 是 p 的充分不必要条件”,故 a≥1.


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