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1.集合的概念与表示(钱老师)


中小学个性化辅导专家

钱老师 1 对 1 个性化辅导讲义
学员姓名 年级及科目 课 题 学校 教师

第一讲 集合的含义与表示

授课时间 教学内容

1.集合与元素的概念 一般地,指定的某些对象的
A, B, C , D,? 表示。集合中的每个对象叫做这个集合的

称为集合。集合常用大写字母 。元素常用小写字

母 a,b,c,d ,? 表示。 2.元素与集合的关系 元素与集合的关系,分为属于 ??? 和不属于 ??? 两种情况。 若 a 在集合中,就说 a 集合 A ,记作: 【辨析·比较】 区别 概念 元素 。 元素与集合的联系与区别 概 念 上 的 区 符号上的区别 别 研究对象 小写的字母
a? A或
a? A

集合 A ,记作:

;若 a 不在集合中,就说 a

关系

a,b,c……
集合 一 些 对 象 组 大写的字母 A, B, 成的总体 C………

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3.集合中元素的特征 一、 :即给定的集合,它的元素必须是确定的.即给定一个集合 A,那么任何

一个元素 a 在不在这个集合中就确定了 .也就是说 a ? A 或 a ? A 必须有且只有一种情形 成立. ( 2) :一个给定的集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素

是不能重复出现的,相同的元素在集合中只能算作一个元素.例如方程 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 的 解只能写成 {1, ?2} ,而不能写成 {1, ?2, ?2} . (3) 一个集合. 判断一组对象能否构成集合,关键是看对象是否满足集合中元素绵三个特征,特 别看是否满足确定性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等 的. 例 1. 判断下列各组对象能否构成集合? (1)不小于 2004 且不大于 2010 的所有正整数; (2)方程 x 2 ? x ? ? 0 的实数根; (3)比较矮的人.
1 2

:集合中元素的排列是无次序的,例如 {1, 2,3} 与 {1,3, 2},{2,3,1}等应表示同

4、数学中一些常见的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集) ,记作 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作 全体整数组成的集合称为整数集,记作 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作 ; ;
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全体实数组成的集合称为实数集,记作 5、集合的表示方法 列举法 把集合的元素 做列举法.

.

来,并用花括号“ {} ”括起来表示集合的方法叫

列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数. 注意事项: (1)元素间用“, ”分隔; (2)集合中元素必须满足元素的三个特征; (3)对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法;如果元素的个数较多或 无限个且构成集合的元素具有明显的规律时,也可以使用列举法,但必须把元素的规 律 显 示 清 楚 后 才 能 用 省 略 号 , 例 如 不 超 过 1000 的 正 整 数 构 成 的 集 合 可 表 示 为
{1, 2,3,?,1000}.

描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体的做法是:在花括号 内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为 { p ? D | p 适合的条件},其中 p 叫做代表元素, D 为 p 的限制范围,其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.如果 从上下文关系来看, p ? D 是明确的,那么 p ? D 可以省略,只写元素 p ,写成 { p | p 适合 的条件}.例如 {x ? R |1 ? x ? 3} 也可以表示成 {x |1 ? x ? 3} ; B ? {x ? Z | x ? 3k ? 1, k ? Z}也可表示 成 B ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z} . 使用描述法应注意以下事项: (1)应写清楚该集合中元素的代表元素.如集合 {x |1 ? x ? 3} 不能写成 {1 ? x ? 3} ,这样就
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少了代表元.再如集合 {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1} 与集合 { y | x2 ? y 2 ? 1} 表示不同的两个集合, 前者是 点集,而后者是数集,区别就在于它们的代表元不同. (2)准确地说明该集合中元素的特征.
( { x, y) | (1, 2)} ,事实上它应表 (3)应对其代表元素进行说明.如下面的表示方法是错误的:

示为 {( x, y) | x ? 1, y ? 2} ,或表示为{(1,2)}. 例 2.用列举法表示下列集合: (1) {( x, y) | x ? y ? 3, x ? N , y ? N} ; (2) { y | x ? y ? 3, x ? N , y ? N} . 6、列举法与描述法的比较 列举法与描述法各有优点,应根据具体问题确定使用那种集合的表示法,列举法 具有直观、明了的特点,但有些集合是不能用列举法表示出来的,例如方程 x ? 3 ? 0 的 解集.描述法把集合中所具有元素的特征性质描述出来,具有抽象、概括、普遍性的特 点.表示一个集合可认为是进行如下过程:
列举法
通过对元素规律的观察概括出特征元素的性质 根据特征性质,找出具体元素

描述法

例 3.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程 x( x2 ? 2x ? 3) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)大于 2 且小于 7 的整数组成的集合.

7.集合的分类 根据集合中元素的多少,集合可分为:有限集、无限集.元素个数是有限多个的集 合称为有限集,例如 {1, 2,3} ,{x ? Z |1 ? x ? 4} 都是有限集;元素个数是无限的集合称为无 限集, 例如 {x ? R |1 ? x ? 4} 就是无限集; 我们把不含有任何元素的集合称为空集, 记作 ? .
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例 如 求 方 程 x 2 ? x ? 1 ? 0 所 有 实 数 解 的 集 合 . 因 为 方 程 x 2 ? x ? 1 ? 0 没 有 实 数解 , 从 而
{x ? R | x2 ? x ? 1 ? 0} ? ?.

例 4.用适当的方法表示下列集合,并判断它是有限集还是无限集. (1)第三象限内所有点组成的集合; (2)由大于-3 而小于 9 的偶数组成的集合; (3)所有被 5 除余 2 的奇数组成的集合. 【课堂练习】 题型一、集合的概念 例 1、列各项中,能组成集合的是( ) C、不等于 0 的实数

A、高一(3)班的好学生 B、嘉兴市所有的老人 D、我国著名的数学家 例 2、下面四个命题正确的是( )

A、10 以内的质数集合是{0,3,5,7} C、方程 x2-2x+1=0 的解集是{1,1} 例 3、下列各条件中,不能确定一个集合的是( A、重庆一中高个子的全体 C、小于 100 的质数的全体 题型二、集合与元素的关系

B、 “个子较高的人”不能构成集合 D、偶数集为 x|x=2k,x∈N )

B、数轴上到原点的距离大于 1 的点的全体 D、方程 x2+2x+7=0 的解的全体

例 1、用符号∈与 ? 填空(其中 A 是由满足 y = x2 +1 且 x∈N 的实数 y 所组成的集合,

B 是由抛物线 y = x2 – 2x + 2 上的点所组成的集合) :
(1)0 (2)0 N*;
3

Z ;0

N;(-1)0

N;

3+

2

Q; 4
3

Q.

A;3.5

A;10

A;(1,2)

A.
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(3)(0,0)

B;(1,1)

B;2

B.

题型三、集合的表示方法 例 1.用列举法表示下列集合: (1)方程 x3 = x 的解集; 解集. 例 2.求不等式 2x–3>5 的解集. 例 3.用列举法表示 A = {(x,y)|x + y = 5,x,y∈N+}. 例 4、用描述法表示下列集合: (1)所有能被 3 整除的整数的集合; (2)使 y ?
2? x 有意义的集合; x

(2)方程组 ?

? 2 x ? 3 y ? 14 的 ? x ? 3 y ? ?11

(3)方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 所有实数解的集合; (4)抛物线 y ? x 2 ? 3x ? 6 上所有点的集 合。 题型四、集合元素特征 例 1、已知集合 A ? ?a ? 2, ?a ?1?2 , a2 ? 3a ? 3?,若1? A ,求实数 a 的值。
? 例 2、设 a, b ? R, 集合 ?1, a ? b, a? ? ? ?0, , b? ,则 b ? a ? _______________________. b ? a ?
0, ? 1,2? ,B ? ?y y ? x , x ? A?,则 B=___________________________. 例 3、已知 A ? ?1,

例 4、设集合 A ? ? 1 ,a, b?, B ? ?a, a 2 , ab? , 且A ? B, 求a 2010 ? b2010 . 题型五、集合的应用
. 例 1、已知集合 A ? ?x ax 2 ? 3x ? 4 ? 0, x ? R?

(1)若 A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围。

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课后作业 一、理解与应用 1.下列对象能组成集合的是( A.大于 6 而小于 9 的整数 D. 3 的近似数 2.给出四个关系中式:① ? ? {0} ;② 0 ?{(0,0)} ;③ 0 ?{0} ;④ 0 ? N * .其中表述正确的是 ( ) A.①③④ B.②③ C.③④ ) B. M ? {1,2}, N ? {2,1} D.①②③④ ) B.长江里的大鱼 C.某地所有高大建筑群

3.下列集合中表示同一个集合的是( A. M ? {1,2}, N ? {(1,2)} C. M ? { y | y ? x ?1, x ? R}, N ? { y | y ? x ?1, x ? N}
y ?1 ? 1}, N ? {( x, y ) | y ? 1 ? x ? 2} x?2 8 ? N *} 所有元素是( 4.集合 A ? {x ? N | 6? x

D. M ? {( x, y ) |

) D.2,4,5,

A.1,2,3,4 二、拓展与创新

B.-2,2

C.-2,2,4,5

5. 定义集合运算:A ? B ? {z | z ? xy( x ? y), x ? A, y ? B} .设集合 A ? {0,1}, B ? {2,3} , 则集合 A ? B 的所有元素之和为 . ;全体一次函数的集合

6.一次函数的图象上的所有点构成的集合是 是 三、综合与探究
7.用不同的方法表示方程 x ? 1 ? 0 的所有实数解构成的集合.
2

.

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第二讲
一、集合的包含关系

集合的基本关系

1.子集 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个 集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集(subset),记作 (或 ) ,读作“A 含于 B” (或“B 包含 A” ). 其数学语言表示形式为: 。 例 1.分别写出集合 {a},{a, b} 和 {a, b, c} 的所有子集,并得出子集的个数. 2.真子集 如果集合 A ? B , 但存在元素 x ? B , 且 x? A, 我们称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) , 即如果 A ? B 且 A ? B ,那么集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) 3.集合相等的概念 如果集合 A 是集合 B 的子集( ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( ) ,此时,集合 A 与集 合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 ;用 Venn 图表示 A ? B , 如: 。 例 2. 已知集合 A= ?a,a +b,a +2b? ,B ? ?a,ac,ac 2 ? .若 A ? B ,求 c 的值.

3.真子集 如果集合 A ? B , 但存在元素 x ? B , 且 x? A, 我们称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) , 即如果 A ? B 且 A ? B ,那么集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)

二、子集的有关性质
1.空集 ? 我们把不含有任何元素的集合叫做空集(empty set) ,记为 ? ,并规定:空集是任何集合的子集. 其实空集还可以看作是含有 0 个元素的集合,从这种角度出发,往往能为我们研究集合的性质提供有 条理性的帮助. 2.子集与真子集的性质 (1)任何集合是它本身的子集,即 A ? A ; (2)对于集合 A 、 B 、 C ,如果 A ? B, 且 B ? C , 那么 A ? C ; (3)对于集合 A 、 B 、 C ,如果 A B ,且 B C ,那么 A (4)空集 ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
C;

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例 3.下列表述正确的是(

) D. ? ? {0}

A. ? ? {0} B. ? ? {0} C. ? ? {0} 【题型一 】子集概念的考查

? ? ? y?x ? ? y ? 2x ? B? A .例 1.设 A ? ?( x, y) | ? 判断集合 A 是否是集合 B 的子集, B ? ?( x, y ) | ? ?, ?, y ? x ? 1 y ? ? 2 x ? 1 ? ? ? ? ? ?
成立吗? 【拓展·变式】 1. 若 P= y y =x 2 ,x? R ,Q ? y y =x 2 +1,x ? R ,试判断集合 P 与集合 Q 之间的包含关系.

?

?

?

?

【题型二】 集合相等概念的考查 例 2.(1)设 A ? {x | 2m ?1 ? x ? m ? 3}, B ? {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ,问 m 为何值时能使得 A ? B ? (2)已知 X ? {x | x ? 2n ? 1, n ? Z},Y ? { y | y ? 4k ? 1, k ? Z} ,求证: X ? Y . 【拓展·变式】 2. 设集合 A ? ?a a =3n+2,n ? Z ?, B = ?b b =3k -1,k ? Z ? ,则集合 A、B 的关系是________.

【题型三 】空集 ? 的作用 例 3.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 B 围是________. 【拓展·变式】 3. 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},若 B

A,则实数 p 的取值范

A,求实数 m 范围.

夯实基础 能力提升 1. 下列关系中正确的个数为 ①0∈{0},② ? {0},③ {0,1} ? {(0,1)} ,④ {( a, b)} = {(b, a)} A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

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2. 下列图形中,表示 M ? N 的是(



M A.

N

N

M B.

M C.

N

M

N D.

b 3.设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? {0, , b} ,则 b ? a ? ( ) a A.1 B. ?1 C.2 D. ?2 1 1 9 4.设集合 A ? {x | x ? k ? , k ? Z } ,若 x ? ,则下列关系正确的是( ) 2 4 2

A. x ? A
二、拓展与创新

B. x ? A

C. {x} ? A

D. {x} ? A

5. 用适当的符号填空: (1) ? (3){1}
{x x 2 ? 1 ? 0} ; (2){1,2,3} { x x 2 ? x} ; (4)0
{x x 2 ? 2 x} .

N;

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第三讲 1.交集

集合的基本运算

定义:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集(intersection set),记 作 A ? B (读作“A 交 B” ) ,即 A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B}. 交集用韦氏图(venn)表示为: 【说明】 1 ○ A ; ; ; A?B B

x? A? B ?

x? A? B ?
2 A? A ? ○ 3 A ? (B ? C) ? ○
2

A?

?=

; A? B ? ;



; A? B ? A ?

例 1 设集合 A ? {2, ?1, x ? x ? 1}, B ? {2 y, ?4, x ? 4}, C ? {?1,7} ,且 A ? B ? C ,求实数 x, y 的值及 A ? B.

2.并集
定义: 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素所组成的集合, 称为集合 A 与集合 B 的并集 (union set),记作 A ? B (读作“ A 并 B ” ) ,即 A ? B ? {x | x ? A ,或 x ? B}. 并集用韦氏图(venn)表示为:
A
B

A

B
A

B

A? B

A? B

A? B

【说明】 1 x? A? B ? ○ 2 A? A ? ○ 3 A ? (B ? C) ? ○
2

; ;

x? A? B ?
?=

; ; A? B ? ; ;

A?

; A? B ? A ?

例 2 设集合 A ? {2, ?1, x ? x ? 1}, B ? {2 y, ?4, x ? 4}, C ? {?1,7} ,且 A ? B ? C ,求实数 x, y 的值及 A ? B.

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3.全集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),通常记作 U .

4.补集
对于一个集合 A, 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集

U 中集合 A 的补集. (complementanry set),简称为集合 A 的补集,记作 ? U A ,即 ? U A ? {x | x ?U , 且 x ? A} ,读作全集
其韦氏图(venn)表示如下图所示: 【说明】 (1) 痧 U(
U

U

A
?U A

A) ? A ;

(2) ? UU ? ? ; ? U? ? U ; (3) A ? (痧 U A) ? U ; A ? (
U

A) ? ? ;
U

(4)*(德摩根(De Morgan)定律) 痧 U ( A ? B) ? (

A) ? (? U B) ; 痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B) .

3. 已知,全集 U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求 ? U A ,? UB , (? U A )∩( ? U B ),( ? U A )∪( ? U B ), ? U ( A ? B) , ? U ( A ? B) ,并指出其中相等的集合. 【课堂练习】 1. 设 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 , C ? x x ? 0 , 求 A ? B , A ? B , A ? ?B ? C ? .

?

?

?

?

?

?

2 2 2. 设集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x 2 x ? ax ? 2 ? 0 , 若 A ? B ? A, 求实数 a 的取值集合.

?

?

?

?

3. 设全集为 R , A ? x x ? 5 , B ? x x ? 3 ,求: (1) A ? B ; (2) A ? B ; (3) C R A, C R B ; (4) ?C R A? ? ?C R B? ; (7) C R ? A ? B ? .

?

?

?

?

(5) ?C R A? ? ?C R B? ;

(6) C R ? A ? B ? ;

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2 2 4. 设全集 U ? R, A ? x ? N x ? px ? 12 ? 0 , B ? x ? N x ? 5 x ? q ? 0 ,

?

?

?

?

若 ?CU A? ? B ? ?2?, A ? ?CU B ? ? ?4?, p, q ? Z ,试求 p ? q 的值和 A ? B .

5. 已知集合 A ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0} B ? {x 0 ? x ? m ? 9} ①若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围; ②若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

6. 已知集合 A ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0} B ? {x 0 ? x ? m ? 9} ①若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围; ②若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

夯实基础 能力提升 1.已知集合 S ? ? x ? R x ? 1 ? 2? , T ? ??2, ?1 , 01 , , 2? ,则 S ? T ? ( A. ?2? B. ?1, 2? C. ?0, 1, 2? ) D. ??1, 01 , , 2? )

2. 图中阴影部分所表示的集合是( A. B∩[CU(A∪C)] C. (A∪C)∩(CUB)

B. (A∪B) ∪(B∪C) D. [CU(A∩C)]∪B
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中小学个性化辅导专家 3. 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ ? ,若 A∪B=A,则( A.-3≤m≤4 B. -3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 )

2 4. 已知全集 U ? R, 且 A ? x | x ? 1 ? 2 , B ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 , 则 (CU A) ? B 等于 (

?

?

?

?

)

A. {x | ?1 ? x ? 4}

B. {x | 2 ? x ? 3}

C. {x | 2 ? x ? 3}

D. {x | ?1 ? x ? 4}

二、拓展与创新 5. 某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐,则该班既爱 好体育又爱好音乐的人数为 人. 6. 设集合 A ? ?? x, y ? | y ?| x ? 2 |, x ? 0?, B ? ?? x, y ? | y ? ?x ? b?, A ? B ? ? , (1) b 的取值范围是 . .

(2)若 ? x, y ? ? A ? B, 且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是 三、综合与探究

7. 已知 x ? R, y ? N ? , A ? {y y ? x2 ? 4x ? 6} B ? {y y ? ?x2 ? 2x ?18} ,求 A∩B.

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