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导数在研究函数中的应用(单调性) 2


判断函数单调性有哪些方法?

定义法 图象法

y ? x3 ? 3 x ? y ? x 2 的单调性。 比如:判断函数
y

y ? x2

如图:

减 函数在 ( ??, 0) 上为____函数, 增 在 (0, ?? ) 上为____函数。

o

x

观察下列图象的单调区间,
并求单调区间相应的导数. 图象是单调上升的. y? ? 1 ? 0

在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.

y? ? 2 x ? 0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.

y? ? 2 x ? 0

图象是单调上升的.

y? ? 3x ? 0(当x ? 0时)
2

在x∈(-∞,0)内
图象是单调下降的. 1 y? ? ? 2 ? 0 x 在x∈( 0,+∞)内

图象是单调下降的.
1 y? ? ? 2 ? 0 x

函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时, 如果 f ?( x) ? 0 , 则f (x)为增函数; 如果 f ?( x) ? 0 , 则f (x)为减函数。

函数及图象
y
f ( x) ? x2

单调性

切线斜率 导数的正负 k 的正负

在(??,0)上递减
在(0, ??)上递增

o y
y ? f ( x)

x

o a
y

b x
y ? f ( x)

o a

b x

在某个区间(a, b)内,

f '( x ) ? 0

? f ( x)在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0
注意:

? f ( x)在(a, b)内单调递减

应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必是定 义域内的某个区间。

思考:结合 y ? x思考:如果
3

递增,那么在该区间上必 f ' ( x) ? 0 有吗?

f ( x) 在某区间上单调

1.应用导数求函数的单调区间 基础训练:,“减” ,“既不是增函数,也不是减函 (选填:“增”
数”)
增 (1) 函数y=x-3在[-3,5]上为__________函数。 增 (2) 函数 y = x2-3x 在[2,+∞)上为_____函数, 减 在(-∞,1]上为______函数,在[1,2]上为__ 既不是增函数,也不是减函数 __________________________________函数。

理解训练:
求函数 y ? 3 x 2 ? 3 x 的单调区间。
1 1 令y ' ? 0得x ? , 令y ' ? 0得x ? 2 2 1 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( , ?? ) 2 1 单调递减区间为 ( ??, ) 2 变1:求函数 y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间。

解: ? y ' ? 6 x ? 3

解: ? y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2)
2

2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3

2

总结:根据导数确定函数单调性的步骤:

1.确定函数f (x)的定义域. 2.求出函数的导数.
3.解不等式f ?(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ?(x)<0,得函数单减区间.

例2、已知导函数 f ?(x ) 的下列信息:
当1<x<4时, f ?( x) ? 0 当x>4,或x<1时, f ?( x) ? 0 当x=4,或x=1时, f ?( x) ? 0 试画出函数f(x)图象的大致形状。

解:由题意可知

y
y ? f (x)

当1<x<4时, f(x)为增函数 当x>4,或x<1时, f(x)为减函数 当x=4,或x=1时, 两点为“临界点”

o

1

4

x

其图象的大致形状如图。

例3.求下列函数的单调增区间

1 3 1 2 2 f ( x) ? x ? a x ? 2a x ? 1(a ? 0) 3 2

课堂练习:求下列函数的单调增区间

y
1. f(x)=x3+3x ; 解: f ?(x) =3x2+3=3(x2+1)>0 从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增, 见右图。
o

x

f ( x) ? x3 ? 3x

2. f(x)=x2-2x-3 ; 解: f ?(x) =2x-2=2(x-1)>0 当 f ?(x) >0,即x>1时,函数单调递增; 当 f ?(x) <0,即x<1时, 函数单调递减; 图象见右图。
o
1

y

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3

x

3. f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解: f ?(x) =cosx-1<0 从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减, 见右图。
y

o
f ( x) ? sin x ? x

x

4. f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 解: f ?(x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 当 f ?(x) >0,
即 x ? ? 1 ? 17 或x ? ? 1 ? 17
2 2

时,

函数单调递增;

当 f ?(x) <0,

即 ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 时, y ?x? 2 2
函数单调递减; 图象见右图。

o

x

1°什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便?

总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。 2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤? ①求定义域

②求 f '( x )

③令f '( x ) ? 0解不等式 ? f ( x )的递增区间
f '( x ) ? 0解不等式 ? f ( x )的递减区间 ④求定义域

利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求

y = f(x ) 的定义域D
x?D

(2)求导数 f ?( x ). (3)解不等式组 f' (x) ? 0 得f(x)的单调递增区间;
f' (x) ? 0 解不等式组 得f(x)的单调递减区间. x?D

说明:函数的单调区间必定是它的定义域 的子区间,故求函数的单调区间一定首先 要确定函数的定义域,在求出使导数的值 为正或负的x的范围时,要与定义域求两者 的交集.

1、函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 的单调减区间为 2、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调增区间为
3 3、已知函数 f ( x) ? ax ? ax ?1为?1, ??) 内的增函数,则实数a的 取值范围为

已知函数 值范围为

y?

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 在R上不是增函数,则b的取 3


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