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2011-04-07分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)


分类加法计数原理与分步 乘法计数原理(1)

探究新知
1. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里 的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?

26+10=36
2. 从库车到乌市旅游,可以乘火车,也可以乘汽车。若 一天中火车有4列,汽车有32辆。那么一天中乘坐这些交

通工具从库车到乌市有多少种不同的走法?

4+32=36

结论形成
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种 不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完

成这件事共有

N=m+n
种不同的方法.

结论形成
完成一件事,有 n 类办法,在第1类办法中有 m1 种不同的方法,在第2类办法中有 m2 种不同的方 法 …… 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法, 那么 完成这件事共有

N=m1+m2+…+mn
种不同的方法.
适用条件:这n类办法彼此相互独立, 彼此互斥, 不管 哪一类办法中的哪一种方法都可独立完成这件事情

例题选讲

【例1】 在填写高考志愿时,一名高中毕业生了解到,A, B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况 如下: A 大学 B 大学
生物学 化学 医学 物理学 工程学 数学 会计学 信息技术学 法学

如果这名同学只能选一个专业,求他共有多少种不同的 选择方法?

5+4=9(种)

探究新知
1. 用A~F六个大写的英文字母和1~9九个阿拉伯数字, 以A1,A2,…,B1,B2,…的方式给教室里的座位编 号,总共能够编出多少种不同的号码?

6×9=54
2.从库车到西安旅游, 因为某种原因,选择从库车先 乘火车(一天中有4班)到兰州,再于次日从兰州乘飞 机(一天中有5班)到西安。那么两天中乘坐这些交通

工具从库车到西安有多少种不同的走法?

4×5=20

结论形成
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方 法,做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有

N=m×n
种不同的方法.

结论形成
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有 m1种

不同的方法,做第2步有 m2种不同的方法……做第n步
有 mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.

N=m1×m2×…×mn

适用条件: 这n个步骤不可缺少, 相互依存, 需要依 次完成所有步骤,才能完成这件事情.

两个原理的比较
共同点 回答的都是有关完成一件事情的不同方法总数的问题 不同点 在于完成一件事情的方式不同: 1、分类加法计数原理是“分类完成”,即任何一类办法中用 任何一个方法都能独立完成这件事;

2、分步乘法计数原理是“分步完成”,即这些方法需要分步
骤顺次相依完成,且只有每一个步骤都完成了,才能完成这件 事情. 简单地说即是: “分类互斥,分步互依”

例题选讲
【例2】书架的第一层放有4本不同的计算机书,第二层 放有3本不同的文艺书,第三层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第一,二,三层各取1本书,有多少种不 同的取法? (3)若从这些书中取不同科目的书两本,有多少种不 同的取法?
(1)4+3+2=9(种)
请按以下要求回答各问题: 1、事情是什么? (2)4×3×2=24(种) 2、怎样才算完成这件事? (3)4×3+4×2+3×2=26(种)3、你需要用到什么原理? 4、怎样算?

例题选讲
【例3】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别 挂在左、右两边墙上的指定位置,求共有多少种不同 的挂法?

3×2=6(种)

例题选讲
【例4】某地区的部分电话号码是05748629××××, 后 面每个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同

的电话号码?

变式:
1. 若要求最后4个数字不重复,则有多少个不同的电话号码? 2. 用0 ~ 9这10个数字能组成多少个没有重复数字的四位整数? 3. 用0 ~ 9这10个数字能组成多少个没有重复数字的四位偶数?

例题选讲
【 例 5】 若 A={a1,a2,a3,a4},B={b1,b2,b3} 则 从 集 合 A 到 34 集合B可建立____个不同映射,从集合B到集合A可建 43 立____个不同映射。 练习:
(1)4封不同的信,投入3个邮箱,共有____种投法? 34
(2)4名运动员报名参加跳高、跳远、游泳比赛,每队限报一项, 34 则有_____不同的报名方法? 43 (3)4名运动员争夺三项冠军,不允许并列冠军,则共有______种 冠军获得情况?

归纳小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理,都是解决完 成一件事的方法数的计数问题,其不同之处在于,前者是 针对“分类”问题的计数方法,后者是针对“分步”问题 的计数方法. 2.在“分类”问题中,各类方案中的每一种方法相互独 立,选取任何一种方法都能完成这件事;在“分步”问题 中,各步骤中的方法相互依存,只有各步骤各选一种方法 才能完成这件事. 3.在应用分类加法计数原理时,分类方法不惟一,但 分类不能重复,也不能遗漏. 在应用分步乘法计数原理 时,分步方法不惟一,但分步不能重叠,也不能缺少.


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