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陕西省铁一中2012届高三第二次模拟考试:数学理


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2012 届高三第二次模拟考试数学试题(理科 届高三第二次模拟考试数学试题 理科) 理科
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 一、选择题 选择题 是符合题目要求的.) 1 . 设全集 U = R, A = {x | ? x ? 3x < 0}, B = {x | lg x < 0} ,则图中阴影部分表示的集合为
2

(

) B. {x | 0 < x < 3} C. {x | 0 < x < 1} D. φ (第 1 题) )

A. {x | x < 1}

x + ( x 2 ? x)i 2. 若复数 z = ( x ∈ R )为纯虚数,则 x 等于( i
A.0 B.1 C.-1 D.0 或 1

3.设 a, b ∈ R ,则“ a > 2 且 b > 1 ”是“ a + b > 3 且 ab > 2 ”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知四棱锥的俯视图是边长为 2 的正方形及其对角线(如下图) ,主视 图与左视图都是边长为 2 的正三角形,则其全面积是( ) A. 4 3 B. 4 + 4 3 C.8 D.12 5. 各项为正数的等比数列 {a n } 中, 1 a5 + 2a3 a 6 + a1 a11 = 16 , a 3 + a 6 a 则 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6. △ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,

a sin A sin B + b cos 2 A = 2a ,则
A. 2 B. 2 2

b =( a

) D. 2 3

C. 3

7. 若函数 f ( x ) = ?log ( ? x ), x < 0 ,若 af (?a) > 0 ,则实数 a 的取值范围是( 1

?log 2 x, x > 0 ? ? ?
2



A. ( ?1, 0) ∪ (0,1) C. ( ?1, 0) ∪ (1, +∞)

B. (?∞, ?1) ∪ (1, +∞) D. ( ?∞, ?1) ∪ (0,1)

8. 已知 m 是二项式 ( x + ) ( a 为常数)展开式中有理项的个数,则 (
7

a x

1 ? 2)m 展开式 x

的中间项为( A. ?

) B. ?

24 x

24 x2

C.

24 x2

D.

24 x

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9.设点 P 是以 F1、F2 为左、右焦点的双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 左支上一点,且满足 a2 b2
( )

uuur uuuu r 2 PF1 ? PF2 = 0, tan ∠PF2 F1 = ,则此双曲线的离心率为 3
A. 3 B.

13 2

C. 5

D. 13

?x + y ? 2 ≤ 0 10.已知关于 x 的函数 f ( x ) = x 2 ? 2 bx + a 2 ,若点 (a, b) 是区域 ? x > 0 ? ?y > 0 ? 内任意一点,则函数 f ( x ) 在 R 上有零点的概率为( )

A.

2 3

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 12

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) . 填空题 11. 如图所示, 程序框图 (算法流程图) 的输出结果是
.

r r r r r r r r r r 12. 已知向量 a ,b ,c 满足 a ? b + 2c = 0 , a ⊥ c , a = 2 , 且

r r c = 1 ,则 b =



13.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点 O 的一条直线与函数

f ( x) =

2 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是 x

________.

14.某工厂有三个车间生产不同的产品,现将 7 名工人全部分配到这三个车间,每个车间至 多分 3 名,则不同的分配方法有 种. (用数字作答)
15.选做题 选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分) 选做题

A. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为: ρ + 2 ρ cos θ = 0 ,
? π? ? 点 P 的极坐标为 ? 2, 2 ? ,过点 P 作圆 C 的切线,则两条切线夹角的正切值是 ?

2

.

B.(不等式选做题)若不等式 | x +

1 |>| a ? 2 | +1 对于一切非零 x

实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围为__________ C.(几何证明选做题) 如图圆 O 的直径 AB = 6cm ,P 是 AB 的延 长 线 上 一 点 ,过 点 P 作圆 O 的 切 线 , 切点 为 C,连接 AC, 若

∠CPA = 300 ,则 PC =

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 解答题 16.(本小题满分 12 分)

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(1)求 θ 的值; (2) 将函数 y = f ( x) 图象上各点的横坐标变为原来的的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

r r r r π 0 < θ < π ,且函数 f ( x) = (a ? b) cos x + (b ? c) sin x 的图象过点 ( ,1) . 6

已 知 平 面 向 量 a = (cos θ , sin θ ) , b = (cos x, sin x ) , c = (sin θ ,? cos θ ) , 其 中

r

r

r

y = g ( x) 的图象,求函数 y = g ( x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值. 2
17.(本小题满分 12 分)已知数列 {log 2 ( an ? 1)} , n ∈ N * 为等差数列,且 a1 = 3, a 3 = 9. (1)求数列 {a n } 的通项公式;

π

(2)证明:

1 1 1 + +L+ < 1. a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n +1 ? a n

18. (本小题共 12) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB = AC = 5 ,D ,E 分别为 BC ,

BB1 的中点,四边形 B1 BCC1 是边长为 6 的正方形.
(1)求证: CE ⊥ 平面 AC1 D ; (2)求二面角 C ? AC1 ? D 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)某高校在 2011 年自主招生考试成绩 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组: 1 组[75, 第 80), 2 组[80, 第 85), 第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. 频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

(1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2) 若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 试, (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 的概率; (ⅱ) 学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试, 设第 4 组中有 ξ 名 学生被考官 D 面试,求 ξ 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 13 分) 如图, 已知椭圆 C:

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、 右焦点为 F1、F2 , a2 b2

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其上顶点为 A .已知 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过点 Q(?4,0) 任作一直线 l 交椭圆 C 于 M, N 两 点,记 MQ = λ ? QN . 若在线段 MN 上取一点 R, 使得 MR = ?λ ? RN ,试判断当直线 l 运 动时,点 R 是否在某一定直线上运动?若在,请求出该定直线的方程,若不在,请说明理 由. 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = xe (1)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; 证明当 x > 1 (2) 已知函数 y = g ( x ) 的图象与函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 1 对称. 时, f ( x ) > g ( x ) ; (3)如果 x1 ≠ x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,证明 x1 + x2 > 2 .
?x

( x ∈R) .

2012 届高三第二次模拟考试数学答案(理科 届高三第二次模拟考试数学答案(理科)
选择题: 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分) CBADB,AADDC 填空题: 小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. 15; 12.

2 2 ; 13. 4 ; 14. 1050 ; 15. (1)

4 3

(2) 1 < a < 3

(3) 3 3

解答题: 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 6 小题,共 75 分) 16(本小题满分 12 分).解: ( (1)

r r a ? b = cosθ cosx + sinθ sinx) = cos( ? x) θ ……………………1 分 r r b ? c = cosx sinθ ? sin x cosθ) = sin( ? x) ……………………………2 分 θ r r r r ∴ f ( x ) = ( a ? b) cos x + (b ? c ) sin x = cos(θ ? x) cos x + sin(θ ? x) sin x = cos(θ ? x ? x) ……………………………4 分 = cos(2x ? θ ) π π ∴ f ( ) = cos( ? θ ) = 1 6 3 而, 0 < θ < π π ∴θ = ……………………………6 分 3 π (2)由(1)得, f ( x ) = cos(2 x ? ) , 3 1 π 于是 g ( x ) = cos(2( x ) ? ) , 2 3

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即 g ( x ) = cos( x ? 当 x ∈ [0, 所以

π
3

). 3 ≤ x?

……………………………9 分

π
2

] 时, ?

π

π
3



π


1 π ≤ cos( x ? ) ≤ 1 , 2 3

6
……………………………11 分

即当 x = 0 时, g ( x ) 取得最小值 当x=

π
3

1 , 2
……………………12 分

时, g ( x ) 取得最大值 1 .

17.(本小题满分 12 分)(1)解:设等差数列 {log 2 ( a n ? 1)} 的公差为 d. ( 由 a1 = 3, a3 = 9得 log 2 2 + 2d = log 2 8, 即 d=1. 所以 log 2 ( an ? 1) = 1 + ( n ? 1) × 1 = n, 即 a n = 2 n + 1. (2)证明: Q ………………………6 分

1 1 1 = n +1 n = n , an +1 ? an 2 ? 2 2



1 1 1 1 1 1 1 + +L+ = 1 + 2 + 3 +L+ n a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n +1 ? a n 2 2 2 2

1 1 1 ? n× 2 = 1 ? 1 < 1. 2 = 2 1 2n 1? 2
(18). (本小题满分 12 分)

………………………12 分

(1)证明:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

BB1 ⊥ 平面 ABC ,又 AD ? 平面 ABC , 所以 BB1 ⊥ AD .
因为 AB = AC , D 为 BC 中点, 所以 AD ⊥ BC .又 BC I BB1 = B , 所以 AD ⊥ 平面 B1 BCC1 . 又 CE ? 平面 B1 BCC1 ,所以 AD ⊥ CE . 因为四边形 B1 BCC1 为正方形, D , E 分别为 BC , BB1 的中点, 所以 Rt △ CBE ≌ Rt △ C1CD , ∠CC1 D = ∠BCE .

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所以 ∠BCE + ∠C1 DC = 90 .
o

所以 C1 D ⊥ CE .

又 AD I C1 D = D , ……………………6 则

所以 CE ⊥ 平面 AC1 D .

( 2 ) 解 : 如 图 , 以 B1C1 的 中 点 G 为 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .

A(0, 6, 4), E (3,3, 0), C (?3, 6, 0), C1 (?3, 0, 0) . uuu r 由(Ⅱ)知 CE ⊥ 平面 AC1 D ,所以 CE = (6, ?3, 0) 为平面 AC1 D 的一个法向量.
设 n = ( x, y , z ) 为平面 ACC1 的一个法向量,

uuuu r uuur AC = (?3, 0, ?4) , CC1 = (0, ?6, 0) . uuur ?n ? AC = 0, ??3 x ? 4 z = 0, ? 可得 ? 由 ? uuuu r ??6 y = 0. ?n ? CC1 = 0. ?
3 令 x = 1 ,则 y = 0, z = ? . 4


z A1 A

C1 G B1 E B D

C y

3 n = (1, 0, ? ) . 4 uuu r uuu r CE ? n 8 r = cos < CE , n >= uuu 5. | CE | ? | n | 25






x

因为二面角 C ? AC1 ? D 为锐角, 所以二面角 C ? AC1 ? D 的余弦值为

8 5 .……………………12 25

19. (本小题满分 12 分)解:(1) 第三组的频率为 0.06 × 5=0.3; 第四组的频率为 0.04 × 5=0.2; 第五组的频率为 0.02 × 5=0.1. ……………………3 分 (2)(ⅰ)设 M:学生甲和学生乙同时进入第二轮面试
1 C 28 1 P(M)= 3 = C 30 145

…………—————6 分

(ⅱ) P (ξ = i ) =

i 2 C 2 C 4 ?i (i = 0、 2) 1、 2 C6

ξ
P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
——————10 分

Eξ =

8 2 2 + = 15 15 3
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——————12 分

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20. (本小题满分 13 分) 解(1) ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形,则 c = 1, a = 2 ,……………………2 分 x2 y2 + = 1. 4 3

故椭圆 C 的方程为

……………………5 分

(2)直线 MN 的斜率必存在,设其直线方程为 y = k ( x + 4) ,并设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) .

? x2 y2 ? + = 1 ,消去 y 得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 32k 2 x + 64k 2 ? 12 = 0 ,则 联立方程 ? 4 3 ? y = k ( x + 4) ? ? = 144(1 ? 4k 2 ) > 0, x1 + x 2 = ? 32k 2 64k 2 ? 12 , x1 ? x 2 = 3 + 4k 2 3 + 4k 2

………………8 分

由 MQ = λ ? QN 得 ? 4 ? x1 = λ ( x 2 + 4) ,故 λ = ?

x1 + 4 . x2 + 4

……10 分

设点 R 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,则由 MR = ?λ ? RN 得 x 0 ? x1 = ?λ ( x 2 ? x 0 ) ,解得

x0 =

x1 ? λx 2 = 1? λ

x1 +

x1 + 4 ? x2 2 x x + 4( x1 + x 2 ) x2 + 4 = 1 2 . x1 + 4 ( x1 + x 2 ) + 8 1+ x2 + 4 64k 2 ? 12 ? 32k 2 ? 24 , + 4× = 2 2 3 + 4k 3 + 4k 3 + 4k 2

…………………11 分

又 2 x1 x 2 + 4( x1 + x 2 ) = 2 ×

( x1 + x 2 ) + 8 =

2 x1 x 2 + 4( x1 + x 2 ) ? 32k 2 24 +8 = ,从而 x0 = = ?1 ,故点 R 在定 2 2 ( x1 + x 2 ) + 8 3 + 4k 3 + 4k

直线 x = ?1 上. …………………13 分

21. (本小题满分 14 分)
【解】 解 (1) f ′ ( x ) = (1 ? x ) e .令 f ′ ( x ) = (1 ? x ) e
?x ?x

= 0 ,则 x = 1 .

当 x 变化时, f ′ ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x f ′( x) f ( x)

( ?∞,1)
+


1 0
极大值

(1, +∞ )
?


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所以 f ( x ) 在区间 ( ?∞,1) 内是增函数,在区间 (1, +∞ ) 内是减函数. 函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极大值 f (1) .且 f (1) =

1 . e

(4 分)

(2)因为函数 y = g ( x ) 的图象与函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 1 对称, 所以 g ( x ) = f ( 2 ? x ) ,于是 g ( x ) = ( 2 ? x ) e 记 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,则 F ( x ) = xe 当 x > 1 时, 2 x ? 2 > 0 ,从而 e
2 x? 2

x?2



?x

+ ( x ? 2 ) e x ? 2 , F ′ ( x ) = ( x ? 1) ( e 2 x ? 2 ? 1) e ? x ,

? 1 > 0 ,又 e? x > 0 ,所以 F ′ ( x ) > 0 ,

于是函数 F ( x ) 在区间 [1, +∞ ) 上是增函数. 因为 F (1) = e ? e
?1 ?1

= 0 ,所以,当 x > 1 时, F ( x ) > F (1) = 0 .因此 f ( x ) > g ( x ) . (9

分) (3) ① 若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) = 0 ,由(1)及 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,得 x1 = x2 ,与 x1 ≠ x2 矛盾; ②若 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) > 0 ,由由(1)及 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,得 x1 = x2 ,与 x1 ≠ x2 矛盾; 根据①,②可得 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) < 0 .不妨设 x1 < 1, x2 > 1 . 由(2)可知 f ( x2 ) > g ( x2 ) = f ( 2 ? x2 ) ,所以 f ( x1 ) = f ( x2 ) > g ( x2 ) = f ( 2 ? x2 ) . 因为 x2 > 1 ,所以 2 ? x2 < 1 ,又 x1 < 1 ,由(1) f ( x ) 在区间 ( ?∞,1) 内是增函数, , 所以

x1 > 2 ? x2 ,即 x1 + x2 > 2 . (14 分)

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