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浙江省杭州外国语学校2014届高三3月月考数学(理科)试卷


浙江省杭州外国语学校 2014 届高三 3 月月考数学(理科)试卷
注意事项:1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟
2.整场考试不准使用计算器 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的
1.设全集 U

? R ,集合 M ? ? x | y ? lg( x 2 ? 1)? , N ? ? x | 0 ? x ? 2? ,则 N
B. ? x | 0 ? x ? 1?

(?U M ) ? (



A. ? x | ?2 ? x ? 1?

C. ? x | ?1 ? x ? 1? D. ? x | x ? 1?

2. 函 数
y
1

1 f ( x) ? 2|log 2 x| ? | x ? | 的图像为 ( x
y
1
1
x

)
y
1

y

1 1
x

O

O

1

x

O

O

1

x

A

B

C

D
开始 输入a k ? 1, S ? 0

3. 设 a , b 是两条直线,? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件 是( )

A. a ? ? , b / / ? , ? ? ? B. a ? ? , b ? ? , ? / / ? C. a ? ? , b ? ? , ? / / ? D. a ? ? , b / / ? , ? ? ? 4. 阅读如图所示的程序框图,若输入 a ? A. 9 B. 10 C. 11
x

S ?S?

1 (2k ? 1)(2k ? 1)
k ? k ?1

9 ,则输出的 k 值是() 19

S ? a?



D. 12
x


输出k

5. 已知命题 p : ?x ? (??,0),3 ? 4 ; 命题 q : ?x ? (0, A. p ? q

?
2

), tan x ? x 则下列命题中真命题是( )
C. p ? ( ? q ) D. (?p) ? q

结束

B. p ? (?q)

? x ? y ? 4, ? 2 2 2 6.设不等式组 ? y ? x ? 0 表示 的平面区域为 D.若圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r ( r ? 0) 不 ?x ?1 ? 0 ?
·1 ·

经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是(



A. [2 2, 2 5] B. (0, 2 2) C. (0, 2 2)

(3 2, ??)

(2 5, ??) D. (0,3 2) (2 5, ??)

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. 1 B.

1 1 C. 3 2

D.

3 2
? 为三


8. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中,设随机变量 个盒子中含球最多的盒子里的球数,则 ? 的数学期望 E? ( A. )

17 9

B.

19 9

C.2

D.

7 3

? 2 x3 ?1 ? ? x ? 1 , x ? ? 2 ,1? ?x ? ? ? ? 2a ? 2 ? a ? 0 ? ,若存 9. 已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ( x) ? a sin 6 1 1 1 ? ? ?? x ? , x ? 0, ? ? 6 ? 2? ? ? 3
在 x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. [ ,

1 3 ] 2 4

B. [ ,

3 3 ] 4 2

C. [ ,

2 4 ] 3 3

D. [ ,

1 4 ] 2 3

?2 x ? 1, ( x ? 0) 10.已知函数 f ( x ) = ? ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺 ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0)
序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( A. a n ? ) D. an ? 2 ? 2
n

n(n ? 1) 2

B. an ? n ? 1

C. an ? n(n ? 1)

二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设 a ? 0 ,在二项式 (a ? x ) 10 的展开式中,含 x 的项的系数与含 x 4 的项的系数相等,则 a 的值 为 . 12.在平面直角坐标平面上, OA ? (1, 4), OB ? (?3,1) ,且 OA 与 OB 在直线 l 上的射影长度 相等,直线 l 的倾斜角为锐角,则 l 的斜率为 .

13. 一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱 长的最大值为___ 14.由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且 4 不在第四位,
·2 ·

则这样的六位数共有 ___

个. .

15.平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 , a ? e ? 1 , b ? e ? 2 , | a ? b |? 2 ,则 a ? b 的最小值为 16.已知

x y x0 2 y0 2 ? ? 1 ,过点 P( x0 , y0 ) 作一直线与曲线 ? ? 1 相交且仅有一个公共 3 9 3 9
π 2π 或 ;类比此思想,已知 3 3

2

2

点,则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角
x0 y0 ? x02 ? 1 ,过点作一直线与函数 y ?

x2 ? 1 的图象相交且仅有一个公共点,则该直线的 x

倾斜角为__________ 17.已知集合 M ?

?? x, y ? y ? f ? x ?? ,若对于任意 ? x , y ? ? M ,存在 ? x , y ? ? M ,使得
1 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
① M ? ?? x, y ? y ?

? ?

1? ?; x?
2

②M ?

?? x, y ? y ? sin x ? 1? ;

③M ?

?? x, y ? y ? log x? ;

④M ?

?? x, y ? y ? e

x

?2 .

?

其中是“垂直对点集”的序号是 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. (本题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0,

?

? 2? ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减; 3 3 3

如图,四边形 OACB 中, a , b , c 为 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边,且满足

4? ? cos B ? cos C sin B ? sin C 3 . ? sin A cos A
(1)证明: b ? c ? 2a (2)若 b ? c , ?AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 , 求四边形 OACB 面积的最大值.
O

C

B

?

A

19. (本题满分 14 分) 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用 会逐年增加,第一年的维护费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,
·3 ·

从第八年开始,每年的维护费用比上年增加 25% (1)设第 n 年该生产线的维护费用为 an ,求 an 的表达式; (2)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线,求该生产线前 n 年每年的 平均维护费用,并判断第 几年年初需要更新该生产线?
20. (本题满分 14 分)

在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正 三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC , 平面 BCD ? 平面 ABC , BD ? CD ,且 BD ? CD. (1)若 AE ? 2 ,求证: AC / / 平面 BDE (2)若二面角 A ? DE ? B 为 60°,求 AE 的长.

21. (本题满分 15 分)

已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,⊙ O : x 2 ? y 2 ? b 2 , 点 A,F 分别是椭圆 C 的左顶 a 2 b2

点和左焦点, 点 F 不是 O 上的点,点 P 是 O 上的动点. (1)若 P (?1, 3) ,PA 是 O 的切线,求椭圆 C 的方程; (2)是否存在这样的椭圆 C,使得 说明理由.

| PA | 恒为常数?如果存在,求出这个数及 C 的离心率 e;如果不存在, | PF |

22. (本题满分 15 分) 设 f ( x) ? ln x .

·4 ·

1 ? x) 最大值; (1)若 ? ? (0,1) ,求 g ( x) ? ? ln x ? (1 ? ? ) ln(
(2)已知正数 ? , ? 满足 ? (3)已知 xi
n

? ? ? 1 .求证: ?f ( x ) ? ?f ( x ) ? f (?x ? ?x ) ;
1 2 1 2

? 0 ,正数 ? 满足 ? ? i ? 1 .证明:
i

n

i ?1

?? ln x ? ln ?? x
n i i i i ?1 i ?1

i

(其中i ? 1,2,?n) .

参考答案: 1-10 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、

2

14、120

15、5/4

? ? 16、 或 4 2

17、②④

18、 【答案 】解:(Ⅰ)由题意知:

4? 3 ,解得: ? ? , ? 3 2 sin B ? sin C 2 - cos B - cos C ? ? sin A cos A ? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A ?
? sin ( A ? B) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A

2?

? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2a (Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ ABC 为等边三角形
1 3 SOACB ? S ?OAB ? S ?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4
? sin ? ? 3 (OA2 ? OB 2 -2OA ? OB cos ? ) 4 5 3 ? 5 3 , ? 2sin (? - ) ? 4 3 4

? sin ? - 3 cos ? ?

? ? 2? ? ? (0,? ) ,?? - ?(- , ), 3 3 3
当且仅当 ? -

?
3

?

?
2

即? ? ,

5 3 5? 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? 4 6

·5 ·

?2n ? 2, n ? 7 ? a ?? 5 19、 (1) n 16 ( )n?7 , n ? 8 ? ? 4
(2)第 10 年年初 20、 【答案】解: (Ⅰ)分别取 BC,BA,BE 的中点 M ,N,P ,连接 DM ,MN,NP,DP , E P

D A C M

N

B

则 MN ∥ AC , NP ∥ AE ,且 NP =

因为 BD ? CD , BC ? 2 , M 为 BC 的中点, 所以 DM ? BC , DM ? 1 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 又 AE ? 平面 ABC , 所以 DM ∥ AE

1 AE ? 1 2

所以 DM ∥ NP ,且 DM ? NP ,因此四边形 DMNP 为平行四边形, 所以 MN ∥ DP ,所以 AC ∥ DP ,又 AC ? 平面 BDE , DP ? 平面 BDE , 所以 AC ∥平面 BDE (或者建立空间直角坐标系,求出平面 BDE 的法向量 n1 ,计算 n1 ? AC ? 0 即证) E

D N C M A B

(Ⅱ)解法一: 过 M 作 MN ? ED 的延长线于 N ,连接 BN . 因为 BC ? AM , BC ? DM ,
·6 ·

所以 BC ? 平面 DMAE , ED ? 平面 DMAE 则有 BC ? ED . 所以 ED ? 平面 BMN , BN ? 平面 BMN , 所以 ED ? BN . 所以 ?MNB 为二面角 A ? ED ? B 的平面角, 即 ?MNB =60? 在 Rt ?BMN 中, BM =1 ,则 MN =

1 2 , BN = . 3 3

在 Rt ?MND 中, DN =

6 . 3

设 AE ? h ? 1 ,则 DE ?

h 2 ? 3 ,所以 NE ? h 2 ? 3 ?
2

6 ,又 BE ? 3
2

? h ? 1?

2

? 22
2

6? ? 2 ? ? 2 在 Rt ?BNE 中, BE ? BN ? NE ,即 ? h ? 1? ? 2 = ? h ? 3 ? ? ? ?? 3 ? ? 3? ? ? ?
2 2 2

2

解得 h ? 解法二:

6 ,所以 AE ? 6 ? 1

z

E

D y A C M B x

由(Ⅰ)知 DM ? 平面 ABC , AM ? MB , 建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz . 设 AE ? h ,则 M ? 0, 0, 0 ? , B ?1, 0, 0 ? ,

D ? 0, 0,1? A 0, 3, 0 , E 0, 3, h ,
3, h .

? ? BD ? ? ?1, 0,1? , BE ? ? ?1,

?

?

?

设平面 BDE 的法向量 n1 ? ( x, y , z )
·7 ·

则?

? ? BD ? n1 ? 0, ? ? BE ? n1 ? 0.

所以 ?

? ?? x ? z ? 0, ? ?? x ? 3 y ? zh ? 0.

令 x ? 1 , 所以 n1 ? (1,

1? h ,1) 3

[来源:Z_xx_k.Com]

又平面 ADE 的法向量 n2 ? (1, 0, 0) 所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 ? n1 ? n2

1 1 ?1
2 2

?1 ? h ? ?
3

2

?

1 2

解得 h ?

6 ? 1 , 即 AE ? 6 ? 1

x2 y2 ? ?1 21、 (1) 16 4
22解:() 1 g ?( x) ?

(2) e

?

5 ? 1 | PA | 1? 5 , ? 2 | PF | 2

?1 ??x ? ( 0 ? x ? 1) x 1 ? x x(1 ? x) ?当x ? (0, ? ) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? (? ,1) 时, g ?( x) ? 0 .即 g ( x) 在 (0, ? ) 上递增,在 (? ,1) 递减. 故 当x ? ? 时,有 g max ( x) ? g (? ) ? ? ln ? ? (1 ? ? ) ln( 1 ? ? ) .(3 分) ? (1 ? ? )

?

(2)构造函数F(x) ? ?f ( x1 ) ? ?f ( x) ? f (?x1 ? ?x) ? ? ln x1 ? ? ln x ? ln(?x1 ? ?x) ,则 ?? ( x1 ? x) ? ? F?(x) ? ? ? . 易 证 F ( x) 在 在 (0, x1 ) 上 递 增 , 在 ( x1 ,??) 上 递 减 . x ?x1 ? ?x x(?x1 ? ?x) ? 当x ? x1 时,有 Fmax ( x) ? F ( x1 ) ? ?f ( x1 ) ? ?f ( x1 ) ? f (?x1 ? ?x1 ) ? 0 . ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ,即 ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) ? 0 , 即证 ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) (8 分) (3)用数学归纳法证明如 下: ① 当 n ? 1,2 时,命题显然成立; ② 假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时,命题成立,即当 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ? 1 时, ?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ?1 ln xk ?1 ? ? k ln xk ? ln(?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ) . 则 当 n ? k ? 1 ,即当 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ? ? k ?1 ? 1 时,

? k ?1 ?k ?1 ?2 ? ??? ? ? 1 ,又假设知 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ?k ?1 ?2 ln x1 ? ln x2 ? ? ? ln xk ?1 ? ln xk ? 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ?k ?1 ?2 ln( x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? xk ) ,即 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1
·8 ·

? x ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ?1 ln xk ?1 ? ? k ln xk ? (1 ? ? k ?1 ) ln( 1 1 ) 1 ? ? k ?1
?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ?1 ln xk ?1 ? ? k ln xk ? ? k ?1 ln xk ?1

?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ) ? ? k ?1 ln xk ?1 1 ? ? k ?1 ? x ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ? ln[( 1 ? ? k ?1 ) 1 1 ? ? k ?1 xk ?1 ] 1 ? ? k ?1 = ? ln(?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ? ? k ?1 xk ?1 ) .
? (1 ? ? k ?1 ) ln(
这说明当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 综上①②知,当 xi ? 0 ,正数 ? i 满足 ? ? i ? 1 时
n i ?1

?? ln x ? ln ?? x
n n i i i i ?1 i ?1

i

(其中i ? 1,2,?n)

(14 分)

(以上答案仅供参考,其他解法请作情给分.)

·9 ·


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