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2.3从速度的倍数到数乘向量(第二课时)


§2.3 从速度的倍数到数乘向量(第二课时)
陕西省西安中学 宋心茹

【教材版本】北师大版 【教材分析】
教材通过现实世界中存在着的在同一方向上光速与音速的倍数关系;自由 下落物体在两个不同时刻的速度的方向相同,而大小呈倍数关系;逆水中航行的 轮船与水流方向相反, 其大小也呈倍数关系等大量的向量的倍数关系为实际背景 建立数乘向量的数学模型,得出数乘向量的定义及运算律,给出其几何意义,并 用非严格推理的方法推出向量共线的判定定理、性质定理,由之得到向量共线的 充要条件. 在此基础之上通过把一个向量在其它两个共面非零向量上的分解,揭 示了平面向量基本定理的本质. 该节内容既完成了向量的加法,减法和数乘向量 的线性运算,也完成了一种重要的数形结合法——向量法的基础理论的建立.

【教学目标】
知识目标:平面向量的基本定理。 能力目标: 理解平面向量基本定理;掌握平面内任意一向量都可以用两个不 共线的向量来表示; 理解这是应用向量解决实际问题的重要方法;能在具体问题 中准确选取基底使问题中的各向量均可用基底表达.

【重点难点】
教学重点是平面向量基本定理; 教学难点是平面向量基本定理的理解和应用.

【学情分析】
本节是在学生掌握共线向量的概念、判定定理、性质定理、和向量的加法、 减法、实数与向量的积等,以及它们的几何意义的基础上,进一步研究平面向量 基本性质.

【教学环境】
◆多媒体教室 ◆课件
1

【教学设计】
复习回顾:共线向量的几何意义、向量加减法、数乘向量的运算和向量共线 的充要条件. 问题引入:由实际问题中的方位角问题;力的分解问题;飞机起飞速度分解 问题; 吊在天花板的电灯的吊线所受 拉力分解问题等.抽象出共性,建立 数学模型. 如图 1,同一平面上, e1?, ??e2 是 两个不共线向量, a 是这一平面内任 意一向量, a 与 e1?, ??e2 的关系: 引导: (1) 平移向量 a?, 使它们起点重合于 O, 作 OA ? e1?, ??e1?, ??e2 , ??OB ? e2?, ??OC ? a . ( 2 )把向量 a 在 OA , OB 方向上分解,过 C 作 CN OA 交 OB 于 N ,作
CM OA 交 OA 于 M .
e1 a λ1e1 A e1 e2 O 2— 图 1 3—9 λ2e2 N e2 B M C

(3)由共线向量的充要条件得出什么结论? ( OM ? ?1 e1 , ON ? ?2 e2 ) (4)再由向量的平行四边形法则得出什么结论? ( a ? OC ? OM ? ON ? ?1 e1 ? ?2 e2 ) 引出: 一、平面向量的基本定理 1. 定理:如果 e1?, ??e2 是同一平面内两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量, 有且只有一对实数 ?1?, ???2 使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 2. 基底:满足上述条件中的不共线向量 e1?, ??e2 叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底. 注:在同一平面上,任一对不共线向量都可作为基底.
2

e2 e1 C B

3e2

A

-2.5e1 2图 —3 —10 2

O

其中最重要的一组基底就是正交基。 二、平面向量基本性质的应用 例1 已知向量 e1?, ??e2 是一组基底,求向量 z ? ?2.5e1 ? 3e2

解:如图 2,在平面内取一点 O ,作 OA ? ?2.5e1 ,

OB ? 3e2 ,作平行四边形 OACB .则 OC ? ?2.5e1 ? 3e2
例2 如图 3,已知平行四边形 ABCD 中,

AB ? a , AD ? b , H , M 分别是 AD, DC 的中点,
1 BF ? BC , ??b 为基底分解向量 AM, ??HF, ??MF . 以 a?, 3 B
F

C M

??b 为基底分解向量 AM, ??HF, ??MF 就 分析:以 a?, ??b 为基底表示向量 AM, ??HF, ??MF . 是以 a?,
解:由已知得:
a A H b D

图3

2—3—11

AM ? AD ? DM ? AD ?

1 1 1 DC ? AD ? AB ? b ? a 2 2 2 1 1 1 1 1 HF ? AF ? AH ? AB ? BC ? AD ? AB ? AD ? AD ? a ? b 6 3 2 3 2

1 1 2 1 2 ? ? ? ? 1 MF ? AF ? AM ? ? AB ? AD ? ? ? AD ? AB ? ? AB ? AD ? a ? b 3 2 3 2 3 ? ? ? ? 2

∴ 例3

AM ?

1 1 1 2 a ? b?, ??HF ? a ? b?, ??MF ? a ? b 2 6 2 3

如图 4,质量为 10kg 的物体 A 沿倾角 ? ? 30? 的斜面匀速下滑,求物体
s2

受到的滑动摩擦力和支持力. ( g ? 10 m


N

解: 物体受三个力,重力 AG ,斜面支持力 AN ,
A

M

滑动摩擦力 AM ,把重力 AG 分解为平行斜面的分力
F

AF 和垂直与斜面的分力 AE .
?

E

因 为 物 体 作 匀 速 运 动 , 所 以 A N? ? A E ,
AM ? ? AF ,
3

G 图34 2— —12

又因为 AG ? 10kg ?10 m

s2

? 100 N
1 ? 50 N 2

AF ? AG ? sin 30 ? 100 ?

AE ? AG ? cos 30 ? 100 ?

3 ? 50 3N 2

所以

AM ? AF ? 50 N ?,?????? AN ? AE ? 50 3N

答:物体受到的滑动摩擦力为 50 N ,方向与斜面平行向上;所受的斜面支持 力大小为 50 3N ,方向与斜面垂直向上. 课时小结:通过本节学习,使学生在理解平面向量基本定理的基础上,能掌 握平面向量基本定理的应用. 练习:课后 1,2,习题 A 组 3,4。 作业:习题 A 组 5,6,7,选作 B 组 1,2。

4


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