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空间几何体的三视图﹑表面积及体积 、球


空间几何体的三视图、表面积及体积 1.[2015· 全国卷Ⅰ改编 ] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该 几何体三视图中的正视图和俯视图如图 1 所示.若该几何体的表面积为 16 + 20π ,则 r = ________.

图1 图2 图3 2.[2015· 北京卷改编] 某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的表面积是________. 3 . [2015· 浙江卷改编 ] 某几何体的三视图如图 3 所示 ( 单位: cm) ,则该几何体的体积为 π ________.4.[2015· 山东卷改编] 在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB 2 =2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 6.[2015· 江苏卷] 现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2,高为 8 的圆 柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各 一个,则新的底面半径为________. 7.[2015· 上海卷] 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π,则其母线与轴的夹角的大小为 ________. 8.[2015· 全国卷Ⅱ改编] 已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90° ,C 为球面上的动 点.若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为________. 9.在如图 4 所示的空间直角坐标系 O xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2, 0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别 为( )

A.①和②

图4 B.③和①

C.③和④ )

图5 D.④和②

10.若某几何体的三视图如图 6 所示,则此几何体的直观图是(

图6 图7 11.如图 8,网格上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面 积为( )

A.32+4π

B.24+4π

4π C.12+ 3

4π D.24+ 3

图8 图9 12.已知某几何体的三视图如图 9 所示,正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形,俯视 图是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 13.某几何体的三视图如图 10 所示,则该几何体的表面积为( ) A.8+2 3 B.8+8 3 C.12+4 3 D.16+4 3

图 10 图 11 14.某几何体的三视图如图 11 所示,则其体积为( ) 1 2 4 4 π+ ? A. (π+1) B. (π+1) C. ? 2? 3 3 3? 15. 某篮球架的底座的三视图如图 12 所示,则其体积为( ) 470+10 30 A. B.175 C.180 3

1 2 π+ ? D. ? 2? 3? D.295+10 2

图 12 图 13 16 某几何体的三视图(单位:cm)如图 13 所示,其中侧视图是一个边长为 2 的正三角形,则这个 几何体的体积是( ) A.2 cm3 B. 3 cm3 C.3 3 cm3 D.3 cm3 17.如图 14,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2CD=2,∠DAB=60° ,E 为 AB 的中点.将△ADE 与△BEC 分别沿 ED,EC 向上折起,使 A,B 重合于点 P,则三棱锥 PDCE 的外接球的体积为 ( ) 6π 6π 6π 6π A. B. C. D. 8 6 4 2 18.已知直三棱柱 ABC -A1B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上,且 AB=AC=1,BC= 3,若球 O 20 5 的体积为 π,则这个直三棱柱的体积等于( ) 3

A. 2

B. 3

C.2

D. 5

空间几何体的三视图、表面积及体积 ■ 核心知识聚焦 1.2 [解析] 由三视图可知,此组合体的前半部分是一个底面半径为 r,高为 2r 的半圆柱 (水 平放置) ,后半部分是一个半径为 r 的半球,其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合,所 1 1 以此几何体的表面积为 2r· 2r+ πr2+ πr2+πr· 2r+2πr2=4r2+5πr2=16+20π,解得 r=2. 2 2 2.2+2 5 [解析] 根据三视图可得到直观图 (如图所示) .取 D 为 BC 的中点,根据题意可 知,AD⊥BC,AD=2,BC=2,SA=1,且 SA⊥平面 ABC.在 Rt△SAB 中,SB= 1+4+1= 6,同理 SC= 6,所以△SBC 是等腰三角形,所以 BC 边上的高 SD= 6-1= 5.所以三棱锥 1 1 1 的表面积是 ×2×2+2× × 5×1+ ×2× 5=2+2 5. 2 2 2

3.

22 cm3 3

[解析] 该几何体是一个正方体和一个四棱锥的组合体,其中正方体的体积为 8

8 22 cm3,四棱锥的体积为 cm3,故组合体的体积为 cm3. 3 3 1 1 1 1 4. +π [解析] 该几何体是一个三棱锥与圆柱一半的组合体,其体积为 × ×2×1×1+ 3 3 2 2 1 2 ×π×1 ×2= +π. 3 5π 5. [解析] 旋转后的几何体为一个底面半径为 1,高为 2 的圆柱挖去一个底面半径为 1, 3 1 5 高为 1 的圆锥,所求几何体的体积为 π×12×2- π×12×1= π. 3 3 1 28πr2 6. 7 [解析] 设新的底面半径为 r,则总体积为 πr2×4+πr2×8= ,原有橡皮泥的体 3 3 2 1 196π 28πr 196π 积为 π×52×4+π×22×8= ,根据题意 = ,解得 r2=7,即 r= 7. 3 3 3 3 7.60° [解析] 设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,则其侧面积为 πrl,过轴的截面 πrl h 1 面积为 rh, =2π,得 = ,此即为圆锥的母线与轴的夹角的余弦值,故圆锥的母线与轴的夹 rh l 2 角为 60° . 8.144π [解析] 如图所示,当 OC⊥平面 AOB 时,三棱锥 O -ABC 的体积最大,此时 V 三棱 1 1 R= R3=36,所以 R=6,所以 S 球=4πR2=144π. 锥O ABC=V 三棱锥 C -AOB= S△AOB· 3 6

■ 考点考向探究 考点一 三视图与直观图

例 1 D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知,该几何体的正视图显然是一个直角三 角形且内有一条虚线 (一锐角顶点与其所对直角边中点的连线) ,故正视图是④;俯视图是一个 钝角三角形,故俯视图是②.故选 D. 变式题 A [解析] 该几何体是正方体的一部分,结合三视图的特点可知直观图为选项 A 中的图. 考点二 几何体的表面积与体积

例 2 (1)A (2)A [解析] (1)该几何体是由一个底面边长为 2、高为 3 的正四棱柱 和一个半径为 1 的球组成的,故其表面积为 2×22+4×2×3+4π×12=32+4π. (2)如图,该几何体的直观图为单位正方体中的一个三棱锥,即三棱锥 B?A′C′D′,其体积 1 1 为正方体体积的 ,即该几何体的体积为 . 6 6

变式题 (1)D (2)A [解析] (1)该几何体是一个四棱柱,其直观图如图所示,其中 上、下、左、右四个面都是边长为 2 的正方形,前、后两个面都是底边长为 2,高为 3的平行 四边形,故其表面积为 4×2×2+2×2× 3=16+4 3.

(2)该几何体是一个四棱锥与一个半球的组合体.四棱锥的高为 1,底面正方形的对角线长 1 1 2 1 4π 2π 为 2,其体积为 × ×2×2×1= ;半球的半径为 1,其体积为 × ×13= .所以该几何体的 3 2 3 2 3 3 2 2π 2 体积为 + = (π+1). 3 3 3 高考易失分题 11 范例 B [解析] 该篮球架的底座的直观图如图所示,如果把左、右两个侧面作为底面, 6+5 35 35 则它是一个柱体.底面积为 12×1+ ×1= ,高为 10,故其体积为 ×10=175. 2 2 2

高考预测 (cm3).

B

1 1 [解析] 该几何体的直观图如图,其体积 V= × ×(1+2 )×2× 3 = 3 3 2

考点三

多面体与球

例 3 A [解析] 折起后的图形是棱长为 1 的正四面体,其直观图如图,它可以看作是一个 2 棱长为 的正方体被截去四个角后得到的几何体,所以它与原正方体具有相同的外接球.棱长为 2 3 2 6 6 4π 6 的正方体的体对角线长为 ,故其外接球的半径为 ,所以外接球的体积为 ×? ? = 2 2 4 3 ?4? 6π . 8

[ 解析 ] 由球的体积公式得球的半径 R = 5 ,由 AB = AC = 1 , BC = 3 得 2 △ABC 是顶角为 π 的等腰三角形,其外接圆半径 r=1,所以球心到三棱柱底面的距离为 2,所 3 1 2 以此三棱柱的体积为 ×1×1×sin π×4= 3. 2 3 ■ 教师备用例题 例 1(配例 1 使用)[2015· 全国卷Ⅱ] 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三 视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

变式题

B

1 1 B. 8 7 1 1 C. D. 6 5 A.

几何体的直观图为正方体 ABCD -A1B1C1D1 截去了一个三棱锥 A -A1B1D1,如图 V三棱锥A -A1B1D1 1 1 所示.易知 V 三棱锥 A -A1B1D1= V 正方体,所以 = ,故选 D. 6 VB1D1C1 -ABCD 5 例 2(配例 2 使用)[2015· 陕西卷] 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

[解析] D

A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 [解析] D 该几何体是底面半径为 1、母线长为 1 的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱,其表 1 1 面积为 ×2π×1×2+2× ×π×12+2×2=3π+4. 2 2 例 3(配例 2 使用)[2015· 全国卷Ⅰ] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺 .问:积及为米几何?”其意思为: “在屋的内墙角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆 的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”.已知一斛米的体积为 1.62 立方尺,圆周率 约为 3,估算出堆放的米约有( )

A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 [解析] B 由题意,题中图形为四分之一圆锥,设圆锥的底面半径为 R,则由 πR =8 得 R= 2

16?2 16 1 1 1 320 320 320 ,所以 V 米= V 圆锥= × ×π×? ,所以 ÷ 1.62≈21.95≈22 (斛) . ? π ? ×5= 3π ≈ 9(立方尺) π 4 4 3 9 例 4(综合应用)[2015· 湖南卷] 某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一 个体积尽可能大的长方体新工件,并使得新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材 新工件的体积? 料的利用率为?材料利用率= ( ) 原工件的体积? ?

8 16 B. 9π 9π 4( 2-1)3 12( 2-1)3 C. D. π π [解析] A 方法一:由圆锥的对称性可知,要使其内接长方体最大,则底面为正方形,令此 A.

x 2-h 正四棱柱的底面对角线为 2x,高为 h,则由三角形相似可得, = ,∴h=2-2x,x∈(0, 1 2 x+x+2-2x 3 16 2 1),其体积 V 长=( 2x)2h=2x2(2-2x)≤2( ) = (当且仅当 x= 时取等 3 27 3 16 27 8 1 2 号),V 圆锥= π×12×2= π,得利用率为 = . 3 3 2 9π π 3 方法二:由圆锥的对称性可知,要使其内接长方体最大,则底面为正方形,令此正四棱柱 x 2-h 的底面对角线为 2x,高为 h,则由三角形相似可得, = ,∴h=2-2x,x∈ (0,1) ,其体 1 2 2 积 V 长=( 2x)2h=2x2(2-2x)=-4x3+4x2,令 V 长′=-12x2+8x=0,得当 x= 时,V 长取 3 16 27 8 16 1 2 最大值 .又 V 圆锥= π×12×2= π,得利用率为 = ,故选 A. 27 3 3 2 9π π 3


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