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2000 二维FDTD亚网格技术


第 18 卷 第 6 期           运城高等专科学校学报             Vol. 18 No. 6  2000 年 12 月       Journa l of Y uncheng Advanced Tra in ing College      D ec. 2000

二维 FD TD 亚网格技术

董永绵1   柴 玫2   葛德彪2   姚纪欢3
( 1. 烟台师范学院 物理系 山东 烟台 264025, 2. 西安电子科技大学 物理系 陕西 西安 710071, ) ( 3. 山西运城高等专科学校 网络中心 山西 运城 044000)

摘 要 本文介绍了一种二维 FD TD 方法的亚网格技术, 该方法是用波动方程来处理粗细网格边 界的亚网格技术。通过计算测试, 该亚网格技术的粗细网格边界的反射系数小于- 45dB。算例表明本文 方法的有效性。 关键词 亚网格技术 FD TD 方法 电磁散射

中图分类号: O 441 文献标识码: A   文章编号:  1008- 8008 ( 2000) 06- 0007- 3

1 - R Ρ (m ) Ε (m ) Ra r , CB = , CC = R bE 1 + R Ρ (m ) Ε (m ) Ε (m ) + R Ρ (m ) r r 2 ( ? t) ?t ?t ( 2)   R = ,Ra = 2 ,Rb = 2Ε Λ0 ? ? Λ0 Ε 0 0 CA , CB , CC 与材料参数及离戎网格尺寸有关。 可以看出, E z 的计算需要邻近四个磁场的值, 而 H x , H y 的 计算各需要邻近的二个电场值。 ( 1) 不仅适用于粗网格, 同样适用于亚网格。 式 当用于亚网格时, 相应的

Ez, H x, H

Ξ 收稿日期: 2000. 10. 21   3 作者简介: 董永绵, 男, (1965  ) , 山东烟台师范学院物理系教师。 ~

应用 FD TD 方法来模拟电磁波的传播是一种非常有效的方法, 被广泛应用于分析电磁波的特性。 决 定 FD TD 方法精确度的一个重要方面是所取网格的大小。通常情况下, 离散网格 ?尺寸取决于入射波长, 即满足 ? Ε Κ 10 。 但在很多情况下, ? 的确定还需要考虑目标的几何尺寸或介质特性, 例如孔缝耦合、 薄 板散射、 具有薄涂层的物体或组成目标的某种介质具有较大的电磁参数 Ε Λ等。 , 通常这些结构是在整个散 射目标的一小部分区域。 这时, ?的尺度需要足够小以便能较准确地模拟目标上的这些细微结构或保证在 介质中满足 ?Ε Κ 10 条件。如果采用均匀网格, 则需要对整个物体都采用细网格, 这样要受到计算机内存 及运行时间的限制。 鉴于这种情况, 我们应用亚网格技术, 在原有的 FD TD 计算区域内划分出亚网格区 域, 在该区域中应用亚网格, 即对这部分的粗网格进行细分。对物体的其他区域仍采用粗网格。这样, 既能 保证足够的计算精度, 又节约内存和运行时间。 1 亚网格技术原理 二维 TM 情形。记粗网格大小为 ? x , ? y , 时间步为 ? tc; 亚网格长是粗网格的 1 n f , 时间步为 ? tf = ? tc n f 。 E n ( i, j ) , H n+ ? ( i, j + 1 2) , H n+ ? ( i + 1 2, j ) 表示粗网格的场值, 用 E mf ( p , q ) , H mf+ 1 2 ( p , q + 用 z x y z x m+ 1 2 [1 ] ( p + 1 2, q ) 表示亚网格的场值。 1 2) , H y f 各场分量之间关系如下 :   H   H   H
n+ 1 z

( i, j ) = CA

E z ( i , j ) + CB
n- 1 2 x n- 1 2 y

n

H

n+ 1 2 y

( i + 1 2, j ) - H

n+ 1 2 y

( i - 1 2, j )

n+ 1 2 x n+ 1 2 y

( i , j + 1 2) = H

( i , j - 1 2) - H ( i , j + 1 2) + H n n ( i, j + 1 2) + CC [ E z ( i, j ) - E z ( i, j + 1) ] ( i + 1 2, j ) + CC [ E ( i + 1, j ) - E ( i, j ) ]
n z n z

n+ 1 2 x

n+ 1 2 x

( i + 1 2, j ) = H

其中

  CA =

Ξ

( 1)

对应于 E z f , E x f , E y f 。 , CB , CC 与亚网格尺寸有关。 CA 公式 ( 1) 中, 电场的递推需用到周围四个磁场值。 在粗细网格界面处, E z f 的计算需用到亚网格区以外
y xf

的H

,H

yf

, 从而产生困难。 为了克服该困难, 在粗细网格界面附近, 考虑 E z 满足齐次波动方程[ 2 ]:

?7?

图 1  亚网格排布     
2

Ez -

二维情况可写为      其中     
(?x ) 2
D
n

D

-

= + (?x ) 2 9x 2 9y 2 注意上式中 D 是 ( x , y , t) 的函数, 即 D ( x , y , t) 。 将式 ( 4) 在 t = n ? tc 时刻 ( 当前时刻) 离散, 则有

    

即[ 2 ]

将 ( 7) 式应用于粗细网格边界。 对于亚网格, 从当前时刻 t = n ? tc 起, 需要沿时间轴推进 nf 步。 nf = 4, 若 即分别为 n + ? tf , n + 2? tf , n + 3? tf , n + 4? tf 时刻, 其中每一步的 E z f 计算, 均需用 ( 7) 式。 由定义 D 的定义可得: ( 8)   D n ( i, j ) = E n ( i + 1, j ) + E n ( i - 1, j ) + E n ( i, j + 1) + E n ( i, j - 1) - 4E n ( i, j ) z z z z z ?8?

可见, 粗网格点 D n ( i, j ) 的计算只需用到相邻粗网格点的 E n 的当前时刻值, D n 从粗网格转移到细网格需 z 用到 T aylo r 级数展开。 如对于图 1 中 E 11 处的点, D3- D5 D 3 - 2D 1 + D 5 ( 9)     D f 11 = D 1 + + 2nf 2 ( nf ) 2 2  程序实现 设粗细网格计算均达到 “当前时刻”= n ? tc , 且所有 t “过去时刻” “当前时刻” t Φ n ? tc 的格点值均 和 即 已知。 细格区从 n → n + 1 时刻的推进分为 nf 个小时间步, 即 m = 1 → nf 。 当细网格计算到 n ? tc + nf ? tf 时刻时, 就相当于粗网格的 ( n + 1) 时刻, 记录下此时的 E z f , H x f , H y f , 以备后用。 跳出小循环, 进入

大循环, 粗网格再由 n → n + 1 时刻。 亚网格区的空间递推可分为亚网格区内和粗细网格边界两部分进行 处理。 对于亚网格区内完全用原二维 FD TD 的递推公式 ( 1) , 只是相应的 CA (m ) , CB (m ) , 和 CC (m ) 改用 亚网格; 对粗细网格边界应用公式 ( 7) 进行计算。 计算出细网格区的 E z f , H x f , H y f 后, 对应得出粗格点 [3 ] 的 E z , H x , H y 场值 。 在粗细网格边界, 由于存在不连续性, 不可避免地要带来非物理性反射, 这种反射是影响亚网格技术 稳定性和精度的主要因素之一。 测试亚网格边界的反射系数小于 - 45dB , 因而保证了计算精度和稳定 性。 实际计算表明, 我们所编写的亚网格程序稳定性较好, 运行 30000 时间步不会发散。 3 计算实例 为了验证亚网格程序的准确度, 我们对金属方柱用亚网格程序, 并与M OM 比较, 结果符合的很好。

    E n+ 9 t = 2E n - E nz z z

D (?x ) 2

1 9E z 2 2 = 0 vp 9t

( 3)

9E z

1 9E z 2 2 = 0 vp 9t

( 4)

n+ 9t n n1 E z - 2E z + E z 2 2 ( ?t) vp

9E z
9t

( 5)

+

v p ( ?t) n D (?x ) 2
2 2

9t

= 0

( 6)

( 7)

( a ) T E           (b ) TM

图 2 金属方柱远区散射场
( Κ 1m ,W L = 16?? t, R = Κ nf= 2, 入射波 45° ) = , 入射

参考文献

[ 1 ] 葛德彪,“电磁散射的时域有限差分方法”研究报告 (S IS- 9201 ) 西安电子科技大学, 1992 年 1 ,



[ 2 ] D eane T. P resco t t, and N. V. Shu ley,“ m ethod fo r Inco rpo ra t ing D ifferen t Sized Cells in to the A F in ite D ifference T im e 2 Dom a in A na lysis T echm ique ” IEEE M icrow ave and Gu ided w ave . let ters, V o l 2, N o. 11, pp: 434- 436, N ovem ber 1992. , . fo r T h ree D im en siona l A pp lican t ion s” IEEE T ran sact ion s on A n tenna s and p rop aga t ion, V o l 45, N o. 10, pp: 1512- 1517, O ctober 1997.

[ 3 ] M ike J w h ite,M agdy F. Iskonder, and zhen ling H uang,“ evelopm en t of M u lt ig rid FD TD Code D

Two -D i en s iona l Subgr idd ing A lgor ithm in FD TD M ethod m
1 2 2 3 D ong Y ong m ian , Cha iM e i , Ge D eb iao , Yao J ihuan

( 1. D ep t. of Physics, Yan ta i N o rm a l Co llege, Shandong 264025, Ch ina ) ( 2. D ep t. of Physics, X id ian U n iv. , X i’ Shaanx i 710071, Ch ina ) an,

( 3. Key of In ternet, T he h igh Schoo l of Shanx i Yuncheng, Yuncheng, Shanx i, 044000, Ch ina )

Abstract A subg ridd ing a lgo rithm in FD TD is p resen ted. W e u se the hom ogeneou s t ravelling w ave equa t ion to ca lcu la te the tangen t ia l elect ric field s a t the in terface. T he accu racy and stab ility of th is a lgo rithm a re tested. T he va lid ity of th is m ethod is dem on st ra ted by the exam p les. Key words Subg ridd ing T echn ique, FD TD M ethod, EM Sca t tering

?9?


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