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【成才之路】高中数学


? 1.1 集 合

? 1.1.1 集合的含义与表示

? 1.我们在初中接触过“正数的集合”、 “负数的集合”等,集合的含义又是什么 呢? ? ①解不等式2x-1>3得x>2,所有大于2 的实数集在一起称为这个不等式的解集. ? ②平面几何中,圆是到定点的距离等于定 长的点的集合. ? ③自然数的集合0,1,2,3,?? ? ④高一(5)班全体同学组成一个集合. ? 请想一想,集合这个概念应该怎样描述?

? 一般地,我们把所研究的对象如点、自然 数、高一(5)班的同学统称为 ,把一些 元素 元素 组成的总体叫做 ,通常用 集合 大写拉丁字母A、B、C,? 表示. ∈、? ? 2.元素与集合的关系用符号 表示. 确定性、互异性、无序性 ? 3.集合中元素的性质(或称三要素): ? .

? (1)给定的集合中的元素必须是确定的. ? “我国的小河流”能不能组成一个集合, 你能用集合的知识解释吗? ? 答案:“我国的小河流”不能组成一个集 合.因为集合中的元素必须是确定的,而 在我国的河流中到底多大才算小河流并无 具体的标准.

? (2)集合中的元素必须是互不相同的,由1, {1,-1,3} -1,1,3组成的集合为 ; 若 0 a∈{a2,1}则a= . 相等 ? (3)若构成两集合的元素是一样的,则称两 2 集合 ,若集合{1,2}与集合{a,1}相等, N+ N 则a=Z . Q R ? 4.常见的数集符号:自然数集: ;正整 数集: 花括号“{ }” ;整数集: ;有理数集: ; 实数集: . 列举法 ? 5.把集合中的元素一一列举出来. {0,2,4,6,8} ? 并用 括起来表示集合的方

? ? ? ? ?

用列举法表示下列集合: {-1,1,-4,2} {-2,4} (1)方程(x2-1)(x2+2x-8)=0的解集为 {-2,-1,0,1,2} . (2)方程|x-1|=3的解集为 . (3)绝对值小于3的整数的集合为 .

共同特征 ? 6.用集合所含元素的 表示集 合的方法,称作描述法. ? 具体方法是:在花括号内先写上表示这个 一般符号及取值(或变化)范围 集合元素的 ,再画 一条竖线,在这条竖线后面写出这个集合 共同特征 中元素所具有的 .它的一般形式 x 是{x∈A|p(x)}或{x|p(x)}.“ ”为代表元 p(x) 素,“ ”为元素x必须具有的共同特 征,当且仅当“x”适合条件“p(x)”时, x才是该集合中的元素,此法具有抽象概 括、普遍性的特点,当元素个数较多时, 一般选用此法.

? 1°试用描述法表示下列集合: 2-3x+2=0的解集为 {x|x2-3x+2=0} ? (1)方程x {x|3x+2>0} . ? (2)不等式3x+2>0的解集为 {x∈Z|1<x<5} . ? (3)大于1小于5的整数组成的集合为 . ? 2°用列举法表示下列集合: ? (1)6的正约数组成的集合.________ ? (2)不等式2x-1<5的自然数解组成的集 合.________ ? (3) 古 代 我 国 的 四 大 发 明 组 成 的 集

? [解析] (1)6的正约数为1,2,3,6,故所求集 合为{1,2,3,6} ? (2)不等式2x-1<5变形为x<3,因此它的 自然数解为0,1,2,故所求集合为{0,1,2} ? (3)古代我国的四大发明为:指南针,造纸, 火药,印刷术,形成集合为{指南针,造 纸,火药,印刷术}. ? (4)A={1,2,3,4,5}. ? (5)B={2,3}.

? 本节重点:集合的概念,集合中元素的三 个特性及集合的表示方法. ? 本节难点:集合中元素的性质的理解.

? 正确理解概念,准确使用符号,熟练进行 集合不同表示方法的转换是学好本节的关 键. ? 1.要辩证理解集合和元素这两个概念: ? (1)符号∈和?是表示元素和集合之间关系 的,不能用来表示集合之间的关系.元素 与集合之间是个体与整体的关系,不存在 大小与相等关系. ? (2)集合具有两方面的意义,即:凡是符合 条件的对象都是它的元素;只要是它的元 素就必须符合条件.

? 2.深刻认识集合中元素的四种属性 ? (1)任意性:集合中的元素可以是任意的对 象,无论是数、式、点、线、人,还是其 它的某种事或物,只要它们具有某种共同 属性,集中在一起就能组成一个集合,我 们把集合的这一性质称为元素的任意性; 在中学,我们主要研究对象是一系列的数 的集合或点的集合. ? (2)确定性:判断一些对象是否可以组成一 个集合,主要方法是,在观察任意一个对 象时,应该可以确定这一对象要么属于这 一集合,要么它不属于这一集合.

例如:给出集合{地球上的四大洋},它的元素是: 太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其它对象都不属 于这个集合.如果说“由接近 3的数组成的集合”这 里“接近 3的数”是没有严格标准、比较模糊的概 念.它不能构成集合.如“好人”、“较大的树”等 都不能成为集合.

? (3)无序性:在表示一个集合时,我们只需 将某些指定的对象集在一起,虽然习惯上 会将元素按一定顺序来写出,但却不强调 它们的顺序,当两个集合中的元素相同, 即便放置顺序完全不同时,它们也表示同 一集合. ? 例如:{a,b}和{b,a}表示同一个集合. ? (4)互异性:对于任意一个集合而言,在这 一集合中的元素都是互不相同的个体.如: 给出集合{1,a2},我们根据集合中元素的 互异性,就已经得到了关于这个集合的几 点信息,即这一集合中有两个不同的元素,

? ? ? ?

3.正确理解列举法 (1)元素间用分隔号“,”隔开; (2)元素不重复; (3)对于含较多元素的集合,如果构成该集 合的元素有明显规律,可用列举法,但是 必须把元素间的规律显示清楚后才能用省 略号. ? 4.合理选用集合的表示方法 ? 列举法与描述法各有优点,列举法可以看 清集合的元素,描述法可以看清集合元素 的特征,一般含有较多或无数多个元素时

? 5.要正确理解描述法 ? 用描述法表示集合时注意:(1)弄清元素所 具有的形式(即代表元素是什么),是数、 还是有序实数对(点)等.(2)元素具有怎样 的属性? ? 用描述法表示集合时,若需要多层次描述 属性时,可选用联结词“且”与“或”等 联结;若描述部分出现元素记号以外的字 母时,要对新字母说明其含义或指出其取 值范围.

? 6.特别注意以下几种集合,这是我们研 究集合时的主要研究对象. ? (1)一般数集. ? (2)特殊数集:如方程的解集;不等式的解 集等. ? (3)平面点集. ? (4)图形集. ? 7.集合语言 ? 集合语言是现代数学的基本语言,也就是 用集合的有关概念和符号来叙述问题的语 言.包括文字语言、符号语言、图形语

? 8.解集合问题的关键 ? 解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元 素所构成.如何弄清呢?关键在于把抽象 问题具体化、形象化.也就是把用描述法 表示的集合用列举法来表示,或用图示法 来表示抽象的集合,或用图形来表示集 合. ? 例如,在判断集合A={x|x=4k±1,k∈Z} 与集合B={y|y=2n-1,n∈Z}是否为同一 集合时,若从代表元素入手来分析它们之 间的关系,则比较抽象,而用列举法来表 示两个集合,则它们之间的关系就一目了

? ? ? ? ? ? ?

[例1] 下列各组对象: ①接近于0的数的全体; ②比较小的正整数全体; ③平面上到点O的距离等于1的点的全体; ④正三角形的全体; ⑤ 的近似值的全体. 其中能构成集合的组数是 ( ) ? A.2组 B.3组

? [分析] 集合中的元素必须是确定的. ? [解析] “接近于0的数”、“比较小的正 整数”标准不明确,即元素不确定,所以 ①、②构不成集合.同样,“ 的近似值” 没有给出取近似值的标准(如“四舍五入 法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数, 因此很难判定一个数,比如1.5,是不是它 的近似值,所以⑤也不是一个集合.③、 ④能构成集合.∴选A.

? 下列各条件中,能够成为集合的是 ( ) ? A.与 非常接近的正数 ? B.世界著名的科学家 ? C.所有的等腰三角形 ? D.全班成绩好的同学 ? [答案] C ? [解析] 对于选项A、B、D没有明确的标 准来衡量,故选C.

[例 2] 4

设 x∈R,由实数 x、-x、|x|、 x 、- x3、- )

2

3

x4、 x4所组成的集合 M,最多含有元素的个数为( A.3 个 C.6 个 B.4 个 D.7 个

? [分析] 本题重在考查元素的互异性,需 要结合实数的性质去思考,尤其是要准确 认识根式的意义.

[解析]

由算术根的概念,|x|= x2对任意的实数 x 都
2

成立,所以在集合 M 中|x|与 x 只能出现一个,又- x3= -x 也是恒成立的,所以集合 M 中-x 与- x3也只能出现 一个,又|x|必等于 x 与-x 中的一个,而- x4=-|x|,也 必等于 x 与-x 中的一个, 且当 x≠0 时, x≠-x, 一般地 x4 =x2≠x,x2≠-x,所以集合 M 中的元素最多时有 3 个,故 选 A. 4 3

3

? 若x∈{1,3,x3},则有 ( ) ? A.x=0或x=-1 ? B.x=-1或x=3 ? C.x=0或x=-1或x=3 ? D.x=0或x=3 ? [答案] C ? [解析] ∵x∈{1,3,x3} ∴x=1或3或x3 ? 当x=x3时x=0,±1,由于x3≠1,3,

? [例3] 若集合{-1,|x|}与{x,x2}相等, 求实数x的值. ? [解析] ∵{-1,|x|}与{x,x2}两集合相等, ∴两集合含有相同的元素 ? 即{x,x2}一定含有-1这个元素 ? 由于x2≥0,∴x=-1.

? ? ? ? ?

[例4] 将下列集合改为用符号语言描述: (1)非负奇数集 (2)能被3整除的整数的集合 (3)第一象限和第三象限内的点的集合 (4)一次函数y=2x+1与二次函数y=x2的图 象交点的集合. ? [分析] 从集合中元素(数或点)所满足的条 件、具有的属性入手,联想有关的数学表 达形式.

? [解析] (1){x|x=2k-1,k∈N*}; ? (2){n|n=3k,k∈Z}; ? (3){(x,y)|xy>0};

? [点评] 要重视同一数学对象的不同形态 语言的表达方法及互译练习(如,普通语言 符号语言),这对今后学习大有裨益.

? ? ? ? ?

[例5] 用适当的方法表示下列集合: (1)24的正约数组成的集合; (2)大于3小于10的整数组成的集合; (3)方程x2+ax+b=0的解集; (4)平面直角坐标系中第二象限的点集;

? [分析] 首先搞清楚集合的元素是什么, 然后选用适当的方法表示集合.

? [解析] (1){1,2,3,4,6,8,12,24}; ? (2){大于3小于10的整数}={x∈Z|3<x<10} ={4,5,6,7,8,9}; ? (3){x|x2+ax+b=0}; (5)∵ x+3≥0,|y-2|≥0, ? (4){(x,y)|x<0且y>0}; ?
? x+3=0 ∴方程等价于? ?|y-2|=0 ? ?x=-3 ? ∴? ?y=2 ?



,∴解集为{(-3,2)}.

? [点评] 1.在表示集合时,选择表示法的原 则为:让所表示的集合明确、直观、简 捷. ? 2.在(5)的方程的解集中只有一个元素(- 3,2),不要认为这是两个元素,表达为{- 3,2}.

? ? ? ?

用描述法表示下列集合. (1){-1,1}; (2)大于3的全体偶数构成的集合; (3)在平面α内,线段AB的垂直平分线上所 有的点. ? [解析] (1){x||x|=1}; ? (2){x|x>3且x=2n,n∈Z}; ? (3){P|P在平面α内且PA=PB}.

? [例6] 下面三个集合:①{x|y=x2 +1}; ②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}. ? (1)它们是不是相同的集合? ? (2)它们各自的含义是什么? ? [分析] 对于用描述法给出的集合,首先 要清楚集合中的代表元素是什么,元素满 足什么条件.

? [解析] (1)由于三个集合的代表元素代表 的对象互不相同.∴它们是互不相同的集 合. ? (2)集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x, ? ∵当x∈R时,y=x2+1有意义. ? ∴{x|y=x2+1}=R; ? 集合②{y|y=x2+1}的代表元素是y, ? 满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1, ? ∴{y|y=x2+1}={y|y≥1}.

? 集合③{(x,y)|y=x2 +1}的代表元素是(x, y),可以认为是满足y=x2 +1的数对(x,y) 的集合;也可以认为是坐标平面内的点(x, y)构成的集合,且这些点的坐标满足y=x2 +1, ? ∴{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+ 1上的点}.

?

总结评述:用描述法表示的集合,认 识它一要看集合的代表元素是什么,它反 映了集合元素的形式;二要看元素满足什 么条件.对符号语言所表达含义的理解在 数学中要求是很高的,希望同学们能逐步 提高对符号语言的认识.

[例 7]

用列举法表示下列集合:

9 (1)A={x∈N| ∈N}; 9-x 9 (2)B={P∈N|P= 且 x∈N}; 9-x (3)C={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; (4)D={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}; p (5)E={x|x= ,p+q=5,p∈N,q∈N*}. q

[分析]

注意五个集合的各自特点:

9 集合 A 中的元素是自然数 x,它必须满足条件 也是 9-x 自然数; 9 集合 B 中的元素是 P= ,它必须满足条件 P 和 x 9-x 都是自然数; 集合 C 中的元素是自然数 y, 它必须满足的条件实际上 是二次函数 y=-x2+6 当 x∈N 时的函数值的取值范围;

集合 D 中的元素是点, 这些点必须满足的条件是它们 在二次函数 y=-x2+6 的图象上,且横坐标、纵坐标都必 须是自然数; p 集合 E 中的元素是 x,它必须满足的条件是 x= ,其 q 中 p+q=5,且 p∈N,q∈N*.

[解析]

9 9 (1)∵ ∈N,∴ 取值为 1,3 或 9,此时 x 9-x 9-x

=0,6 或 8.∴A={0,6,8}. (2)由(1)知,B={1,3,9}. (3)由 y=-x2+6,x∈N,y∈N 知,y≤6, ∴x=0,1,2 时,y=6,5,2 符合题意.∴C={2,5,6}. (4)点(x,y)满足条件 y=-x2+6,x∈N,y∈N,则有
?x=0, ? ? ?y=6; ? ?x=1, ? ? ?y=5; ? ?x=2, ? ? ?y=2. ?

∴D={(0,6),(1,5),(2,2)}.

(5)依题意,p+q=5,p∈N,q∈N*,则
?p=0, ? ? ?q=5; ? ?p=4, ? ? ?q=1. ? ?p=1, ? ? ?q=4; ? ?p=2, ? ? ?q=3; ? ?p=3, ? ? ?q=2; ?

p 1 2 3 ∵x 要满足条件 x= ,∴E={0, , , ,4}. q 4 3 2

?

总结评述:用列举法表示集合,就是要 根据集合的一般特性(确定性、互异性、无 序性)和集合本身的特征,把集合中的元素 不重复、不遗漏、不计顺序地一一表示出 来.

? [例8] 已知集合A是由方程ax2 +2x+1= 0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合. ? (1)1是A中的一个元素,求集合A中的其它 元素; ? (2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成 的集合B; ? (3)若A中至多有一个元素,试求a的取值范 围.

[解析]

(1)∵1 是 A 的元素∴1 是方程 ax2+2x+1=0

的一个根,∴a×12+2×1+1=0,即 a=-3, ∴方程即为-3x2+2x+1=0, 1 1 ∴x1=1,x2=- ,∴集合 A 中的其它元素为- . 3 3 (2)若 a=0,方程化为 2x+1=0,此时有且仅有一个根 1 x=-2;

? 若a≠0,则当且仅当方程的判别式Δ=4- 4a=0,即a=1时,方程有两个相等的实 根x1 =x2 =-1,此时集合A中有且仅有一 个元素, ? ∴所求集合B={0,1}; ? (3)集合A中至多有一个元素包括两种情况: ? ①A中有且只有一个元素,由(2)知此时a= 0或a=1; ? ②A中一个元素也没有,即A=?,此时 a≠0,且Δ=4-4a<0,∴a>1; ? 综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或

? 已知集合A={x∈R|ax2+x+2=0},若A中 至少有一个元素,则a的取值范围是 ________.
[解析] 当 a=0 时,A={-2}符合题意; 1 当 a≠0 时,则 Δ≥0,即 1-8a≥0,解得 a≤8且 a≠0. 1 综上可知,a 的取值范围是{a|a≤8}.

*[例 9]

1 数集 A 满足条件: a∈A, 若 则 ∈A(a≠1). 1-a

(1)若 2∈A,则集合 A 中必含有其它两个数,试求出这 两个数. 1 (2)求证:若 a∈A,则 1- ∈A. a

? [分析] 题中给出数集A满足的条件.解答 此题就从此条件入手.逐步推出结论.

1 [解析] (1)由条件,若 a∈A,则 ∈A 知,2∈A 时, 1-a 1 1 1 有 ∈A 即-1∈A;再运用此条件有 ∈A 即2∈A; 1-2 1-(-1) 1 ∴ =2∈A 循环下去, 可知 A 中含有其它两个元素- 1 1- 2 1 1和 . 2 1 1 (2)∵a∈A,∴ ∈A,∴ 1 ∈A, 1-a 1- 1-a 1 即 1-a∈A. (注:带*号的题目,供教师教学时参考选用)

? [例10] 集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B ={x|x=3n+2,n∈Z},C={x|x=6n+3, n∈Z},对任意的a∈A,b∈B,是否一定 有a+b∈C?并证明你的结论. ? [错解] 由a∈A,有a=3n+1(n∈Z), ? 由b∈B,有b=3n+2(n∈Z), ? 则a+b=6n+3(n∈Z),故a+b∈C

? [辨析] 集合A是所有被3除余1的整数所组 成的集合.集合B是所有被3除余2的整数 所组成的集合,集合C是所有被6除余3的 整数所组成的集合,易知1∈A,5∈B,而1 +5=6?C,则a∈A,b∈B,不一定有a+ b∈C.错解的根源在于将A,B中的n看成同 一个数,即a,b不是任意的,而是互相制 约的,从而破坏了a与b的独立性.

? [ 正 解 ] 设 a = 3m + 1(m∈Z) , b = 3t + 2(t∈Z), ? 则a+b=3(m+t)+3, ? 当m+t是偶数时,设m+t=2k(k∈Z), ? 有a+b=6k+3(k∈Z),则a+b∈C; ? 当m+t为奇数时,设m+t=2k-1(k∈Z), ? 有a+b=6k(k∈Z),则a+b?C ? 综上可知不一定有a+b∈C.

? 一、选择题 ? 1 . 给 出 下 面 四 个 关 系 : ∈R,0.7?Q,0∈{0},0∈N.其中正确的个数是 ? ( ) ? A.1个 B.3个 ? C.2个 D.4个 ? [答案] B ? [解析] 0.7为有理数,故0.7?Q不正确.

? 2.下列集合表示方法正确的是

?
? ? ? ? ?

? ( ) A.方程(x-1)(x-2)2(x-4)=0的解集为 {1,2,2,4} B.不等式x-5>0的解集为{x-5>0} C.所有奇数构成的集合为{x∈Z|x=2k+1} D.所有偶数构成的集合为{x|x=2k,k∈Z} [答案] D [点评] 应注意C与D的区别,C中x∈Z, 并没要求k∈Z,故是错误的,若改为{x|x =2k+1,k∈Z}则为正确的.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

二、填空题 3.用符号∈或?填空: (1)1________{1} (2)a________{a,b,c} (3)-3________{4,-2} (4)0________N* (5)π________Q (6) ________R (7)若A={x|x2=x},则-1________A; (8)若B={x|x2 +x-6=0},则3________B; (9) 若 C = {x∈N|1≤x≤10} , 则 8________C ; (10) 若 D = {x∈Z| - 2 < x < 3} , 则 1.5________D.

? [答案] (1)∈;(2)∈;(3)?;(4)?;(5)?; (6)∈;(7)?;(8)?;(9)∈;(10)?. ? [点评] 如果a是集合A的元素,记作a∈A, 否则记作a?A,N* 、Q、R分别表示正自然 数集、有理数集、实数集.

? 4.若-3∈{a-3,2a-1,a2-4},则实数 a构成的集合为________. ? [答案] {0,1} ? [解析] 当a-3=-3时,a=0,此时集合 为{-1,-3,-4};当2a-1=-3时,a =-1,此时a2-4=-3,与集合元素的互 异性矛盾.若a2-4=-3,则a=±1,a= -1已讨论.当a=1时,集合为{-2,1,- 3},综上所述a=0或1.

? 三、解答题 ? 5.用列举法表示下列集合

? (2)B={y|y=-x2+8,x∈N,y∈N} ? (3)C={(x,y)|y=-x2+8,x∈N,y∈N}

? [解析] (1)要使x, 都是整数,故|2-x| 必是6的约数,当x=-4,-1,0,1,3,4,5,8 时 , |2 - x| 是 6 的 约 数 . ∴ A = { - 4 , - 1,0,1,3,4,5,8} ? (2)由y=-x2 +8,x∈N,y∈N知,y≤8, 所 以 当 x = 0,1,2 时 , y = 8 , 7,4 符 合 题 意.∴B={4,7,8} ? (3)集合C中的元素是点,这些点必须满足 两个条件①它是抛物线y=-x2+8上的点, ②这些点的横坐标、纵坐标都必须是自然 数.

点(x,y)满足条件 y=-x2 +8,x∈N,y∈N,则有
?x=0 ? ? ?y=8 ? ?x=1 ? ;? ?y=7 ? ?x=2 ? ;? ?y=4 ?

.

∴C={(0,8),(1,7),(2,4)}.

? 6.下面两个集合的意义是否相同?为什 么? ? {x|x2-ax-1=0},{a|方程x2-ax-1=0有 实数根}. ? [解析] 集合{x|x2 -ax-1=0}中的元素x 是方程x2-ax-1=0的实数解;集合{a|方 程x2-ax-1=0有实数根}中的元素a是使 方程x2-ax-1=0有实数根的字母系数a的 取值范围,这两个集合中的元素的含义是 不同的.

? 7.下列集合,哪些是有限集?哪些是无 限集? ? (1)今天正午12时生活在地球上的所有人构 成的集合; ? (2)线段AB上的点的全体构成的集合; ? (3)把线段AB等分为100等份的点的全体构 成的集合; ? (4)以点M为中点的所有线段构成的集合. ? [解析] (1)有限集.(2)无限集.(3)有限 集.(4)无限集.


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