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等比数列的性质教案及学案


2.4.2 等比数列性质学案
一.复习引入:
问题:已知等比数列

?an ? 中, a1 ? a7 ? 9 ,求 a2 ? a6 和 a3 ? a5 值,从中你有何结论?

二.新课:等比数列性质探究 类比等差数列的定义和性质,猜想等比数列对应的性质,并证明. 性质
? 等差数列 n , m , p , q ? N

?

?

? 等比数列 n , m , p , q ? N

?

?

若m n=p+q +
(1)角标 性质 则有____________________ (特别:当 2n=p+q 时,有_________ ______________________________, 称

若m n=p+q +
则有___________________

(特别:当 2n=p+q 时,有__________
________________________________, 称

an是ap和aq的等差中项 )
(2)通项 公式的推 广

an 为____________________)
an ? __________(q 为公比) am
即 an =_______________

an ? am ? ?n ? m? d ,(d 为公差)
即 an =am +?n ? m? d

1.证明性质(1)

在等比数列?an ?中:若m+n=p+q,则an ? am ? ap ? aq , ? n , m , p , q ? N ? ?

2.证明性质(2)

在等比数列?an ?中,已知公比为q, 则有

an ? qn?m ,(n, m ? N ? ) am

例:1.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 5 , a9a10 ? 100 ,求 a18

2. 在等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a5 ? 8 ,求 a7

1

3. 在等比数列 ?bn ? 中, b3 ? 2 ,求该数列前五项之积

4.在等比数列

?an ? 中, a1 ? 1, ,公比 q ? 1 ,若 am ? a2a3 ,求 m 值.

注意点:等比数列角标性质中要求等号两侧项数相同 随堂练习: 1.已知等差数列

?an ? 满足 a2 ? a7 ? a12 ? 4, 数列 ?bn? 是等比数列,且 b7 ? a7 ,求 b3b11 值

2. 已知等比数列

?an ? 满足

4a3 ? a4 ,求 a1a5 a2

3.已知等比数列

?an ? 中各项均为正数,且 a5a6 ? a4a7 ? 18 ,求 log 3 a1 ? log 3 a10 值
?an ? 中, a1a3 ? 5, a7a9 ? 20 ,求 a4a6 值

4.已知各项均为正数的等比数列

小结: 等比数列的角标性质及通项公式的推广 通过与等差数列的性质相类比对等比数列性质进行探究
课后思考: 你能通过类比等差数列其他性质的到别的等比数列的性质吗 ?试证明. 性质 等差数列 若数列 ?an ??bn ? 是项数相同的等差数 等比数列 若数列 ?an ??bn ? 是项数相同的等比数 列 ,公 比分别为 q1 和 q2 则 有数 列 ___________________也是等比数列, 公比分别为____________

(3)

列 , 公 差 分 别 为 d1 和 d2, 则 数 列

?an ? bn ?, ?an ? bn ?也是等差数列,
公差分别为_________________

2

公差为 d 的等差数列

?an ? 中,每隔相

公比为 q 等比数列

?an ? 中,每隔相同

(4)

同的项抽出来的项按照原来的顺序排 列,构成的新数列任然是等差数列,即

的项抽出来的项按照原来的顺序排列, 构成的新数列任然是 ,即

ak , ak ?m , ak ?2m ,..., ak ?nm ,... ak , ak ?m , ak ?2m ,..., ak ?nm ,...
任然为等差数列,且公差为______ 任然为________,且公比为_________

作业:

1.等比数列?an?中a3 ? 4, a7 ? 6, 求a11

2.等比数列?an ?的各项均为正数,且a5 a6 ? a4 a7 ? 18, 则 log 3 a1 ? log 3 a2 ? log 3 a9 ? log 3 a10 ? __________

3.等比数列?an?中a1a6 ? 4a2 , 求a2 a8

4.若数列?an??bn?是项数相同的等比数列,求证:数列?anbn?也是等比数列

3


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