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2016年天一大联考二测理数解析版


天一大联考 2016 学年高中毕业班阶段性测试(二) 数学理科
一、选择题 1. 定义集合 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} ,若集合 A ? {1,3, 4,5}, B ? {2,3,5} ,则集合 A-B 的元素之 和为( ) A.2 B.3 答案:D C .4 D.5

解析:考查交并补运算 A-B ? {1, 4} 2.
sin 92? ? sin 32? cos 60? ?( cos 32?


3 4

A.

3 2

B.

2 2

C.

D.

1 2

答案:A 解析:考查三角函数和差公式
7 3. 已知递增等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? , a2 ? 1 ,则公比 q 等于( 2 1 1 A.2 B.2 C.2或 2 D. 2 答案:B 5 2 ? 1 构造二次方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 解析: a1 ? a3 ? , a1a3 ? a2 2



因此 a1 ? 1/ 2, a3 ? 2, q2 ? 4 4. 已知抛物线 y 2 ? 12 x 与双曲线 则双曲线的离心率等于( A. 2 B. 3
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线的一个交点的横坐标为 12, a 2 b2

) D. 2 2

C. 5

答案:A 解析:考查等轴双曲线
b2 / a 2 ? 144 /144 ,等轴双曲线离心率 2

5. 设函数 f ? x ? ? x ln x ? 2x ,若 f '( x0 ) ? 5 ,则 f ? x ? 在点 ( x0 f ( x0 )) 处的切线的方程为( A. y ? 5x ? e2 B. y ? 5x ? e C. y ? 5x ? e2 ln 2 D. y ? 5 x ? 2ln 2



1

答案:A 解析:考查导数意义
f '( x) ? ln x ? 3 f '( x0 ) ? 5 ? x ? e2 因此切点为 (e2 , 4e2 )

6. 在等差数列 ?an ? 中, a9 ?

1 1 a12 ? 6, a2 ? 4 ,设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则数列 { } 的前 Sn 2
11 12

10 项和为( ) 8 9 10 A. B. C. 9 10 11 答案:C 解析:考查等差数列性质

D.

联立方程解得 a1 ? d ? 2 , Sn ? n(n ? 1) ,因此前 10 项采用分裂项求和 1 ? 7. 已知角 ? 的终边经过点 P(sin15?, ? cos15?) ,则 sin 2 ? 的值为( A.0 B.
3 4

1 10 ? 11 11



1 3 C. ? 2 4

1 3 D. ? 2 4

答案:D 解析:考查三角函数诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限 还原 P 点坐标 P(cos ? ,sin ? ), ? ? 270? ? 15? , sin 2 ? ? cos2 15? ? cos2 (60? ? 45?) 8. 已知三个数 a ? 1, a ? 1, a ? 5 成等比数列,其倒数重新排列后恰为递增的等比数列 ?an ? 的前三 项,则能使不等式 a1 ? a2 ? ... ? an ? A.5 B.7 C .8 答案:B 解析:考查等比数列性质
1 1 1 ? ? ... ? 成立的自然数 n 的最大值为( a1 a2 an



D.9

(a ?1)(a ? 5) ? (a ? 1)2 ? a ? 3 {1/ 8,1/ 4,1/ 2,...},{8, 4, 2,...}
1 ? 2n 1 ? 8 ? 2(1 ? n ) 化简得 2n ? 128 8(1 ? 2) 2
9. 设函数 f ? x? ? sin(2x ? ? )(? ? [0,? ]) ,其导数 f ? ? x ? 的图象向右平移 称,则 ? ? ( ) ? ? ? A. B. C. 3 4 6 答案:C 解析:考查导数及三角函数图像平移

? 个单位后关于原点对 3

D.

? 8

f '( x) ? 2cos(2 x ? ? ) 平移得到 2cos[2( x ? ? / 3) ? ? ]
2

关于原点对称转化为 cos(? ? 2? / 3) ? 0 ? ? 2? / 3 ? ?? / 2 10. 已知抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点 F,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的一点,O 为坐标原点, 若 ? OFM 的外接圆 D 与抛物线 C 的准线相切,则圆 D 与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 相交得到的弦 长为( ) A. 2 3 B.4 C. 2 6 D. 4 3

答案:D 解析:考查圆锥曲线的性质 直线与圆割线弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 须要求出圆心和半径 焦点 F (4, 0) ,由对称性可设 D(2, y) ,DO=DF=DN, 22 ? y 2 ? (2 ? 4)2

D(2, 4 2) d ?

| 2?4 6 ?2| ? 2 6 AB ? 2 36 ? 24 ? 4 3 4

11. 在 ?ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c , BH 为 AC 边 上 的 高 , BH = 5 , 若 ???? ???? ???? ? 2 0a B C? 1 5b C A ? 1 2 c A? B ,则 0 H 到 AB 边的距离为( ) A.4 B.3 C .2 D.1 答案:A 解析:考查平面向量线性运算 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 20a( AC ? AB) ?15bAC ?12cAB ? (20a ?15b) AC ? (12c ? 20a) AB 因 AB,AC 不共线,故 b ? 4a / 3, c ? 5a / 3 由余弦定理得
b2 ? c 2 ? a 2 4 cos A ? ? x ? 5sin(? / 2 ? A) ? 5cos A ? 4 2bc 5

12. 如图,某时刻点 P 与坐标原点 O 重合,将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴正方向滚动,
) 轨 迹 方 程 是 y ? f ? x ? , 非 任 意 的 t ??1, 2? , 函 数 设 顶 点 P( x, y的
g ? x ? ? x 3 ? x 2 [? f (4) m ? f (4) ? ] 在区间 (t ,3) 上不是单调函数,则 m 的取值范围是( x 2 37 37 B. (?9, ?5) C. ( ? , ?9) D. ( ??, ? ) 3 3



37 , ?5) 3 答案:C 解析:如图所示,f(x)周期为 6 且 f(4)=2 2 m m g ? x ? ? x3 ? x 2 (? ? 2 ? ) ? x 3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x x 2 2

A. ( ?

g '( x) ? 3x2 ? (m ? 4) x ? 2 求导为零得 ? ? (m ? 4)2 ? 24 ? 0 且两根异号

3

t ?[1, 2], x ? (t ,3) 且 g ( x) 不单调,故 g '( x) ? 0 有且只有一正根,根据二分法得

?3t 2 ? (m ? 4)t ? 2 ? 0 ?m ? 4 ? ?5 ? g '(t ) ? 0 ?? ?? ,故选 C ? ? g '(3) ? 0 ?27 ? 3(m ? 4) ? 2 ? 0 ?m ? ?37 / 3
二、填空题
? ? ? ? ? ? 13. 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x, ?1) ,且 a ? b ,则 a ? 2b ? ___

答案:5 解析:考查平面向量运算
a ? b ? 0 ? x ? 2 a ? 2b ? (?3, 4)

14.

?

2

0

( 4 ? x2 ? x)dx ? ___

答案:2+π 解析:考查定积分运算 数形结合,1/4 圆面积加 1/2 正方形面积
??? ? ? x2 y 2 3 15. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个顶点分别为 A 和 B,且 AB 与 n ? (1, ? ) 共线,若点 a b 2

??? ? ??? ? O,F 分别为椭圆 C 的中心和左焦点,点 P 为椭圆 C 上任意一点,且 OP ? FP 的最大值为 6,
则椭圆 C 的长轴长为___ 答案:4 解析:考查椭圆的性质 设 A(a,0),B(0,b)得 b / a ? 3 / 2 设 F(-c,0),P(x,y)得数量积为 ( x, y)( x ? c, y) ? x2 ? cx ? y 2 ? x2 ? cx ? b2 ? 3 / 4x2

c ? a / 2, b2 ? 3a2 / 4 故 ( x, y)( x ? c, y) ? x2 / 4 ? ax / 2 ? 3a2 / 4 ? ( x+a)2 / 4 ? a2 / 2
即在 P 取在 A 处数量积最大 a(a ? c) ? 6 ? a ? 2 16. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 nSn ? (n ? 2)an ? 4n ,则 Sn ? ___
n?2 2 n ?1 解析:考查数列的运算 n?2 an ? 4 当 n=1 时 a1 ? 1 , Sn ? n n ?1 an ?1 ? 4 当 n>1 时 Sn ?1 ? n ?1 a a 1 an ?1 两式作差得 n ? ,故 { n } 是以 1/2 为公比的等比数列 n 2 n ?1 n

答案: 4 ?

4

an 1 n n?2 n?2 ? n ?1 , an ? n ?1 , Sn ? 4 ? an ? 4 ? n ?1 n 2 2 n 2 三、解答题

17. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c 成等比数列,且 (2a ? c) cos B ? b cos C (1)求角 B 的大小; 1 1 ? (2)求 tan A tan C 解析: (1)由正弦定理得 (2sin A ? sin C) cos B ? sin B cos C
2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? cos B ? 1/ 2 B ? ? / 3

(2)等比中项 b2 ? ac ? sin 2 B ? sin A sin C ,

1 1 sin( A ? C ) sin B 2 ? ? ? ? 2 tan A tan C sin A sin C sin B 3

18. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, an?1 ? 1 ? Sn (n ? N ? ) (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 为等差数列,且 b1 ? a1 ,公差为 的大小。
n?1 解析: (1) an ? 1 ? Sn?1 作差得 an?1 / an ? 2 ,因此 an ? 2 , n ? N * 2 (2) b1 ? 1, d ? 2 , bn ? 2n ? 1, bn?1 ? 2n ? 1, 1 ? b1 ? b2 ? ?? bn ? n ? 1

a2 ,当 n ? 3 时,比较 bn ?1 与 1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn a1

构造函数 f (n) ? n2 ? 2n ,当 n ? 3 时,f(n)单调递增且 f(3)=3>0 19. 已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 9 与圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? r 2 (r ? 0) 相外切. (1)若圆 C2 关于直线 l :
ax by ? ? 1 对称,求由点 ( a, b) 向圆 C2 所作的切线长的最小值; 9 12

(2)若直线 l1 过点 A(1, 0) 且与圆 C2 相交于 P, Q 两点,求 ?C2 PQ 面积的最大值,并求此时直线

l1 的方程。
解析: (1)两圆外切,圆心距等于半径和 3 ? r ? 5 ? r ? 2 若圆关于直线对称,则圆心(3,4)在直线上 a ? b ? 3 切线长 (a ? 3) 2 ? (b ? 4) 2 ? r 2 ? 2b 2 ? 8b ? 12 ? 2(b ? 2) 2 ? 4 当 a=5,b=2 面积最小值为 2 (2)如图所示,首先判断直线斜率必定存在 设直线方程 y ? k ( x ? 1) ,圆心(3,4)到直线的距离 d ? (2k ? 4) / 1 ? k 2
5

S ? d r 2 ? d 2 ? ?(d 2 ? 2) 2 ? 4 ,当 d 2 ? 2 时取最大值

因此, (2k ? 4)2 ? 2(1 ? k 2 ) 解得 k=1 或 k=7,直线方程为 y=x-1 或 y=7x-7

?(2 ? a) x ? 12, x ? 7 20. 已知函数 f ? x ? ? ? 是 R 上的增函数. x ?6 ?(a ? 2) , x ? 7 (1)求实数 a 的取值范围; 1 3 1 2 16 10 (2)若 g ? x ? ? ? x ? x ? 2ax( x ? ?1, 4?) 的最小值为 ? ,试比较 f ( g ( x))与f ( ) 的大小,并 3 2 3 3 . 说明理由 解析: (1)函数全体单调递增
?2 ? a ? 0 ? 交集 0 ? a ? 2 ?a ? 2 ? 1 ?(a ? 2)7 ?6 ? 7(2 ? a) ? 12 ?

(2) g '( x) ? ? x2 ? x ? 2a, x ?[1, 4] 当 a=0 时,g(x)在[1,4]上递减,最小值 g(4)=-40/3,与题不符 当 0<a<2 时, g '( x) ? 0 的双根为 x ?
1 ? 1 ? 8a 易知 x1 ? 1 ? x2 ? 4 2
27 ?0 2

穿根可知最大值 g ( x2 ) ,比较区间端点函数值 g (4) ? g (1) ? 6a ? 因此最小值 g (4) ? ?
16 10 ,解得 a ? 1 ,最大值 g ( x2 ) ? g(2) ? 3 3

10 因此 f ( g ( x)) ? f ( ) 3

x2 y 2 21. 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,椭圆 E 的右焦点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 ,椭圆 a b

E 的右顶点到右焦点与到直线 x ? 2 的距离之比为

2 2

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 l 与椭圆 E 交于 M、N 两点, l 与 x 轴、 y 轴分别交于 C、D 两点,记 MN 的中点 为 G,且 C、D 两点到直线 OG 的距离相等,当 ?OMN 的面积最大时,求 ?OCD 的面积。 解析: (1)右焦点(c,0)到直线距离
c ?1 ? 2 可解得 c=1 2

右顶点(a,0)到右焦点与到直线距离比 因此椭圆标准方程 x2 / 2 ? y 2 ? 1

a ?1 2 ? 可解得 a 2 ? 2 | a?2| 2

6

(2)依题意,设直线方程 y ? kx ? m, km ? 0 原点到直线距离 d ?
|m| 1? k 2

且 MN ? 2ab 1 ? k 2

a 2 k 2 ? b 2 ? m2 1 ? k 2 1 ? 2k 2 ? m2 ?2 2 a 2 k 2 ? b2 1 ? 2k 2

S?OMN ?

d 2 | m | 1 ? 2k 2 ? m2 MN ? 2 1 ? 2k 2
b2 解得 k 2 ? 1/ 2 2 a

依题意,CD 中点与 MN 中点重合, C (0, m), D(?m / k ,0) 即 ?kk ? ?
1 ? ( m 2 ? 1) 2 2

S ?OMN ?

,当 m2 ? 1 时 S?OMN 面积最大且 S?OCD ?

m2 2 ? | 2k | 2

x x 22. 已知函数 f ? x ? ? e ? ax ?1, g ? x ? ? ln(e ?1) ? ln x

(1)求证:当 ax ? x 时, f ? x ? ? 0 恒成立; (2)若存在 x0 ? 0 ,使得 f ( g ( x0 )) ? f ( x0 ) ,求 a 的取值范围。 解析: (1)当 ax ? x 时 f ( x) ? e x ? ax ?1 ? e x ? x ?1 令 h( x) ? e x ? x ?1 , h '( x) ? ex ?1 ,极小值 h(0) ? 0 故 f ( x) ? h( x) ? 0 (2) g ( x) ? ln(
ex ?1 ), x ? 0 ,由(1)知 h( x) ? e x ? x ?1 ? 0 x

ex ?1 从而 e ? 1 ? x ? 0 , g ( x) ? ln( )?0 x
x

要使 g(x)<x,必须

ex ?1 x ? e ,令 u( x) ? (1 ? x)ex ?1 x

u '( x) ? (1 ? x)e x ? e x ? ? xe x ? 0,( x ? 0) ,因此 u( x) ? u(0) ? 0 ,即 g(x)<x
综上所述,当 x>0 时,0<g(x)<x 恒成立

f ( x) ? e x ? ax ?1 得 f '( x) ? e x ? a
当 a≤1 时, f '( x) ? 0 , f ( x), x ? 0 单调递增,因此 f ( g ( x)) ? f ( x) 不合题意 当 a>1 时,令 f '( x) ? 0 即存在 x0 ? ln a ? 0 ,满足 f ( g ( x0 )) ? f ( x0 )

7


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