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四川省古蔺县中学高中数学 2.2.2.1 对数函数的图象及性质第一课时课件 新人教A版必修1


2.2.2
第1课时

对数函数及其性质
对数函数的图象及性质

(1)理解对数函数的概念; (2)掌握对数函数的图象和性质; (3)进一步加强数形结合意识。

人们经过长期实践,获得了生物体内碳14含量P与死

1? 亡年数t之间的关系:P ? ? ? ? ? 2?

t 5730

.

由指数与对数的关系,此指数式写成对数式是:

t ? log

1 5730 2

P. (*)

根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14含量 P,通过对应关系 t ? log
1 5730 2

P ,都有一个确定的年代t

与它对应,所以,t是P的函数.

考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上

死亡生物体的残留物,利用(*)式估算出土文物或古遗
址的年代. 思考:湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占

原始含量的76.7%.你能推算马王堆古墓的年代吗?
答案:t≈2193

1.对数函数的定义 一般地,把函数

y ? log a x?a ? 0, 且a ? 1? 叫做对

数函数,其中x是自变量,函数的定义域是 ?0,??? .

2.对数函数的图象 (1)作y=log2x图象 列表

x
y ? log2 x

1 4

1 2

1
0

2

4



?2

?1

1

2



描点

连线

y ? log2 x

(2)同样,通过列表、描点、连线作

y ? log 1 x 的图象
2

y x
y ? log 1 x
2

O

1

注意:利用换底公式,可以得到:

又点(x,y)和点(x,-y)关于x轴对称,所以y=log2x和

lg x lg x y ? log 1 x ? ?? ? ? log 2 x 1 lg 2 2 lg 2

y ? log 1 x 的图象关于x轴对称.
2

因此我们还可以利用对称得到 y ? log 1 x 的图象.
2

y

y ? log 2 x
O 1

x
y ? log 1 x
2

思考 (1)在同一坐标系中画出下列函数的图象

y ? log 2 x, y ? log 1 x,
2

y ? log 3 x, y ? log 1 x
3

(2)你能否猜测

y ? log 4 x 与 y ? log 1 x
4

分别与下图哪个图象相似.

y
1
0 1

y ? log 2 x y ? log 3 x x y ? log 1 x
y ? log 3 1 x
2

a ?1
图 像

0 ? a ?1

y ? log a x y ? log a x
定义域 x x ? 0

?

?

值域

R

过点( 1,0),即x ? 1 时, y ? 0
性 质

x ? 1时, y ? 0 0 ? x ? 1时, y ? 0

x ? 1时, y ? 0 0 ? x ? 1时, y ? 0

在(0,??)上是减函数 在(0,??)上是增函数

例1:求下列函数的定义域: (1)y=logax2 (3)y=loga(9-x) 分析:主要利用对数函数y=logax的定义域为 (0,+∞)求解。 (2)y=loga(4-x)

(1)因为x2 >0, 即x≠0, 所以函数y=logax2的定义域是 {x│x≠0} (2)因为4-x>0, 即x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域是 {x│x<4}

(3)因为9-x>0, 即x<9,
所以函数y=loga(9-x)的定义域是 {x│x<9}

练习1:求下列函数的定义域:

(1) y ? log5 (1 ? x) 1 (2) y ? log 2 x 1 (3) y ? log 7 1 ? 3x (4) y ? log3 x

解:(1)因为1-x>0,即x<1所以函数y=log5(1-x)的定 义域为{x|x<1}

(2)因为x>0且 即x>0且x≠1 所以函数

log2 x ? 0

1 的定义域为{x|x>0且x≠1} y? log 2 x

1 1 ? 0 ,即 x ? (3)因为 1 ? 3x 3
1 ? 1? y ? log 所以函数 的定义域为 ? x x ? ? 7 3? 1 ? 3x ?
(4)因为x>0且 log3 x ? 0 即x

?1
log3 x 的定义域为? x x ? 1?

所以函数 y ?

小结:由具体函数式求定义域,考虑: (1)分母不等于0; (2)偶次方根被开方数非负; (3)零指数幂底数不为0; (4)对数式考虑真数大于0;

(5)实际问题要有实际意义。

例2

比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log23.4,log28.5 (2) log0.31.8,log0.32.7 (3) loga5.1,loga5.9 ( a>0,且a≠1 )

解:⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它
在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4<log28.5 ⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所 以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7

⑶ loga5.1, loga5.9

(a>0,且 a≠1)

分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还

是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此
需要对底数a进行讨论:

解:当a>1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,
于是 loga5.1<loga5.9

当0<a<1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, 于是 loga5.1>loga5.9

点评

1.两个同底数的对数比较大小的一般步骤:

(1)确定所要考查的对数函数; (2)根据对数底数判断对数函数单调性; (3)比较真数大小,然后利用对数函数的单调性判断两 对数值的大小. 2.分类讨论的思想. 利用对数函数的增减性比较两个对数的大小时, 对底数与1的大小关系未明确指出时, 要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

通过本节的学习,说出你的收获。 对数函数









数形结合






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