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尼一中 高三数学模拟试题


高三数学阶段性检测

数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
( ) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项正确 1、全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 1} ,集合 B ? ? x | y ? 3 ? x} ,则 A ? B = A. (??,0) B. (??,1) C. [1,??) D.

(1,3]

2.右图的矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部分的 黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约( )

23 5 1 ? 2i 2011 ) =( 3、 ( 2?i
A. A.1
3

B. ) B. ? 1

21 5

C.

19 5

D.

16 5

C. i

D. ?i ) B. 4 x ? y ? 2 ? 0 D. 4 x ? y ? 2 ? 0 )

4、函数 f ( x) ? x ? x 的图像在 x ? 1 处的切线方程为( A. 4 x ? y ? 2 ? 0 C. 4 x ? y ? 2 ? 0

5、某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 k 的值是(

A.4 B. 5 C.6 D. 7 6、 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的 外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 ( ) A.

8 91

B.

25 91

C.

48 91

D.

60 91

w.w.w.gkst k.c.o. m

7、函数 y ?

( x ? a) ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图像可以是( x?a



A

B

C

D

8、定义在 R 上的偶函数 f(x)在 ?0 , ? ?? 上递增, f ( ) ? 0 ,则满足 f (log1 x) >0 的 x 的取值范围是 (
8

1 3



A. ?0 , ? ? ?

B. ? 0 ,

? ?

1? ? ? ?2 , ? ? ? 2?

C. ? 0 ,

? ?

1? ? 1 ? ? ? ? , 2? 8? ? 2 ?

D. ? 0 ,

? ?

1? ? 2?

9、已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a =( A.

) D.

19 3

B.

16 3
2

C.

13 3

10 3

10 .设平面区域 D 是由双曲线 x ?

y2 ? 1 的两条渐近线和直线 6 x ? y ? 8 ? 0 所围成三角形的边界及内部。当 4
) C.4 D.7

( x, y) ? D 时, x2 ? y 2 ? 2 x 的最大值为(
A.24 B.25

11.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 ,如果直线 y ? x ? a 与曲线

y ? f ( x) 恰有两个不同的交点,则实数 a =(
A. 2k (k ? Z ) B. 2k 或2k ?

) C.0 D. 2 k 或 2 k ?

1 (k ? Z ) 4

1 (k ? Z ) 4
)

12.已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上,当正六棱柱的体积最大时,其高的值为 ( A. 3 3 B. 2 3 C.

2 3 3

D. 3

第Ⅱ卷(非选择题
13.定积分

共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

?

2

? 2

4 ? x 2 dx 的值是__________.
n ? 3, n ? 10 * , 其中 n ? N , 则 f (8) = ? f [ f (n ? 5)],n ? 10 ?
.

14. 已知函数 f (n) ? ?

15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_________. 16 下列命题中,真命题的序号有________.(写出所有真命题的序号) ①当 x ? 0 且 x ? 1 时,有 ln x ?

1 ? 2; ln x

②函数 f ( x) ? lg(ax ? 1) 的定义域是 ? x x ? ? ? ;
?x 2 ③函数 f ( x) ? e x 在 x ? 2 处取得极大值;

? ?

1? a?

④若 sin(? ? ? ) ?

1 1 , sin(? ? ? ) ? ,则 tan? cot ? ? 5 . 2 3

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17、 (本小题满分 10 分) 已知向量 OP ? ( 2 cos(

?
2

? x) , ? 1 ) , OQ ? ( ? sin(

?
2

? x) , cos 2 x ) ,定义 f ( x) ? OP ? OQ

(I)求函数 f ( x) 的表达式,并求其单调区间; (II)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a 、 b 、 c ,且 f ( A) ? 1, bc ? 8 ,求△ABC 的面积 18. (本小题满分 12 分)已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式: (Ⅱ)等比数列 {bn } 满足: b1 ? a1 , b2 ? a2 ? 1 ,若数列 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 19、 (本小题满分 12 分)已知如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD∥ BC,AB⊥BC,AB=AD=1,BC=2,又 PB⊥平面 ABCD,且 PB=1,点 E 在棱 PD 上, 且 DE=2PE. (I)求异面直线 PA 与 CD 所成的角的大小; (II)求证:BE⊥平面 PCD; (III)求二面角 A—PD—B 的大小. 20、 (本小题满分 12 分)为了学生的全面发展,某中学在高一学年是推行 “合理作业”(合理作业是指:放学后学生每天完成作业的时间不超过两小 时)活动。高一学年共有学生 2000 人,其中男生 1200 人,女生 800 人, 为了调查 2012 年 3 月(按 30 天计算)学生“合理作业”的天数情况,通过 分层抽样的方法抽取了 40 人作为样本,统计他们在该月 30 天内“合理作 业”的天数, 并将所得的数据分成以下六组:[0,5] ,(5,10] ,(10,15] , …,

(25,30] ,由此画出样本的频率分布直方图,如图所示。
(1)求抽取的 40 人中男生、女生的人数; (2)在抽取的 40 人中任取 3 人,设 ? 为取出的三人中“合理作业”天数超过 25 天的人数,求 ? 的分布列及数学 期望 E? 。 21、 (本小题满分 12 分) 已知抛物线方程 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,点 F 为其焦点,点 N (3,1) 在抛物线 C 的内部,设点 M 是抛物线 C 上的任意一

???? ? ???? ? 点, | MF | ? | MN | 的最小值为 4.
(I)求抛物线 C 的方程;

??? ? ??? ? ??? ? (II)过点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于不同两点 A 、 B ,与 y 轴交于点 P ,且 PF ? ?1 FA ? ?2 FB ,试判断 ?1 ? ?2 是
否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由. 22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? ln x . 2

, 上的最大值、最小值; ] (I)求函数 f ( x ) 在 [ 1 e
2 3 x 图象的下方; 3

(II)求证:在区间 [1, ??) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x) ?

呼伦贝尔市尼尔基第一中学 2014 年高考备考试卷三 (理科数)数学试题参考答案
一、 选择题 (1)B (2)A (7)C (8)B 二、填空题 (13) ? ? 2 三、解答题 (17)解: (1) f ( x) ?
由?

(3)D (9)A (14) 3 5

(4)B (5)A (6)C (10)A (11)D (12)B (15)

2 3

(16)??④

2 sin( 2 x ?

?

?
2

8 3? ? k? ] k ? R f ( x) 的递增区间为 [ ? ? k? , 8 8 ? ? 3? 3? 7? ? 2k? ? ? k? ? x ? ? k? 由 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? k? , ? k? ] k ? R f ( x) 的递减区间为 [ 8 8 ? ? 2 (2)由 f ( A) ? 1 ? 2 sin( 2 A ? ) ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 4 4 2 ? ? ? 3? ? ? ? ) 又 0 ? A ? ? 2 A ? ? (? , 所以 2 A ? ? ? A ? 2 4 4 4 4 4 4 1 1 ? 故 S ? bc sin A ? ? 8 ? sin ? 2 2 2 2 4

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?

4

) ? 2k? ? ?

?

?

2

? k? ? x ?

3? ? k? 8

(18)解:解法一:如图,以 B 为原点,分别以 BC、BA、BP 为 x,y、z 轴,建立空间直角坐标系,则

B(0,0,0), C(2,0,0), A(0,1,0), D(1,1,0), P(0,0,1), 又DE ? 2PE
1 1 2 ? E( , , ) 3 3 3 ??? ? ??? ? (1)? PA ? (0,1, ?1), CD ? (?1,1,0)
z P E

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA? CD 1 1 ? ??? ? ? ? cos ? PA, CD ?? ??? ? …4 分 | PA |? | CD | 2? 2 2
?异面直线PA与CD所成的角为60? .
? 1 1 2 ??? 3 3 3 ??? ? ??? ? 1 1 2 ? BE ?PD ? ?1 ? ?1 ? ? (?1) ? 0. 3 3 3
(2)? BE ? ( , , ), PD ? (1,1, ?1), PC ? (2, 0, ?1).
x C D

B A y

??? ?

??? ?

? ? ?? ? ? ?? 1 1 2 B E? P C ? ?2 ? ? 0 ? ( ? 1 ?) ? 0. 3 3 3

? BE ? PD, BE ? PC, 又PD ? PC ? P .
? AB ? 平面PCD.
9分

? ??? ? ? ?n 0 ?PA ? 0 ? y ? z ? 0 ? (3)设平面 PAD 的一个法向量为 n 0 ? ( x, y, z ), 则由? ? ??? . 得? ? x ? y ? z ? 0 n ? PD ? 0 ? ? ? 0 ? 令 z ? 1, 则n 0 ? (?2,1,1).

? ??? ? 又BP ? (0,0,1) ,设平面 PBD 的法向量为 n1 ? ( x1, y1, z1 ), ? ??? ? ? ?n 1 ?BP ? 0 ? z1 ? 0 则由 ? ? ??? 得? ? n ? PD ? 0 ? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? ? 1
令 x1 ? 1, 则n1 ? (1, ?1,0)

?

? ? ? ? n 0 ?n1 ?2 ?1 ? 1? (?1) 3 ? ? ?cos ? n 0 , n1 ?? ? ?? 2 | n 0 |? | n1 | 6? 2

? ? ?? n 0 , n1 ?? 120?
又二面角 A—PD—B 为锐二面角,故二面角 A—PD—B 的大小为 60 ? . 解法二: (1)取 BC 中点 F,连结 AF,则 CF=AD,且 CF∥AD, ∴四边形 ADCF 是平行四边形,∴AF∥CD. ∴∠PAF(或其补角)为异面直线 PA 与 CD 所成的角. ∵PB⊥平面 ABCD, ∴PB⊥BA,PB⊥BF. ∵PB=AB=BF=1, ? AB ? BC , ∴PA=PF=AF= 2 .
E H B O A P

??PAF是正三角形, ?PAF ? 60?
即异面直线 PA 与 CD 所成的角等于 60 ? . (2) 在Rt?PBD中, PB ? 1, BD ? 2, ?PD= 3 4分

C

F D

? DE ? 2 PE ,? PE ?
PE PB 1 ? ? . PB PD 3

3 , 3



? ?PBE ~ ?PDB

? BE ? PD .
由(1)知, CF ? BF ? DF ,??CDB ? 90? ..

?CD ? BD, 又PB ? 平面BCD,? PB ? CD. ? PB ? BD ? B,?CD ? 平面PBD,?CD ? BE, ?CD ? PD ? D,? BE ? 平面PCD.
(3)设 AF 与 BD 的交点为 O,则 AO ? BD .

? PB ? 平面ABCD, ?平面PBD ? 平面ABD,? AO ? 平面PBD.
过点 O 作 OH ? PD 于点 H,连结 AH,则 AH ? PD .

??AHO为二面角A ? PD ? B 的平面角。
在 Rt ?ABD中, AO ?

2 . 2

在 Rt ?PAD中, AH ?

PA?AD 2 ?1 6 . ? ? PD 3 3

2 AO 3 ? 2 ? 在 Rt ?AOH中,sin ?AHO ? . AH 2 6 3

??AHO ? 60?,即二面角A ? PD ? B的大小为60? .

19、 (Ⅰ) 男生 24 人;女生 16 人 (Ⅱ)

…………………………………………

4分

?

0

1

2

P

4218 4940

703 4940

19 4940

………………………………………

8分

E (? ) ? 0.15

………………………………………

12 分

p ,点 M 到 l 的距离设为 d , 2 ???? ? ???? ? ???? ? p 由抛物线定义, | MF | ? | MN |? d ? | MN |? 3 ? ? 4, ………………………………………………2 分 2 所以 p ? 2,
20.解: (1)准线方程为 l : x ? ? 所以 y 2 ? 4 x …………………………………………………………………………………………4 分 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), F (1,0) 由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于 0, 设 l : y ? k ( x ? 1), 则 P(0, ?k ), ??? ? ??? ? ??? ? 由 PF ? ?1 FA ? ?2 FB 知 (1, k ) ? ?1 ( x1 ? 1, y1 ) ? ?2 ( x2 ? 1, y2 )
?k ? ?1 y1 ? ?2 y2
? k ? 0,? ?1 ? k k y ? y2 , ?2 ? , ?1 ? ?2 ? k ? 1 , ……………………………………………………8 分 y1 y2 y1 y2

将 y ? k ( x ? 1) 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ?

4 y ? 4 ? 0, k

4 y1 ? y2 ? , y1 ? y2 ? ?4 k y ? y2 4 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? , …………………………………………………………………………10 分 y1 y2 k 4 k 1 ??1 ? ?2 ? k ? (? ) ? ?1 为定值.……………………………………………………………………12 分 k
21.解: (I)∵f? (x)= x ?

1 ∴当 x? [1,e] 时,f? (x)>0, x

∴ f ( x ) 在 [1,e] 上是增函数,

1 1 2 , f ( x) max ? f (e) ? e ? 1 . --------------------4 分 2 2 1 (1 ? x)(1 ? x ? 2 x 2 ) 1 2 2 3 2 (II)设 F ( x) ? x ? ln x ? x ,则 F ?( x) ? x ? ? 2 x ? , 2 3 x x ∵ x ? 1 时,∴ F ?( x) ? 0 ,故 F ( x) 在 [1, ??) 上是减函数. 1 1 2 2 3 又 F (1) ? ? ? 0 ,故在 [1, ??) 上, F ( x) ? 0 ,即 x ? ln x ? x , 6 2 3 2 3 ∴函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x) ? x 的图象的下方. --------------------8 分 3
故 f ( x) min ? f (1) ?


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