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点 线 面之间的位置关系复习知识点


点 线 面之间的位置关系

复习知识点

公理1.如果一条直线上的两个点在一个平面内,
那么这条直线在此平面内。
α B A

l

公理2.不在同一直线上的三点唯一确定一个平面.
B α A

A

C

l C

α

B

推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。

确定平面的条件:
经过不共线三点

经过一条直线和直线外的一点
有且只有一个平面

经过两条相交直线
经过两条平行直线

公理3.如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。

一、空间中两直线的位置关系
1、相交
m P l l l

2、平行
m

3、异面直线
m P

只有一个公共点

没有公共点

没有公共点 不同在任一平面

在同一平面

公理4 (平行线的传递性): 平行于同一条直线的两条直线 互相平行。 等角定理:

空间中如果两个角的两边对应平 行,那么这两个角相等或互补。

定义:异面直线所成的角 a,b是两条异面直线,经过空间任意一点o, 分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直线a1和b1所 成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角
b

b1 a


b

α

a1

α

a1

a

点o常取在两条异面直线中的一条上
若两条异面直线a,b所成角是直角,则称这两 条异面直线互相垂直,记a⊥b

范围:0o<θ≤900

一、直线和平面的位置关系
1、直线和平面平行的定义
如果一条直线和一个平面没有公共点,那 么我们说这条直线和这个平面平行。 2、一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:

(1)直线在平面内——有无数个公共点;
(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点; (3)直线和平面平行——没有公共点。

我们把直线和平面相交或平行的情况统 称直线在平面外。

3、直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言:
(1)直线在平面内:

a ??
如图:

a
?
a

(2)直线在平面外:

a ??
?A
?

①直线a和面α 相交 :a ? ? ②直线a和面α 平行 : a∥α.

.

A

如图:
a

如图:
?

空间中两平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示

两平面平行
没有公共点

两平面相交
有一条公共直 线

?∥ ?

? ?? ? a

图形表示

直线和平面平行的判定定理 : 平面外的一条直线和平面内的一条直 线平行,则该直线和这个平面平行。

a ??? ? 即 b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

a
b α

直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行,经过这 条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行。

a??? , a ? ?, ? ?? ?b
注意:

a // b

? a b

1、定理三个条件缺一不可。

2、简记:线面平行,则线线平行。

?

二、两个平面平行的判定
判定定理:一个平面内两条相交直线与 另一个平面平行,则这两个平面平行.
P

符 号 语 言



? ? b?? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? ? a // ? ? ? b // ? ?

a??

二、两个平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线平行.

? // ? ? 即: ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? ? ? ? b?
简记:面面平行,则线线平行

直线与平面垂直
如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

直线与平面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?

l?a l ?b

l

b

?

A

a

作用: 判定直线与平面垂直. 思想: 直线与平面垂直

直线与直线垂直

直线与平面垂直的性质定理:
b′

垂直于同一个平面的 两条直线平行。

二面角
1、定义 半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分,其中 的一部分叫做半平面(semi-plane)
二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角(dihedral angle), 这条直线叫做二面角 的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
A

图 形
l

? ?
A

F B D

E

符 号

? B ?

C

二面角?-AB-?

二面角?-l-?

二面角C-AB-E

2 定义
以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 二面角的平面角必须满足:
P

l
A

?
B

1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的两边都要垂直于二面角的棱

?

二面角的大小可用其平面角来度量,与 点O的位置无关。 范围00≤α≤1800

面面垂直的定义: 一般地,两个平面相交,
如果它们所成的二面角是直二面角,就说这 两个平面互相垂直.
平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直. 符号: α a?? ?? ? ? a ? 面? 简记:线面垂直,则面面垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直

β a A

面面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一 个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直。
面面垂直 线面垂直
α
C

β
E B D A


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