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高中数学配套课件:第1部分 第一章 1.3 算法案例


知识点一

理解教材新知 第 一 章 算 法 初 步

知识点二 知识点三

1. 3
算 法 案 例 把握热点考向

考点一 考点二
考点三

应用创新演练

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问题1:如何求18与54的最大公约数? 提示:短除法

问题2:要求6 750与3 492的最大公约数,上述法还好用吗?
提示:数值太大,短除法不方便用 问题3:还有没有其他方法,可用来解决问题2中的问题? 提示:有

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1.辗转相除法 (1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个 正整数的 最大公约数 的古老而有效的算法.

(2)辗转相除法的算法步骤
第一步,给定 两个正整数m,n . 第二步,计算 m除以n所得的余数r . 第三步, m=n,n=r . 返回

第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于 m 否则返回 第二步 .



2.更相减损术 (1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》 中介绍的一种求 两个正整数的最大公约数 的算法.

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(2)其基本过程是:

第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都
是 偶数 .若是, 用2约简 ;若不是,执行 第二步 . 第二步,以 较大 的数减去 较小 的数,接着把所得 的差与 较小 的数比较,并以大数减小数,继续这个操作, 直到所得的数 相等 为止,则这个数(等数)或这个数与约

简的数的乘积就是所求的最大公约数.

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已知多项或f(x)=x5+3x4-3x3+4x2-x-1 问题1:求f(1): 提示:f(1)=1+3-3+4-1-1=3 问题2:若求f(39),再代入运算出现什么情况?

提示:运算量太大,不易运算
问题3:有没有好的方法求x数值较大时对应的函数值. 提示:有.可将f(x)转化为求一次多项式的值 返回

秦九韶算法

功能 它是一种用于计算 一元n次多项式 的值的方法
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写 = (anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 后的 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 形式 =… = (…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0 返回

从括号最内层开始,由内向外逐层计算 v1=anx+an-1, v2=v1x+an-2, 计算 v3= v2x+an-3 ,

方法 …
vn= vn-1x+a0 , 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求 n个一次多

项式

的值 返回

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我们从小到现在,学习的数都是十进制,而现代的 电子计算机技术全部采用的是二进制,因为它只使用0、

1两个数字符号,非常简单方便.
问题1:除了十进制与二进制外还有其他进位制, 能举例说明吗? 提示:如六进制、八进制等 问题2:其他进制与十进制可以互化吗?

提示:可以
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进位制是人们为了 计数 和 运算方便 而约定的记数 系统,“满k进一”就是 k进制 ,k进制的基数是k. 把十进制数化为k进制数时,通常用除k取余法.

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1.辗转相除法与更相减损术的区别与联系:
名称 辗转相除法 ①以除法为主 更相减损术 ①以减法为主

② 两 个 整 数 差 值 较 ②两个整数的差值较大时,运算次
区别 大时运算次数较少 数较多

③ 相 除 余 数 为 零 时 ③相减,两数相等得结果

得结果

④相减前要做是否都是偶数的判断

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名称 辗转相除法

更相减损术

①都是求两个正整数的最大公约数的方法 联系 ②二者的实质都是递推的过程

③二者都要用循环结构来实现

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2. 秦九韶算法把求 n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+… +a1x+a0 的值转化为求递推公式
?v0=an ? ? ?vk=vk-1x+an-k ?

(k=1,2…n)的值. 这样最多只需 n 次

乘法和 n 次加法即可求出多项式的值,和直接代入求值相 比,减少了运算次数,提高了运算效率.

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3.不同进位制的数照样可比较大小.但一 般要转化到同一进位制下比较大小.

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[例1] 求228与1 995的最大公约数 [思路点拨] 相减损术. 可以考虑用辗转相除法,也可考虑用更

[精解详析]

法一(辗转相除法)

1 995=8×228+

171,228=1×171+57,171=3×57, 所以228与1 995的最大公约数为57.

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法二(更相减损术)

1 995-228=1 767,1 767-228=1 539,

1 539-228=1 311,1 311-228=1 083,

1 083-228=855,855-228=627,
627-228=399,399-228=171, 228-171=57,171-57=114, 114-57=57. 所以228与1 995的最大公约数为57.

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[一点通]

辗转相除法计算次数少,步骤简

捷,更相减损术计算次数多,步骤复杂,但是更

相减损术每一步的计算都是减法,比做除法运算
要简单一些,一般当数较小时可以考虑用更相减 损术,当数较大时可以考虑用辗转相除法.

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1.用辗转相除法求72与120的最大公约数时,需要 做除法次数为 A.4 C.5 B.3 D.6 ( )

解析:用辗转相除法:
120=72×1+48,72=48×1+24,48=24×2. 答案:B 返回

2.用更相减损术求1 515与600的最大公约数时,

需要做减法的次数是
A.15 C.13 B.14 D.12

(

)

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解析:1 515-600=915,915-600=315,600-315=

285,315-285=30,285-30=255,255-30=225,225-
30=195,195-30=165,165-30=135,135-30= 105,105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15. ∴1 515与600的最大公约数是15.则共做14次减法. 答案:B

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3.求324,243,270三个数的最大公约数. 解:324=243×1+81,243=81×3,所以324与 243的最大公约数为81. 270=81×3+27,81=27×3,所以81与270的最大 公约数为27.

综上可知,324,243,270三个数的最大公约数为27.

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[例 2]

(2012· 晋城高一检测)用秦九韶算法计算多项式

f(x)=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64,当 x= 2 时的值. [思路点拨] 改写多项式 → 确定v0 →

依次计算vi,i=1、2、3、4、5、6 → 求得f?2? .

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[精解详析]

将f(x)改写为

f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64,

由内向外依次计算一次多项式当x=2时的值
v0=1, v1=1×2-12=-10, v2=-10×2+60=40, v3=40×2-160=-80,

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v4=-80×2+240=80,
v5=80×2-192=-32,

v6=-32×2+64=0.
∴f(2)=0,即x=2时,原多项式的值为0.

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[一点通] 秦九韶算法的步骤:

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4.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4 +5x5+3x6在x=-4的值时,v4的值为 A.-57 B.220 ( )

C.-845

D.3 392

解析:由秦九韶算法有:v0=3,v1=v0x+5=-7,v2= -7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220. 答案:B 返回

5.用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+0.11x3-0.15x -0.04当x=0.3时的值. 解:根据秦九韶算法,将f(x)写为: f(x)=((((x+0)x+0.11)x+0)x-0.15)x-0.04. 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=0.3时的值;

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v0=1

v1=v0×0.3+0=0.3;
v2=v1×0.3+0.11=0.2; v3=v2×0.3+0=0.06; v4=v3×0.3-0.15=-0.132; v5=v4×0.3-0.04=-0.079 6.

所以,当x=0.3时,多项式的值为-0.079 6.

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[例3] (1)将101 111 011(2)转化为十进制的数; (2)将235(7)转化为十进制的数;

(3)将137(10)转化为六进制的数;
(4)将53(8)转化为二进制的数. [思路点拨] 其他进制化十进制时,利用求各位上的数 与k的幂的乘积后再相加的方法,十进制化其他进制可采 用除k取余法.

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[精解详析]

(1)101 111 011(2)=1×28+0×27+1×26+

1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=379(10). (2)235(7)=2×72+3×71+5×70=124(10).

(3)

∴137(10)=345(6). 返回

(4)53(8)=5×81+3×80=43(10).

∴53(8)=101 011(2).

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[一点通]

1.k进制数化为十进制数的步骤:
(1)把k进制数写成不同数位上的数字与k的幂 的乘积之和的形式. (2)按十进制数的运算规则运算出结果.

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2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤:

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6.二进制数101 110(2)转化为八进制数为
A.45(8) B.56(8)

(

)

C.67(8)

D.78(8)

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解析:先化成十进制,再化成八进制
101 110(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+1×2 +0=46.

∴46=56(8).

答案:B
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7.下列所给的四个数中,最小的是

(

)

A.3 732(8)
C.2 011

B.5 555(7)
D.133 210(4)

解析:将各项都化成十进制数再比较大小. 3 732(8)=3×83+7×82+3×8+2=2 010, 5 555(7)=5×73+5×72+5×7+5=2 000,

133 210(4)=1×45+3×44+3×43+2×42+1×4+0=2 020.
答案:B

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1.求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相
除法,也可以用更相减损术.用辗转相除法,即根据a= nb+r这个式子,反复相除,直到r=0为止;用更相减损术, 即根据r=|a-b|这个式子,反复相减,直到r=0为止. 2.秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多 项式,注意体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外, 一步一步执行.

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3.把一个非十进制数转化为另一种非十进制数,通常

是把这个数先转化为十进制数,然后再利用除k取余法,把
十进制数转化为k进制数.而在使用除k取余法时要注意以 下几点: (1)必须除到所得的商是0为止;(2)各步所得的余数 必须从下到上排列;(3)切记在所求数的右下角标明基数.

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