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福建省德化一中2014-2015学年高二第二次月考(12月)数学文试题含答案


2014-2015 学年德化一中高二第二次月考 (文科)数学试卷
一、选择题(12 ? 5=60 分) 1、命题“对任意 x ? R 都有 x 2 ? 1 ”的否定是( A.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 1
2 C.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?1
2



B.不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 1 x
2 D.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?1
2

2、设 a,b 是实数,则“a>b”是“a >b ”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3、在等比数列{an}中,若 a1=2,a3=4,则 a7 等于( A.8 B.16 C.32 D.64

4、已知等差数列{an}满足 a5 ? a6 =28,则其前 10 项之和为( A.140 B.280 C.168 D.56 )



5、在 ?ABC 中, a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 , 则角 C 的度数为( A. 60
0

B.
2 2

900

C. 120 D. 150 ) D.

0

0

6、椭圆 x +4y =4 的离心率为( A. B. C.

1 7、若 a>1,则 a+ 的最小值是( a-1 A.2 B.3 2 a C. a-1 D.a

)

8、已知椭圆 A. 2

+ B.3

=1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离为( ) C.5 D.7

?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ? 9、若变量 x,y,满足约束条件 ? ,则 2 x ? y 的最大值是( ?x ? 0 ? ?y ? 0
A.2 B.4 C.7 D.8



-1-

10、到两个定点 F 和F 的距离之和为 14 的点的轨迹 ( ) ( 0) ( 0) 1 -7, 2 7, A.椭圆 B.线段 C. 双曲线 ,0),F2( D.抛物线 ,0),P 是双曲线上的一点, )

11、已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-

且 PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程是( A.

-

=1

B.

- =1

C.x2- =1
2

D. -y2=1

12、已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) A. B.1 C. D.

二、填空题(4 ? 4=16 分) 13.不等式 x(2-x)>0 的解集为 14..双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 16 9



15、若抛物线 y2=2px(p≠0)的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则实 数 p= .

16.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点 的直线的斜率为 ,则 的值为 . .
4 . 5

三、解答题:(17、18、19、20、21 题各 12 分,22 题 14 分) 17 、在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a = 2 , cos B ? (1)若 b ? 3 , 求 sin A 的值. (2)若△ ABC 的面积 S?ABC ? 3 ,求 b, c 的值.

18、已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=6,S3=12. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 ??? ?1. (2)求证: ? S1 S 2 Sn

-2-

19、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行道 的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长 A1B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? D D1 C1 C
4米

A1 A 10 米

B1

4米

10 米 B

20、已知椭圆的标准方程为 + =1.
(1)求椭圆的长轴长和短轴长. (2)求椭圆的离心率. (3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点,并且经过点 P(-4,1)的椭圆方程.

21、(1)设抛物线 y =4x 被直线 y=2x+k 截得的弦长为 3
2

,求 k 的值.

(2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,三角形的面积为 9 时,求 P 点坐标.

-3-

22、已知等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n?1 ,设数列 ?bn ? 满足对任意自然数 n 都有
b1 b2 b3 b + + +┅+ n = 2 n +1 恒成立. a1 a 2 a 3 an
①求数列 ?bn ? 的通项公式; ②求 b1 ? b2 ? b3 ? ┅+ b2005 的值.

2014-2015 德化一中高二(文科)数学第二次月考试卷答案
一、选择题: DDBAC ABDCB 二、填空题: 13、{x|0<x<2 } DC

14、 y ? ?

3 x 4

15、4

16、

17 、在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a = 2 , cos B ?

4 . 5

(1)若 b ? 3 , 求 sin A 的值.(2)若△ ABC 的面积 S?ABC ? 3 ,求 b, c 的值.

-4-

4 且 0? B ?? , 5 3 sin B = 1 ? cos2 B = ??2 分 5 a b a sin B 2 ? 由正弦定理 ,得 sin A = = sin A sin B b 5 1 1 3 (2)因为 S ?ABC = ac sin B = 3 所以 ? 2c ? ? 3 所以 c =5, 2 2 5
解: (1)

cos B ?

??6 分 ??9 分

由余弦定理得 所以 b= 13 ??12 分 18、已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=6,S3=12. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 ??? ?1. (2)求证: ? S1 S 2 Sn 解:(1)设等差数列{an}的公差是 d,依题意得

?a1 ? 2d ? 6, ?a ? 2, ? 解得 ? 1 ??4 分 3? 2 ? ? d ? 2. ?3a1 ? 2 d ? 12. ? 所以数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n. ??6 分
(2)证明:an=2n,所以 Sn=

n( a1 ? a n ) =n(n+1). ??8 分 2

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? S1 S 2 Sn 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 .??10 分 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ( ? ) ?1? 1 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 1 1 ??? ? 1 .??12 分 所以 ? S1 S 2 Sn

19、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行道 的宽分别为 4 米和 10 米。 (1) 若设休闲区的长 A1B1 ? x 米, 求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? 解:⑴由 A1B1 ? x ,知 B1C1 ?

4000 x

D D1 C1

C
4米

4000 S ? ( x ? 20)( ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) ??6 分 x
A
-5-

A1
10 米

B1

4米

10 米 B

80000 80000 ? 4160 ? 2 8 x? ? 5760 ??10 分 x x 80000 即x ? 100 时取等号 当且仅当 8 x ? x
⑵ S ? 4160 ? 8 x ? ∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米. ??12 分

20、已知椭圆的标准方程为 + =1.
(1)求椭圆的长轴长和短轴长.(2)求椭圆的离心率. (3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点,并且经过点 P(-4,1)的椭圆方程. 解: (1)椭圆的长轴长为 2a=6,短轴长为 2b=4. (2)c= = ??2 分 .X ??6 分 + =1, 又椭圆过点

, 所以椭圆的离心率 e= =

(3) 若以椭圆的长轴端点为短轴端点 , 则 b ′ =3, 可设椭圆方程为 P(-4,1),将点 P(-4,1)代入得 故所求椭圆方程为

+ =1,
??12 分

解得 a′ =18.x

2

+ =1.
2

21、(1)设抛物线 y =4x 被直线 y=2x+k 截得的弦长为 3
2 2

,求 k 的值.

(2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,三角形的面积为 9 时,求 P 点坐标. 解:(1)由 得 4x +(4k-4)x+k =0, ??2 分

设直线与抛物线交于 A(x1,y1)与 B(x2,y2)两点. 当Δ=(4k-4) -4×4k >0,即 k< 时 x1+x2=1-k,x1·x2= 所以|AB|= = = 因为|AB|=3 所以 , =3 ,即 k=-4. ??6 分 , = . ,??4 分
2 2

(2)因为三角形的面积为 9,底边长为 3 所以三角形高 h= = .??8 分

因为点 P 在 x 轴上,所以设 P 点坐标是(x0,0),
-6-

则点 P 到直线 y=2x-4 的距离就等于 h,x 即 = ,解得 x0=-1 或 x0=5, 即所求 P 点坐标是(-1,0)或(5,0). ??12 分

22 、 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an ? 3n?1 , 设 数 列 ?bn ? 满 足 对 任 意 自 然 数 n 都 有

b1 b2 b3 b + + +┅+ n = 2 n +1 恒成立. a1 a 2 a 3 an ①求数列 ?bn ? 的通项公式; ②求 b1 ? b2 ? b3 ? ┅+ b2005 的值. b1 b2 b3 b 解: (1)? 对任意正整数 n,有 + + +┅+ n = 2 n +1 ① a1 a 2 a 3 an b ∴当 n=1 时, 1 ? 3 ,又 a1 ? 1 ,∴ b1 ? 3 ;??2 分 a1
当 n ? 2 时, ∴②-①得

b b1 b2 b3 + + +┅+ n ?1 = 2 n -1 a1 a 2 a 3 a n ?1



bn ? 2 ; bn ? 2an ? 2 ? 3n?1 ;??6 分 an

∴ bn ? ?

?3

,
n-1

(n ? 1), , (n ? 2)

?2 ? 3

??8 分

(2) b1 ? b2 ? b3 ? ┅+ b2005 = 3 ? (2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32004 ) = 3 ? 3(32004 ? 1) = 3
2005

??14 分

-7-


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