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高考数学常用公式(红色基础)


高考数学常用公式

集合
元素与集合的关系 x ∈ A ? x ? CU A , x ∈ CU A ? x ? A . 德摩根公式

CU ( A I B) = CU A U CU B; CU ( A U B) = CU A I CU B .
集合 {a1 , a2 ,L , an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;非空的 真子集有 2n –2 个. 集合 A 中有 M 个元素,集合 B 中有 N 个元素,则可以构造 M*N 个从集合 A 到集合 B 的映射;

二次函数,二次方程
二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) ; (2)顶点式 f ( x) = a ( x ? h) 2 + k ( a ≠ 0) ; (3)零点式 f ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )( a ≠ 0) . 解连不等式 N < f ( x ) < M 常有以下转化形式

N < f ( x) < M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] < 0 f ( x) ? N M +N M ?N ? | f ( x) ? |< ? >0 2 2 M ? f ( x) 1 1 ? > . f ( x) ? N M ? N
闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值只能在 x = ? 得,具体如下: (1)当 a>0 时,若 x = ?

b 处及区间的两端点处取 2a

b b ∈ [ p, q ],则 f ( x) min = f (? ), f ( x) max = max { f ( p ), f (q )} ; 2a 2a

b ? [ p, q ] , f ( x) max = max { f ( p), f (q)} , f ( x) min = min { f ( p), f (q)} . 2a b b (2) 当 a<0 时 , 若 x = ? ∈ [ p, q ] , 则 f ( x) min = min { f ( p ), f (q)} , 若 x = ? ? [ p, q ] , 则 2a 2a f ( x) max = max { f ( p), f (q)} , f ( x) min = min { f ( p ), f (q)} . x=?
定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (?∞,+∞) 的子区间 L (形如 [α , β ] , (? ∞, β ], [α ,+∞ ) 不同)上含参数的二次不等式

f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) min ≥ 0( x ? L) . (2)在给定区间 (?∞,+∞) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) man ≤ 0( x ? L) .

?a ≥ 0 ?a < 0 ? (3) f ( x ) = ax + bx + c > 0 恒成立的充要条件是 ?b ≥ 0 或 ? 2 . b ? 4ac < 0 ?c > 0 ? ?
4 2

高考数学常用公式及结论 高考数学常用公式及结论 200 条 第 1 页 共 19 页 2011-12-29

简易逻辑
真值表 p q 真 真 真 假 假 真 假 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n + 1 )个

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

函数
函数的单调性
高考数学常用公式及结论 高考数学常用公式及结论 200 条 第 2 页 共 19 页 2011-12-29

(1)设 x1 ? x2 ∈ [a, b], x1 ≠ x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b]上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] < 0 ? < 0 ? f ( x)在[a, b ] 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导, 如果 f ′( x ) > 0 , f (x ) 为增函数; 则 如果 f ′( x ) < 0 , f (x ) 则

( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] > 0 ?

为减函数. 如果函数 f (x ) 和 g (x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) + g ( x ) 也是减函数; 如果函 数 y = f (u ) 和 u = g (x ) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y = f [ g ( x )] 是增函数. 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;在对称区间上,奇函数的单调性相同,欧 函数相反; ,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴 对称,那么这个函数是偶函数,如果一个奇函数的定义域包括 0,则必有 f(0)=0; 若 函 数 y = f (x ) 是 偶 函 数 , 则 f ( x + a ) = f ( ? x ? a ) ; 若 函 数 y = f ( x + a ) 是 偶 函 数 , 则

f ( x + a) = f (? x + a ) . 对 于 函 数 y = f (x ) ( x ∈ R ), f ( x + a ) = f (b ? x) 恒 成 立 , 则 函 数 f ( x ) 的 对 称 轴 是 函 数 a+b a+b ;两个函数 y = f ( x + a ) 与 y = f (b ? x ) 的图象关于直线 x = 对称. x= 2 2 a 若 f ( x ) = ? f (? x + a ) ,则函数 y = f (x ) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x ) = ? f ( x + a ) ,则函 2 数 y = f (x ) 为周期为 2a 的周期函数. 函数 y = f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 ? f ( a + x ) = f (a ? x ) ? f (2a ? x) = f ( x) . a+b (2)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = 对称 ? f ( a + mx ) = f (b ? mx ) 2 ? f (a + b ? mx) = f (mx) .
两个函数图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 与函数 y = f ( ? x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y = f ( mx ? a ) 与函数 y = f (b ? mx ) 的图象关于直线 x = (3)函数 y = f ( x ) 和 y = f
?1

a+b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 若将函数 y = f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x ? a ) + b 的图象;若将曲线 f ( x, y ) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) = 0 的图象.
互为反函数的两个函数的关系

f (a ) = b ? f ?1 (b) = a .

几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) = cx , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f ( x) = a x , f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . (3)对数函数 f ( x) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f ( a ) = 1( a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 f ( x) = xα , f ( xy ) = f ( x) f ( y ), f ' (1) = α . (5)余弦函数 f ( x) = cos x ,正弦函数 g ( x) = sin x , f ( x ? y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y) ,
高考数学常用公式及结论 高考数学常用公式及结论 200 条 第 3 页 共 19 页 2011-12-29

f (0) = 1, lim
x →0

g ( x) =1. x

指数与对数
分数指数幂 (1) a n =
m

1
n

a

m

( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).(2) a

?

?

m n

=

1 a
m n

( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).

?

根式的性质 (1) ( n a ) = a .(2)当 n 为奇数时, a = a ;当 n 为偶数时, a =| a |= ?
n

n

n

n

n

?a, a ≥ 0 . ?? a, a < 0

有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s = a r + s (a > 0, r , s ∈ Q ) .

(2) ( a r ) s = a rs ( a > 0, r , s ∈ Q ) . (3) ( ab) r = a r b r ( a > 0, b > 0, r ∈ Q ) . p 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理 数指数幂都适用. 指数式与对数式的互化式

log a N = b ? a b = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) .
对数的换底公式

log m N ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). log m a n n 推论 log am b = log a b ( a > 0 ,且 a > 1 , m, n > 0 ,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , N > 0 ). m log a N =
对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ;(2) log a (3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) .
n

M = log a M ? log a N ; N
2

设函数 f ( x ) = log m ( ax + bx + c )( a ≠ 0) ,记 ? = b ? 4ac .若 f (x ) 的定义域为 R ,则 a > 0 ,
2

且 ? < 0 ;若 f ( x ) 的值域为 R ,则 a > 0 ,且 ? ≥ 0 .对于 a = 0 的情形,需要单独检验. 对数换底不等式及其推广



1 ,则函数 y = log ax (bx ) a 1 1 (1)当 a > b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a < b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为减函数. a a
若a > 0 ,b > 0, x > 0 , x ≠ 推论:设 n > m > 1 , p > 0 , a > 0 ,且 a ≠ 1 ,则 (1) log m + p ( n + p ) < log m n .(2) log a m log a n < log a
2

m+n . 2

数列
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等差数列的通项公式 an = a1 + ( n ? 1) d = dn + a1 ? d ( n ∈ N ) ;
*

其前 n 项和公式为 sn =

n(a1 + an ) n(n ? 1) d 1 = na1 + d = n 2 + (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a n n ?1 * 等比数列的通项公式 an = a1q = 1 ? q ( n ∈ N ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ≠1 ,q ≠1 ? ? sn = ? 1 ? q 或 sn = ? 1 ? q . ?na , q = 1 ?na , q = 1 ? 1 ? 1 等比差数列 {an } : an +1 = qan + d , a1 = b( q ≠ 0) 的通项公式为 ?b + (n ? 1)d , q = 1 ? an = ? bq n + (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ≠1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb + n(n ? 1)d , (q = 1) ? sn = ? . d 1 ? qn d (b ? ) + n, (q ≠ 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
分期付款(按揭贷款) 每次还款 x =

ab(1 + b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 + b)n ? 1

三角函数
常见三角不等式 (1)若 x ∈ (0,

) ,则 sin x < x < tan x .(2) 若 x ∈ (0, ) ,则 1 < sin x + cos x ≤ 2 . 2 2 (3) | sin x | + | cos x |≥ 1 .
同角三角函数的基本关系式

π

π

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 , tan θ =
正弦、余弦的诱导公式

sin θ , tan θ ? cotθ = 1 . cosθ
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)
n ? nπ ?( ?1) 2 co s α , co s( +α) = ? n +1 2 ?( ?1) 2 sin α , ?

n ? nπ ?(?1) 2 sin α , sin( + α ) = ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s α , ?

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ; tan α ± tan β tan(α ± β ) = . 1 m tan α tan β
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和角与差角公式

sin(α + β ) sin(α ? β ) = sin 2 α ? sin 2 β (平方正弦公式); cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos 2 α ? sin 2 β .
a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? =
半角正余切公式: tan 二倍角公式

α
2

=

sin α sin α , cot α = 1 + cos α 1 ? cos α

b ). a

sin 2α = sin α cos α . cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α . tan 2α =

2 tan α . 1 ? tan 2 α

三角函数的周期公式 函数 y = sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周 期T =



ω

2 a b c 正弦定理 = = = 2R . sin A sin B sin C
余弦定理

;函数 y = tan(ω x + ? ) , x ≠ kπ +

π

, k ∈ Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T =

π . ω

a = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
2

面积定理

1 1 1 aha = bhb = chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2 uuu uuu 2 uuu uuu 2 r r r r 1 (3) S ?OAB = (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . 2
(1) S = 三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C = π ? C = π ? ( A + B )

?

C π A+ B = ? ? 2C = 2π ? 2( A + B ) . 2 2 2
在三角形中有下列恒等式:

① sin( A + B ) = sin C ② tan A + tan B + tan C = tan A.tan B. tan C 简单的三角方程的通解

sin x = a ? x = kπ + (?1)k arcsin a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . co s x = a ? x = 2kπ ± arccos a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . tan x = a ? x = kπ + arctan a (k ∈ Z , a ∈ R ) .
特别地,有

sin α = sin β ? α = kπ + (?1) k β (k ∈ Z ) . co s α = cos β ? α = 2kπ ± β (k ∈ Z ) . tan α = tan β ? α = kπ + β (k ∈ Z ) . 2α = (α ? β ) + (α + β )
角的变形: 2 β = (α + β ) ? (α ? β )

α = (α + β ) ? β

向量
实数与向量的积的运算律
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设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; a a (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; a;(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. a a a; a b a b 向量的数量积的运算律: (1) a·b= b a (交换律);(2)( λ a) b= λ (a·b)= λ a·b= a· λ b); ·b= ( b= b· b b ·c= (3)(a+b) c= a ·c +b c. c +b·c. 平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ e a=λ1e1+λ2e2. 1、λ2,使得 a= 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 基底. e 基底 a 与 b 的数量积(或内积) b b a·b=|a||b|cosθ. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . b (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . b (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), λ ∈ R ,则 λ a= (λ x, λ y ) . 两向量的夹角公式 公式 (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 + y1 y2 ) . b b=

uuu r

uuu uuu r r

cos θ =

x1 x2 + y1 y2
2 2 x + y12 ? x2 + y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). b

uuu r uuu uuu r r d A, B = | AB |= AB ? AB

平面两点间的距离公式

= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 b A||b ? b=λa ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 . b a a ⊥ b(a ≠ 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 . b 三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x1 ,y1 ) 、 B(x2 ,y2 ) 、 C(x3 ,y3 ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是

G(

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ). 3 3

三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

uuu 2 uuu 2 uuur 2 r r uuu uuu uuur r r r (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 . uuu uuu uuu uuur uuur uuu r r r r (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA . uuu r uuu r uuur r (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA + bOB + cOC = 0 . uuu r uuu r uuur (5) O 为 ?ABC 的 ∠A 的旁心 ? aOA = bOB + cOC .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA = OB = OC .

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不等式
常用不等式: (1) a, b ∈ R ? a + b ≥ 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

(2) a, b ∈ R ?

a+b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a + b + c ≥ 3abc ( a > 0, b > 0, c > 0).
+

(4)柯西不等式

(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2 , a, b, c, d ∈ R.
(5) a ? b ≤ a + b ≤ a + b . 极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ; (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x, y ∈ R ,则有 ( x + y ) 2 = ( x ? y ) 2 + 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x + y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x + y | 最小. (2)若和 | x + y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0(或 < 0) ( a ≠ 0, ? = b 2 ? 4ac > 0) ,如果 a 与 ax + bx + c 同号,
2

1 2 s . 4

则其解集在两根之外; 如果 a 与 ax + bx + c 异号, 则其解集在两根之间.简言之: 同号两根之外, 异号两根之间. x1 < x < x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) < 0( x1 < x2 ) ;
2

x < x1 , 或x > x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0( x1 < x2 ) .
含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x < a ? x 2 < a ? ?a < x < a .
2

x > a ? x2 > a2 ? x > a 或 x < ? a .

直线方程
斜率公式 ①k =

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ).② k=tanα(α 为直线倾斜角) 1 x2 ? x1

直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 = k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).
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y ? y1 x ? x1 = ( y1 ≠ y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ≠ x2 )). 1 y2 ? y1 x2 ? x1 x y (4)截距式 + = 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ≠ 0 ) a b (5)一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 ① l1 || l2 ? k1 = k2 , b1 ≠ b2 ; ② l1 ⊥ l2 ? k1k2 = ?1 . ① l1 || l2 ? (2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

②两直线垂直的充要条件是 A1 A2 + B1 B2 = 0 ;即: l1 ⊥ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 夹角公式

A1 B1 C1 ; = ≠ A2 B2 C2

k2 ? k1 |. 1 + k2 k1 ( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 , k1k2 ≠ ?1 ) A B ? A2 B1 (2) tan α =| 1 2 |. A1 A2 + B1 B2 ( l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 , A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ).
(1) tan α =| 直线 l1 ⊥ l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是

π

2

.

l1 到 l2 的角公式 k ? k1 (1) tan α = 2 . 1 + k2 k1 ( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 , k1k2 ≠ ?1 ) A B ? A2 B1 (2) tan α = 1 2 . A1 A2 + B1 B2 ( l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 , A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ).
直线 l1 ⊥ l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

π

2

.

四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) (除直线 x = x0 ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) + B ( y ? y0 ) = 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 的交点的直线系方程 为 ( A1 x + B1 y + C1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 (除 l2 ),其中λ是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y = kx + b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程.与直线

Ax + By + C = 0 平行的直线系方程是 Ax + By + λ = 0 ( λ ≠ 0 ),λ是参变量. (4) 垂 直 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax + By + C = 0 (A ≠ 0 , B ≠ 0) 垂 直 的 直 线 系 方 程 是 Bx ? Ay + λ = 0 ,λ是参变量.
点到直线的距离

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(点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ). A2 + B 2 Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax + By + C = 0 ,若 A>0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 Ax + By + C < 0 , Ax + By + C > 0 , A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 Ax + By + C > 0 ,Ax + By + C < 0 , 若 可记为“x 为正开口对,X 为负背靠背“。 (正负指 X 的系数 A,开口对指”<>",背靠背指"><")

d=

| Ax0 + By0 + C |


圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) + ( y ? b) = r .
2 2 2

(2)圆的一般方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E ? 4 F >0).
2 2 2 2

? x = a + r cos θ . ? y = b + r sin θ ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) = 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) + λ[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] = 0

? ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) + λ (ax + by + c) = 0 ,其中 ax + by + c = 0 是直线 AB 的方程,λ是
待定的系数. (2) 过 直 线 l : Ax + By + C = 0 与 圆 C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C ) = 0 ,λ是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 的交点的圆系方程
是 x + y + D1 x + E1 y + F1 + λ ( x + y + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 ,λ是待定的系数.
2 2 2 2

点与圆的位置关系 点 P ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 的位置关系有三种 若d =

(a ? x0 ) 2 + (b ? y0 ) 2 ,则 d > r ? 点 P 在圆外; d = r ? 点 P 在圆上; d < r ? 点 P 在圆内.
直线与圆的位置关系

直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 的位置关系有三种:

d > r ? 相离 ? ? < 0 ; d = r ? 相切 ? ? = 0 ; d < r ? 相交 ? ? > 0 . Aa + Bb + C 其中 d = . A2 + B 2
两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 = d

d > r1 + r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d = r1 + r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; r1 ? r2 < d < r1 + r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d = r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ;
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0 < d < r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .

椭圆
椭圆 椭圆

? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y = b sin θ

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 焦半径公式 a2 b2 PF1 = a + ex , PF2 = a ? ex , F1 , F2分别为左右焦点 x2 y2 ∠PF1 F2 2 焦点三角形: 为椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点, P 则三角形 PF1F2 的面积 S= b ? tan ; a b 2 2 特别地,若 PF1 ⊥ PF2 , 此三角形面积为 b ;
x2 y2 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上存在点 P,使 PF1 ⊥ PF2 的条件是 c≥b,即椭圆的离心率 e 的范 a b 2 围是 [ ,1) ; 2
椭圆的的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? a b
椭圆的切线方程

2 2 x0 y0 + 2 <1. a2 b 2 2 x0 y0 + 2 > 1. a2 b

xx y y x2 y2 (1)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A a + B b = c . a b

双曲线
x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a2 b2 a2 a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c
双曲线 双曲线的内外部

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(1)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的外部 ? a b
双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? 2 >1. a2 b 2 2 x0 y0 ? 2 <1. a2 b

x2 y2 x2 y2 b ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y = ± x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x 轴上, λ < 0 , a b a b
焦点在 y 轴上). 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b x2 y 2 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A a ? B b = c . a b
(1)双曲线 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值)

抛物线
焦点与半径

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a a 抛物线y 2 = ax(a ≠ 0), 焦点是( , 0), 准线x = ? ; 4 4 a a 抛物线x2 = ay (a ≠ 0), 焦点是(0, ), 准线y = ? ; 4 4
焦半径公式 抛物线 y = 2 px( p > 0) ,C ( x0 , y0 ) 为抛物线上一点,焦半径 CF = x0 +
2

p . 2

过焦点弦长 CD = x1 + 设点方法

p p + x 2 + = x1 + x 2 + p .对焦点在 y 轴上的抛物线有类似结论。 2 2

抛物线 y 2 = 2 px 上的动点可设为 P ( 二次函数

y0 2 2 , y0 ) 或 P (2 pt 2 ,2 pt )或 P ( xo , yo ) ,其中 y0 = 2 px0 . 2p

b 2 4ac ? b2 ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b 2 (1)顶点坐标为 ( ? , ); 2a 4a b 4ac ? b 2 + 1 , ); (2)焦点的坐标为 ( ? 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y = . 4a y = ax2 + bx + c = a( x +
抛物线的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的内部 ? y 2 < 2 px ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的外部 ? y 2 > 2 px ( p > 0) . (2)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px ( p > 0) 的内部 ? y 2 < ?2 px ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px ( p > 0) 的外部 ? y 2 > ?2 px( p > 0) . (3)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > 2 py ( p > 0) . (4) 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = ?2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > ?2 py ( p > 0) . 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) . (2)过抛物线 y 2 = 2 px 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y = p(x + x0 ) . (3)抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . 过 抛 物 线

y 2 = 2 px ( p>0) 的 焦 点

F

的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于

1 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ), 则有y1 y2 = ? p 2 , x1 x2 = 4 p 2 ,即k OA .K OB =- (O为原点) ; 4

圆锥曲线共性问题
两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是
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f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数). x2 y2 + 2 = 1 ,其中 k < max{a 2 , b 2 } .当 k > min{a 2 , b 2 } 时, 2 a ?k b ?k 2 2 2 2 表示椭圆; 当 min{a , b } < k < max{a , b } 时,表示双曲线.
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或 AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 由方程 ?

? y = kx + b 2 消去 y 得到 ax + bx + c = 0 , > 0 , α 为直线 AB 的倾斜角, 为直线的斜率) ? k . ?F( x , y) = 0

涉及到曲线上的 点 A,B 及线段 AB 的中点 M 的关系时,可以利用“点差法: ,比如在椭圆中:

A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ),中 点 M ( x 0 , y 0 ), 则 有 : x12 y12 + = 1 (1 ) a 2 b2 x22 y22 + = 1( 2 ) a 2 b2 y1 ? y 2 (1 ) ? ( 2 ) ? = x1 ? x 2

x1 + x 2 b ? (? y1 ? y 2 a

2 2

) =

x0 b ? (? y0 a

2 2

)

圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2
2

“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,用 x0 x 代 x ,用 y0 y 代 y 2 ,用 代 xy ,用

x0 + x y +y 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 x y + xy0 x +x y +y Ax0 x + B ? 0 + Cy0 y + D ? 0 + E? 0 + F = 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方 2 2 2

x0 y + xy0 2

程均是此方程得到.

立体几何

109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直;
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(5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

uuu uuu uuu r r r AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .
r r

124.空间的线线平行或垂直 设 a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) ,则

? x1 = λ x2 r r r r r r ? a P b ? a = λ b(b ≠ 0) ? ? y1 = λ y2 ; ?z = λ z 2 ? 1 r r r r a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 θ ,则

cos θ =

| ( AB 2 + CD 2 ) ? ( BC 2 + DA2 ) | . 2 AC ? BD

134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

uuu r uuu uuu r r d A, B = | AB |= AB ? AB = ( x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 ) 2 + ( z2 ? z1 ) 2 .

139.三个向量和的平方公式

r r r r 2 r 2 r2 r r r r r r (a + b + c) 2 = a + b + c + 2a ? b + 2b ? c + 2c ? a r 2 r 2 r2 r r r r r r r r r r r r = a + b + c + 2 | a | ? | b | cos a, b + 2 | b | ? | c | cos b, c + 2 | c | ? | a | cos c, a
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145.欧拉定理(欧拉公式) V + F ? E = 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).

(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形, 则面数 F 与棱数 E 的关系:

E=

1 nF ; 2
(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E = 146.球的半径是 R,则 其体积 V =

1 mV . 2

4 3 πR , 3 2 其表面积 S = 4π R .

147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的 外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

排列组合
分类计数原理(加法原理) N = m1 + m2 + L + mn . 分步计数原理(乘法原理) N = m1 × m2 × L × mn . 排列数公式

Anm = n(n ? 1) L (n ? m + 1) =
注:规定 0! = 1 . 排列恒等式 (1) An = ( n ? m + 1) An
m m ?1

n! * .( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N (n ? m)!

;

(2) An =
m

n Anm?1 ; n?m m m ?1 (3) An = nAn ?1 ;
(4) nAn = An +1 ? An ;
n n n +1 m

(5) An +1 = An + mAn
m

m ?1

.

(6) 1!+ 2 ? 2!+ 3 ? 3!+ L + n ? n ! = ( n + 1)!? 1 . 组合数公式
m Cn =

Anm n(n ? 1) L (n ? m + 1) n! * = = ( n ∈N , m ∈ N ,且 m ≤ n ). N m Am 1× 2 × L× m m!(n ? m)! ?
m n?m

组合数的两个性质 (1) C n = C n (2) C
m n + 0

;
m C n +1 .

C

m ?1 = n

注:规定 C n = 1 . 组合恒等式
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(1) Cn =
m

n ? m + 1 m ?1 Cn ; m n m (2) Cn = Cnm?1 ; n?m n m ?1 m (3) Cn = Cn ?1 ; m
(4)

∑C
r =0 r r
0

n

r n

=2 ;
r r r r +1

n

(5) C + C r +1 + C r + 2 + L + C n = C n +1 . (6) C n + C n + C n + L + C n + L + C n = 2 .
1 2 r n n

(7) C n + C n + C n + L = C n + C n + C n + L 2
1 3 5 0 2 4

n ?1

.

(8) C n + 2C n + 3C n + L + nC n = n 2
1 2 3 n r 0 r ?1 1 0r r

n ?1

.

(9) C m C n + C m C n + L + C m C n = C m + n .
r

(10) (C n ) + (C n ) + (C n ) + L + (C n ) = C 2 n .
0 2 1 2 2 2 n 2 n

排列数与组合数的关系

A = m ? Cn . ! m
m n

单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 An ?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想) = An ?1 An ?1 (着
m 1 m ?1 m ?1 m ?1

眼位置) = An ?1 + Am ?1 An ?1 (着眼元素)种.
m 1

m ?1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k ( k ≤ m ≤ n) 个元在固定位的排列有 Ak An ? k 种.
k m?k

③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ≤ h + 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近 的所有排列数有 Ah Ah +1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n > m + 1 时,无解;当 n ≤ m + 1 时,有
n Am +1 n = C m +1 种排法. n An n h k

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k +1 Ak 种.注:此类问题常用捆绑法;

n ? k +1

k

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cm + n . 分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配方法数共有

(mn)! . (n!) m (2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配方法数共有 n n C n ? C n ? C n ... ? C2 n ? Cn (mn)! N = mn mn ? n mn ? 2 n = . m! m!(n!) m n 0 n 1 n ?1 2 n?2 2 r n?r r n n (二项式定理 ( a + b) = C n a + C n a b + C n a b + L + C n a b + L + C n b ;
n n n n n N = C mn ? C mn ?n ? C mn ?2 n ? L ? C 2 n ? C n =

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二项展开式的通项公式
r Tr +1 = C n a n ? r b r (r = 0,2 L,n) . 1,

期望与方差
.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ≥ 0(i = 1, 2,L) ; (2) P + P2 + L = 1 . 1 数学期望

Eξ = x1 P + x2 P2 + L + xn Pn + L 1
数学期望的性质 (1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b . (2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np . (3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q k ?1 p ,则 Eξ = 方差

1 . p

Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + L + ( xn ? Eξ ) ? pn + L
2 2 2

标准差

σξ = Dξ .
方差与期望的关系

Dξ = Eξ 2 ? ( Eξ ) .
2

导数
. f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ′( x0 ) = y′
瞬时速度

x = x0

= lim

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x → 0 ?x ?x → 0 ?x

υ = s′(t ) = lim
a = v′(t ) = lim

?t → 0

?s s (t + ?t ) ? s (t ) . = lim ?t → 0 ?t ?t

瞬时加速度

?v v(t + ?t ) ? v(t ) = lim . ?t →0 ?t ?t . f (x ) 在 (a, b) 的导数 dy df ?y f ( x + ?x) ? f ( x) f ′( x) = y′ = = = lim = lim . ?x → 0 ?x ?x → 0 dx dx ?x . 函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数的几何意义
?t →0

函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数是曲线 y = f (x ) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ′( x0 ) , 相应的切线 方程是 y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) . .几种常见函数的导数 (1) C ′ = 0 (C 为常数).

(n ∈ Q) . (3) (sin x )′ = cos x . (4) (cos x )′ = ? sin x .
'

(2) ( xn ) = nx

n ?1

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(5) (ln x)′ =

1 1 e x ; (log a )′ = log a . x x x x x x (6) (e )′ = e ; (a )′ = a ln a .
.导数的运算法则 (1) (u ± v) = u ± v .
' ' '

(2) (uv) = u v + uv .
' ' '

u ' u 'v ? uv ' (3) ( ) = (v ≠ 0) . v v2
.复合函数的求导法则 设 函 数 u = ? ( x ) 在 点 x 处 有 导 数 u x = ? ( x ) , 函 数 y = f (u ) 在 点 x 处 的 对 应 点 U 处 有 导 数
' ' ' ' ' yu ' = f ' (u ) ,则复合函数 y = f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 yx = yu ? u x ,或写作 f x' (? ( x)) = f ' (u )? ' ( x) .

.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) > 0 ,右侧 f ′( x ) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) < 0 ,右侧 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.

复数
.复数的相等

a + bi = c + di ? a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R ) .复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a 2 + b 2 .
.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ; (2) (a + bi ) ? (c + di ) = ( a ? c ) + (b ? d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac ? bd ) + (bc + ad )i ; (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) =

ac + bd bc ? ad + i (c + di ≠ 0) . c2 + d 2 c2 + d 2

.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ∈ C ,有 交换律: z1 ? z2 = z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 = z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 + z3 ) = z1 ? z2 + z1 ? z3 . .复平面上的两点间的距离公式

d =| z1 ? z2 |= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ).

高考数学常用公式及结论 高考数学常用公式及结论 200 条 第 19 页 共 19 页 2011-12-29


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