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重庆市2013级高三数学三诊理数答案


2012 年(春)高三考前冲刺测试卷 数学(理工农医类)参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1~5 ADACC 6~10 DCBAB 提示: 10. 直线 PF 恰好与 x 轴垂直 ?
| P F | 与到
P (c , b
2

), | P F | ?

b

2

,又由 P 在抛物线上,它到焦点 F 的距离

a

a

准线 x

? ?

a

2

的距离相等,即 c ?
,2 )

a

2

?

b

2

,解得 e 3

? e ? e ?1 ? 0
2

,由零点存在性定理,此方

c

c

a

程的根在 (

3 2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相对 应位置上. 11. 2 12. 1 5 13. 9 8 14. 2 2 15. ?
c o s (? ?

?
4

) ? 2

2

16.

( ? ? , ? 7 ] ? [5, ? ? )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 6 cos 2
? cos A ? A 2 1 2
2

? cos 2 A ? 4

即 3 (1 ?
? π 3

cos A ) ? 2 cos

2

A ?1? 4

2 cos

2

A ? 3 cos A ? 2 ? 0

所以 A
2 2

;………………7 分
2 2

(Ⅱ) cos
? S ?

A ?

b ? c ? a 2 bc

?

( b ? c ) ? 2 bc ? a 2 bc

?

1 2

?

1 ? 2 bc ? 9 2 bc

? bc ? 8

1 2

bc sin A ? 2 3

.………………13 分

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) x ? 1 ………………6 分 (Ⅱ)
?

0

1
5 13

2
1 26
A1 B1

z
C1

P
5 13 1 26
BC BE

15 26

E? ?

? 2?

?

6 13

………………13 分
E

19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)连结 BC 1 ,
? B1 B B 1C 1 ? 2

? Rt Δ BCE

∽ Rt Δ B 1 BC 1

y
A C

x

易得 CE ? BC 1 B ABC ? A 1 B 1 C 1 是直三棱柱 ? AB ? 面 BCC 1 B 1 又 AB ? BC ? AB ? CE 从而 CE ? 面 ABC 1 ? CE ? AC 1 ;………………6 分 (Ⅱ)以 B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 B ( 0 , 0 , 0 ) , C (1 , 0 . 0 ) , A ( 0 ,1 , 0 ) ,
C 1 (1 , 0 , 2)

, E ( 0 ,0 ,

2 2

) .显然, BA ? ( 0 ,1 , 0 )

即为平面 C 1 EC 的一个法向量

高三考前冲刺测试卷数学(理工农医类)参考答案

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AC

1

? (1 , ? 1 ,

2)

, AE

? ( 0 , ? 1,

2 2

)

,设平面 AEC 1 的法向量为 n
? cos ? ? BA ? n | BA || n | ? 1 1?2 ?

? ( x , y , z ) ,则

?x ? y ? 2z ? 0 ? ? 2 z ? 0 ?? y ? 2 ?

令y

? 1 ,则 n ? (1 ,1 , 2 )

1 2

?

二面角 A ? C 1 E

?C

的余弦值为 .………………13 分
2

1

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 2 ln x ? 2 ? (Ⅱ) f ( x ) ≤
0

2x ? a



f ? (1) ? 4 ? a ? 2 ? a ? 2

.………………5 分
1 e ? ( x ? 1)( x ? 3 ) x
2

在x?[

1 e

, e ] 恒成立 ? a ? 2 ln x ? x ? 1 e , e ] 上的最大值即可.

3 x

在x?[

令 , e ] 恒成立, g ( x ) ? 2 ln x ? x ? 知, g ( x ) 在 [
1 e

3 x



则求得 g ( x ) 在 x ? [

由 g ?( x )

, 1] 上递减,

在 [1, e ] 上递增,故 m a x 21. (本小题满分 12 分)

1 1 g ( x ) ? m a x { g ( ), g ( e )} ? ? 2 ? ? 3 e e e

.………………12 分
2 2

解: (Ⅰ)显然 C 是一个椭圆,焦点为 F1 ( ? 1, 0 ), F 2 (1, 0 ) ,长轴为 4 ,故 C 分 (Ⅱ)设 A B
: x ? my ?1

:

x

?

y

?1

.………………4

4

3

,与椭圆联立得: ( 3 m 2
6m 3m
2

? 4) y ? 6m y ? 9 ? 0
2



由韦达定理 y 1 ?

y2 ? ?

? 4 8
2

,………………7 分
? 1 2

x1 ? x 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 2 ?

3m

? 4

,解得 m

???? ? ???? ? y1 ? ? 2 . A F2 ? ? F2 B ? ? ? ? y2

.

不妨设 m 则1 6 y 2

? 2

(m

? ?2

是对称的) ,
? ?3 ? 3 8 5

? 12 y ? 9 ? 0

, y1,2

,?

?

3? 2

5

.………………12 分
1 2

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)a n ? 1 4分 (Ⅱ) a n ? 1
? 1 an

? an ?

1 2

an ? 2an ? 2 ?
an ? 2

2

1 2

(an ? 2)

2

若 { a n } 为等差数列, 则

(an ? 2)

2

为常数即 a n 为常数, 满足题意; ………

? 从而公差为 0 ,

, 此时 { a n } 为常数列, 是等差数列, 所以存在 a
an (an ? 2)

? 2

?2 ?

1 2
1

an ? an ?

2

1 2


1 a2

1 a n ?1 ? 2

?

1 1 2 a n (a n ? 2)

?

1 an ? 2

?

1 an

?

an ? 2

?

1 a n ?1 ? 2
2

?

1 a1

?

?? ?

1 an

?

1 a1 ? 2

?

1 a n ?1 ? 2

?

1 2

?

1 a n ?1 ? 2

a n ?1 ? a n ?

1 2

(an ? 2)
?

? a1 ? 2 ? a n ? 2
1 a1 ? 1 a2 ?? ? 1 an ? 1 2

? a n ?1 ? a n ? 0

数列 { a n } 单增

? a n ?1 ? a1 ? 4

.………………12 分

高三考前冲刺测试卷数学(理工农医类)参考答案

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