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2.1.1 合情推理-归纳推理


2 .1.1 合情推理——类比推理 备课人:王宏伟 课题内容 教学目标 1.知识与技能目标: 理解归纳推理的概念,了解归纳推理的作用,体会并认识归纳推 理在数学发现中的作用,掌握归纳推理的一般步骤,会利用归纳进行一些简单的归纳推理. 2.过程与方法目标: 学生通过积极主动地参与课堂活动, 经历归纳推理概念的获得过程, 了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程,体会并认识利用归纳推理能猜测 和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤;通过具体解题,感受归 纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用. 3.情感、态度与价值观:通过介绍数学史上的著名猜想(哥德巴赫猜想、费马猜想、 四色猜想、哥尼斯堡七桥猜想)及其发现过程,习题中适当引入数学命题(杨辉三角)渗透 数学文化,激发学习兴趣,让学生感受数学的文化价值,增强学生的数学应用意识,提高学 生数学思维; 通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯, 形成良好的思维品质和锲而不舍 的钻研精神。 教材分析 本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》(选修 2-2)中第二章《推理与 证明》第一节的第一课时。《推理与证明》是新课标教材的亮点之一,本章内容将推理与证 明的一般方法进行了必要的总结和归纳, 同时也对后继知识的学习起到引领的作用。 本章的 内容属于数学思维方法的范畴,把过去渗透在具体数学内容中的思维方法,以集中的、显性 的形式呈现出来,使学生更加明确这些方法,并能在今后的学习中有意识地使用它们,培养 成言之有理, 论证有据的好习惯; 学习这一章, 要突出体现数学的人文价值和实际应用价值。 本节课所要学习的归纳推理是合情推理的一种。 归纳推理是由部分到整体、 个别到一般的推 理,其得出的结论不一定可靠,但它是人们发现新事实、获得新结论,做出科学发现的重要 手段。事实上,研究归纳推理的真实目的,就是把几个事实中蕴含的共性,通过变形、语言 转换、多角度观察等手段,观察归纳出“共性”,进而提出猜想,并达到利用归纳推理发现 新事实,获得新结论的目的。因此,学习这一部分内容可以加深学生对数学发现的过程的认 识, 也能够让学生更好地体会数学的本质, 在教学过程中教师的立意是把归纳推理作为一个 重要的数学思维的过程, 让学生了解归纳推理的含义, 着重学会用归纳的方法进行数学推理 和猜想。 教学重点:归纳推理的概念、归纳推理的思维过程及归纳推理的特点 教学难点:归纳推理概念的形成过程 教学过程 一、创设情境,导入新课 2.1.1 合情推理——归纳推理 年级组:高二

由生活实例:一叶知秋,白天鹅,品尝葡萄等引入新课,生活中处处有数学,处处有推 理,感受什么是推理。学生思考片刻后由教师从这两个推理案例说明推理的含义。 二、初步探究,走进推理 今天我们就来研究推理的一种常用方法,合情推理中的归纳推理。 探究: 1、由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电, 猜想: 所有的金属都能导电 2、观察 1+3 = 4 1+3+5 = 9 1+3+5+7 = 16 1+3+5+7+9 = 25 3、三角形的内角和是180°; 凸四边形的内角和是2×180°; 凸五边形的内角和是3×180°; 三角形、凸四边形、凸五边形都是凸多边形。 由此我们猜想:凸 n 边形的内角和是(n-2)×180° 讨论:1、以上推理的共性是什么? 2、你能举出类似的例子么? ?? 猜测第 n 个式子是:

归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)。 特点:部分到整体 个别到一般

过程:实验观察→概括推广→猜测一般结论 基本模式:

S1 具有性质 P, S2 具有性质 P, S 3 具有性质 P,
………… 猜测 Sn 具有性质 P 三、教学例题 例 1、已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 2 ,且 an ?1 ?
an (n ? 1, 2, ) ,试归纳出通项公式. 1 ? an

(分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 a n →如何证明:将递推公式变形,再构造新数列) ①探索:先让学生独立进行思考. ②活动: “千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路.

③活动: “圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价,对在哪里?错在哪里?还有没有更

好的方法? 【设计意图】 :提供一个舞台, 让学生展示自己的才华,这将极大地调动学生的积极性, 增强学生的荣誉感,培养学生独立分析问题和解决问题的能力,体现了“自主探究” ,同 时,也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力. 【一点心得】 :在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中,教师一定要以“鼓励和 表扬”为主,面带微笑,消除学生的恐惧感,提高学生的自信心. 例 2、 (1)

1 2 1 3 1 4 1 5 < , < , < , < ,???,由此归纳出一般结论 2 3 2 4 2 5 2 6 2 3 2 4 2 5 (2) < , < , < , . . . . . .由此归纳出一般结论 3 4 3 5 3 6
(3)由(1)和(2) ,归纳出一个更一般的结论,并证明

解答: (1)d>0,

1 1? d < 2 2?d 2 2?d (2)d>0, < 3 3? d
(3)m>n>0,d>0 则
n ? d n (m ? n)d n n?d ? ? ? 0 ,故猜想归纳正确 < ,证明 m ? d m (m ? d )m m m?d

四、聚焦问题,建构引申 【活动一】 :感受推理魅力 1、哥德巴赫猜想: 观察:3+7=10,3+17=20,13+17=30 改写:10=3+7,20=3+17,30=13+17 猜想:任何一个偶数都等于两个奇质数之和 验证:2=1+1,4=1+3=2+2 ? 如何改进?

再猜想: “任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和” 。 总结:归纳推理的一般步骤:观察、分析——提出猜想——检验猜想 归纳推理的作用:归纳推理可以发现新事实、获得新结论 2、费马猜想

22 ? 1 ? 5 2 2 2 ? 1 ? 17 3 2 2 ? 1 ? 257 4 2 2 ? 1 ? 65537
2n

1

猜想:形如 2 反例:
5

? 1 的都是质数

22 ? 1 ? 4294967297 ? 641? 6700417

总结:归纳推理获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠 3、 四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图

着色工作时,发现了一种有趣的现象:“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界 的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿 佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿 逻辑判断,完成证明. 五、实践应用,训练升华 【活动二】 :我来推理 1、 课本 P23 例 1 2、 2、课本 P23 例 2 多面体 3、 数一数图中的凸多面体的面数 F、顶点 三棱锥 数 V 和棱数 E,填表并探求它们之间的关系. 三棱柱 面数 F 顶点数 V 棱数 E

请观察以上几种凸多面体,思考它们的面数 四棱锥 F、 顶点数 V 和棱数 E, 你有什么样的猜想呢? 四棱柱 猜想:简单凸多面体的面数 F 顶点数 V 和棱 数 E 之间的关系式为: F+V-E=2(欧拉公式) 五棱锥 五棱柱 正八面体

六、课堂检测,巩固提高 1、根据数塔,猜测 123456×9 + 7 = 1×9 + 2 = 11 12×9 + 3 = 111 123×9 + 4 = 1111 1234×9 + 5 = 11111 12345×9 + 6 = 111111 .

七、归纳总结,反思升华 1.什么是归纳推理? 2.体会到了什么思想方法? 3.如何才能提出一个好的猜想? 4.归纳推理分完全归纳和不完全归纳法, 完全归纳法得到的结论是正确的, 不完全归纳法得

到的结论未必正确(若正确需要证明,不正确需要举反例,不能说明正确与否的只能算做猜 想) 八、拓展延伸,激发兴趣 学生课下上网查找关于数学史上著名的猜想的资料,比如哥德巴赫猜想,费马猜想,哥 尼斯堡七桥问题,四色猜想等。让学生感受这些著名猜想的提出过程,体会其中的思想,并 了解这些猜想的研究成果。使学生体会思维的乐趣,激发学生学习数学的兴趣。 九、作业 1、观察下列式子 1+ ___________ 2、 f ( x) ?
x 1 ? x2

1 3 1 1 5 1 1 1 7 < ,1+ 2 + 2 < ,1+ 2 + 2 + 2 < ,?,由此可以得出结论 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4

,归纳出 f ( f ( f (... f ( x)....) =_________________
n

3、圆内彼此两两相交的 n(n≥2)条线段,彼此最多能分成多少条线段?将圆最多分成多 少部分? [答案] 1、 ?
1 2n ? 1 < 2 k n ?1 k ?1
n

2、

x 1 ? nx 2

3、 n2 ,

n2 ? n ? 2 2


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