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根式与分数指数幂


根式与分数指数幂
一、教学任务分析 〖 知识与技能 〗 ( 1)了解根式的概念,方根的概念及二者的关系; ( 2)理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质,并能 运用性质进行计算和化简。 〖 过程与方法 〗 通过对实际问题的探究过程,感知应用数学解决问题的方法,理解分 类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖 情感、态度与价值观 〗 通过对数学实例的探究,感受现实生活对数学的需求,体验数学知识 与现实的密切联系。 二、教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 三、教材分析 教科书先给出了两个实际例子:国内生产总值( GDP)的增长问 题,生物体内碳 14 的衰减问题。前一个问题,既让学生回顾了初中 已学的整数指数幂,也让学生感受其中的函数模型,并且还有思想教 育价值;后一个问题,让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生 探究分数指数幂、无理指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺 垫。 学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念, 又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念,以及整数

指数幂的运算法则。有了这些知识作准备,教科书通过实际问题引入 分数指数幂,说明了扩张指数范围的必要性,为此先将平方根与立方 根的概念扩充到 n 次方根,将二次根式的概念扩充到一般根式的概 念, 然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质, 最后结合一个实例, 通过有理指数幂逼近无理系数幂的方法介绍了无理指数幂的意义, 从 而将指数的取值范围扩充到了实数。 四、教学基本流程 实例 → 根式 → 分数指数幂 → 无理指数幂 五、教学情景设计 第一课时根式 1、问题情境设疑 问题 1 、根据国务院发展研究中心 2000 年发表的《未来 20 年我国 发展前景分析》判断,未来 20 年,我国 GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到 7.3%,那么,在 2001~2020 年,各年的 GDP 可望 为 2000 年的多少倍? 分析 :设 x 年后我国的 GDP 为 2000 年的 y 倍,那么 。 设疑 :正整数指数幂 的含义是什么?它具有哪些运算性质?

问题 2 、当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰 减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰 期”,根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 , 考古学家根据这个式子可以知道, 生物死亡 t

年后,体内碳 14 含量 P 的值。 例如:当生物死亡了 5730,2×5730,3×5730,??年后,它 体内碳 14 的含量 P 分别为 , , ,??

当生物死亡了 6000 年,10000 年,100000 年后,根据上式,它体内 碳 14 的含量 P 分别为 , , 。

设疑 :以上三个数的含义到底是什么呢? 2、数系的扩充 你是否看过杂技团演出中“小狗做算术”这个节目?台下观众 出一道 10 以内的加法题,比如“2+5”,由演员写到黑板上,小狗 看到就会“汪汪汪??”叫 7 声。台下观众会报以热烈的掌声,对这 只狗中的“数学尖子”表示由衷的赞许, 并常常惊叹和怀疑狗怎么会 这么聪明?因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。 我们开始接触数学时,便是从 0、1、2、3、4、??等认识起的, 并把它们称作自然数,初步有了“加”的运算:两个自然数相加,仍 为自然数。但是,两个自然数相减呢?随着社会的发展,人们又发现 了很多数量具有相反的意义,比如增加和减少、前进和后退、上升和 下降、向东和向西,为了表示这样的量,又产生了负数。正整数、负 整数和零,统称整数。 一个数连加几次,如 5+5+5+5+5+5,每次书写都挺麻烦的,于是 便引入了另一种运算“乘“,连加即为乘,“×”也只是一种记号, 其初始含义是连加的意思( na=a+a+ ? +a ) 。类似地,连乘记为乘

方,即

。两个整数相乘后仍为整数,自然地我们考虑 ,

其逆运算“除”,如 2÷3,它却不是整数,于是又引入了分数 它仍是一个记号:把 n 分成 m 等分。 进一步我们自然地会追问: 如果 如 x 2 =4,由于

, 那么 x 是什么呢?

,那么 x 2 =2 时, x 等于多少?

我们知道存在实数 x ,它的平方等于 2,但我们没有办法用有理数 表示它,从而便有了根式的概念:用 它是一个数,它的平方等于 2! 更一般的情况,“ 次方等于 a ,即 3、根式 ( 1)平方根: ( 2) n 次方根:如果 ;立方根: 。 ”是什么呢? ! 也是一个实数,它的 n 表示,“ ”是什么呢?

,那么 x 叫做 a 的次方根。

类似于平方根与立方根的结论,我们有: 当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是 一个负数,记为: 。 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个, ; 负数没有偶次方根, 0 的任何次方

它们互为相反数,记为 根都是 0。 ( 3)根式:

, n ----根指数, a ----被开方数。

??

第二课时分数指数幂 1、复习 ( 1)根式的相关概念 ( 2)整数指数幂: 运算性质: 问题设疑:如何计算: 分析: ? ,然而普通学生要找到该解 。

法并不容易,如何把这种运算简单化呢? 问题:能否类似于整数指数幂的运算来解决上题? 2、分数指数幂 实例引入: ,

问题: 1、从以上两个例子你能发现什么结论? 2、 结论:规定 问题 3、 分析: 如: , 。 如何表示?

规定: 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 3、有理指数幂的运算性质:

回到前面的问题,则有

,相信学生在

真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后,都能够顺利解决。 六、教学反思 1、以上只展示了课堂教学的片断,对根式与分数指数幂的概念的教 学提出自己的设想,目的是讲清知识发生、形成的过程及引入根式、 分数指数幂的必要性,激发学生的学习兴趣。 2、本课例是根式的拓展与延伸,处处注意与初中所学知识的类比, 如根式与平方根、立方根的类比,分数指数幂与整数指数幂的类比, 使知识的形成水到渠成,学生在原有认知的基础上进行有益的推广, 其学习是主动的、积极的,知识形成是自然的,没有强加之嫌,在教 师的引导下,学生始终处于“我要学”的状态,并自觉去探究新的教 学任务。

《根式与分数指数幂》教学设计

学校:韶关市铁一中 年级:高二年级 学科: 姓名: 邮编: 数 学

范久良 512023

电话:13500208929


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